1.3. Понятие базиса. Координаты вектора и их свойства

Определение 8.Три вектора ,,называются базисом в , если:

1) ,, линейно независимы;

2) любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. найдутся числа ,и такие, что.

Определение 9. Два вектора иназываются базисом в плоскости, если:

1) илинейно независимы;

2) для любого вектора этой плоскости найдутся числаитакие, чтоможно представить в виде их линейной комбинациии, т.е. найдутся числаитакие, что.

Из результатов, полученных в 1.2, следует, что любые три некомпланарных вектора составляют базис в .

В самом деле, пусть ,ине компланарны. Тогда согласно следствию 2 из теоремы 4 векторы,илинейно независимы. А в силу следствия из теоремы 5 любой векторможет быть представлен в виде линейной комбинации,и, и, таким образом,,иявляются базисом в(в соответствии с определением 8).

Аналогично любые два неколлинеарных вектора образуют базис в плоскости.

Действительно, если ине коллинеарны, то согласно следствию из теоремы 3илинейно независимы. А в силу следствия 1 из теоремы 4 любой векторплоскости может быть представлен в виде их линейной комбинации и, следовательно,,- базис плоскости (в соответствии с определением 9).

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением базиса в пространстве.

Пусть ,,– произвольный базис в,. Тогда

(1.10)

Правая часть равенства (1.10) называется разложением вектора по базису,,, а числа,,– координатами вектораотносительно базиса,,.

Теорема 6.Пусть ,,– базис в . Координаты любого вектораотносительно базиса ,,определяются однозначно.

Доказательство.Доказательство проведем от противного.

Допустим, существует другое разложение вектора по базису,,:

Противоположный вектор (см. замечание 4). К обеим частям равенства (1.10) прибавим вектор

и получим

. (1.11)

Равенство (1.11) означает, что линейная комбинация векторов ,,равна, откуда в силу линейной независимости,иследует, что коэффициенты при,иравны нулю, а тогда,,.

Теорема 7.Пусть ,,– базис в. При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Доказательство. Пусть,. Привлекая свойства 1 и 2 операции сложения, получим

.

Далее свойство 4 операции умножения на число дает

.

В силу теоремы 6 о единственности разложения вектора по базису числа ,,и являются координатами вектора.

Пусть – произвольное вещественное число,–вектор, введенный выше. Рассмотрим вектор.

Имеем .

Используя свойство 3, а затем 5 умножения вектора на число, получим

.

Используя теорему 6 о единственности разложения вектора по базису, придем к тому, что числа и– координаты вектораотносительно базиса,,. Теорема доказана.

1.4. Проекция вектора на ось

Осью назовем прямую с указанным на ней направлением.

Определение 10.Пусть - произвольный вектор,- ось. Проведем через начало и конец вектораплоскости, перпендикулярные оси, пусть точки пересечения этих плоскостей с осью –и.

Рис. 1.16 поясняет определение 10.

Определение 11.Углом наклона вектора к осиназывается наименьший угол между двумя выходящими из произвольной точкилучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением оси, другой – направление, совпадающее с направлением вектора.

На рис. 1.17, поясняющем определение 11, угол наклона к оси, который в дальнейшем будем обозначать, отмечен двумя дугами.

Теорема 8.Пусть – произвольная ось,. Тогда.

Доказательство.Обозначим через– ось, проходящую через точку, начало вектора, и имеющую направление оси. Тогда углом наклона вектора к осибудет согласно определению 11, угол(рис. 1.18).

Случай 1.Направлениесовпадает с направлением оси(а следовательно, и). Тогда

.

Случай 2.Направлениепротивоположно направлению оси(т.е. итоже). Тогда

.

Теорема 8 доказана.