1.5. Декартов базис и декартовы координаты

Определение 12.Углом между векторами ибудем называть наименьший из двух углов, образованных выходящими из произвольной точкилучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением, другой – направление, совпадающее с направлением.

Если векторы коллинеарны, угол считаем равным нулю, если их направления совпадают, и равным , если направленияипротивоположны.

Рис. 1.20 поясняет определение 12.

Угол между векторамиив дальнейшем будем обозначать, на рис. 1.20 уголотмечен двумя дугами.

Определение 13.Базис ,,называется декартовым прямоугольным базисом, если:

1) ,и;

2) .

Обычно в литературе векторы декартова базиса обозначают через ,,и слово «прямоугольный» опускают.

Пусть ,,– некоторый декартов базис,. Тогда найдутся числатакие, что

. (1.12)

Числа называютдекартовыми прямоугольными координатамивектора. Будем использовать в дальнейшем запись, равносильную записи (1.12) в виде разложения вектора по базису.

Декартова система координат определяется в пространстве заданием декартова базиса ,,и некоторой точки– точки приложения векторов базиса. Точканазываетсяначалом координат.

Определение 14.Пусть задана декартова система координат. Декартовыми координатами произвольной точки называются координаты вектораотносительно базиса,,.

По доказанной теореме 6 координаты вектора относительно базиса,,определяются однозначно, поэтому, если задана система координат (точка– начало координат и декартов базис,,), то каждой точкепространства однозначно соответствует тройка декартовых координат.

Отметим, что свойства базиса и декартовых координат точки на плоскости и прямой аналогичны случаю пространства.

Геометрический смысл декартовых координат вектора устанавливается следующей теоремой.

Теорема 9.Пусть ,,– декартов прямоугольный базис,. Тогда,,.

Доказательство.Приведем векторы,,ик одному началу, некоторой точке, и через конец векторапроведем плоскости, соответственно параллельные парам векторов:и,и,и, получим прямоугольный параллелепипед, в котором диагональ(рис. 1.21).

В силу теоремы 6 о единственности разложения по базису

. (1.13)

Имеем

(1.14)

В соответствии с определением 10

(1.15)

Если направление совпадает с направлением, то в (1.13) по определению произведения вектора на число. Тогда в (1.14), и в (1.15).

Если направление противоположно направлению, то в (1.13). Следовательно, в (1.14), а в (1.15).

Таким образом, в обоих случаях .

Аналогично, ,.

Теорема 9 доказана.

Пусть задана произвольная декартова система координат (точка – начало координат и декартов базис,,).

Обозначим через ,,– оси, направление которых совпадает с направлением векторов,,соответственно. Пусть, обозначим через,,– углы наклона векторак осям,,соответственно.

Числа ,,называютсянаправляющими косинусамивектора.

Пусть . Имеем

,,. (1.16)

Было доказано (см. теорему 6), что вектор однозначно определяется заданием своих координат. Равенства (1.16) означают, чтооднозначно определяется заданием длины и трех направляющих косинусов.

Получим еще некоторые полезные при решении задач соотношения.

Так как параллелепипед на рис. 1.21 прямоугольный, то

.

Тогда имеем,

,

,,

откуда (сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице).

Теорема 10(линейные свойства проекции).Проекция суммы любых двух векторов на произвольную ось равна сумме проекций; при умножении вектора на число проекция умножается на это число.

Доказательство.Пусть– произвольная ось,и– произвольные векторы.

Рассмотрим декартов прямоугольный базис такой, что ось совпадает с осью вектора. Пусть,. Имеем.

. (1.17)

С другой стороны,

,. (1.18)

Сравнив (1.17) и (1.18) заключаем

.

Аналогично, если – произвольное действительное число, то,, а, значит, .

21