13.3. Линейные операторы в евклидовом пространстве
Определение 7. Квадратная матрица называется ортогональной, если
.
Пример 5. В линейном пространстве всех геометрических векторов плоскости матрица линейного оператора поворота на угол против часовой стрелки имеет вид
.
Для нее , и, следовательно, - ортогональная матрица.
Отметим некоторые свойства ортогональной матрицы.
Утверждение 1. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют ортонормированную систему арифметических векторов.
Доказательство. Необходимость. Пусть , , ортогональна.
Имеем
, .
В соответствии с правилом умножения матриц , , где
. (13.8)
Так как ортогональна, то , и, следовательно,
(13.9)
Равенства (13.8) и (13.9) означают, что строки матрицы , рассматриваемые как арифметические n-мерные векторы, составляют ортонормированную систему, необходимость тем самым доказана.
Достаточность. Пусть строки матрицы составляют ортонормированную систему арифметических векторов. Тогда в соответствии с введенными выше обозначениями (см. (13.8))
Но это означает, что и, следовательно, (в силу единственности обратной матрицы) и ортогональна.
Утверждение 2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной.
Доказательство. Пусть (I) и (II) – два ортонормированных базиса в . , , - матрица перехода от (I) к (II).
В соответствии с определением матрицы перехода от базиса к базису справедливо равенство
,
или
, . (13.10)
Так как (II) – ортонормированный базис, то
Используя (13.10), получаем
а это означает, что столбцы матрицы составляют ортонормированную систему. Привлекая утверждение I, заключаем, что - ортогональная матрица.
Упражнения. Доказать следующие свойства ортогональной матрицы.
1. Если - ортогональная матрица, то .
2. Если - ортогональная матрица, то тоже ортогональная.
3. Если - ортогональная матрица, то тоже ортогональная.
4. Матрица является ортогональной в том и только в том случае, когда ее строки составляют ортонормированную систему арифметических векторов.
Определение 8. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным, если
(оператор сохраняет норму любого вектора).
Пример 6. Евклидово пространство - пространство всех геометрических векторов плоскости, скалярное произведение введено равенством , - оператор поворота на угол против хода часовой стрелки. Оператор - ортогональный.
В самом деле, оператор - линейный, так как из геометрических соображений ясно, что - действительного числа , . А так как при повороте длина любого вектора сохраняется, то - ортогональный оператор.
Теорема 4. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда
( сохраняет скалярное произведение).
Доказательство. Пусть , , рассмотрим .
Имеем
. (13.11)
С другой стороны,
. (13.12)
Сравнивая (13.11) и (13.12) заключаем, что .
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис, - ортогональный оператор в . Тогда система векторов (II) - ортонормированный базис.
Доказательство. Имеем
и, следовательно, - ортонормированная система. Но тогда , и по теореме 2 система (II) линейно независима, а так как , (II) – базис, и по доказанному – ортонормированный.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей.
Доказательство. Пусть (I) – произвольный ортонормированный базис в . Тогда система векторов (II) – тоже ортонормированный базис (теорема 5).
Пусть - матрица оператора в базисе (I).
В соответствии с определением матрицы оператора (определение 3 в лекции 12) справедливо следующее равенство:
и, следовательно, матрица является матрицей перехода от базиса (I) к базису (II) (см. равенства (11.1) в лекции 11). Тогда в силу доказанного выше утверждения 2 матрица является ортогональной.
Теорема доказана.
Определение 9. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется самосопряженным (симметрическим), если
.
Пример 7. Пусть - произвольное евклидово пространство, - тождественный оператор, т.е. .
Имеем , следовательно, симметрический.
Пример 8. Пусть - произвольное евклидово пространство, - некоторое действительное число. Положим .
Справедливо равенство
,
и, следовательно, - симметрический.
Отметим некоторые свойства симметрического оператора.
Определение 10. Матрица , , называется симметрической, если .
Теорема 7. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис в , - симметрический оператор в . Тогда матрица оператора в (I) симметрическая.
Доказательство. Пусть , - матрица оператора в (I). В соответствии с определением матрицы оператора справедливы следующие равенства:
,
,
…………………………………….. ... (13.13)
.
Воспользовавшись соотношениями (13.13), получим
. (13.14)
. (13.15)
Так как - симметрический оператор, .
Сравнивая (13.14) и (13.15), находим, что , и матрица - симметрическая.
Теорема доказана.
Теорема 8. Если линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задается хотя бы в одном ортонормированном базисе симметрической матрицей, оператор - симметрический.
Доказательство. Пусть - линейный оператор в евклидовом пространстве , (I) – произвольный ортонормированный базис в , , - матрица оператора в базисе (I) (т.е. справедливы равенства (13.13)), - симметрическая, или .
Пусть , . Так как (I) – базис, найдутся числа и такие, что , .
Имеем
, (13.16)
. (13.17)
Используя равенства (13.16) и (13.17) и условие, что (I) – ортонормированный базис, получим
,
.
Так как симметрическая, и , а это означает, что оператор симметрический.
Теорема доказана.
Приведем без доказательства еще одно свойство самосопряженного оператора.
Теорема 9. Пусть - евклидово пространство, - линейный оператор в . Оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда в существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора .
Пример 9. Линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задан в некотором ортонормированном базисе матрицей . Выяснить, существует ли для этого оператора базис, в котором его матрица диагональна.
Так как - симметрическая матрица (в ортонормированном базисе), оператор симметрический (теорема 8), а тогда по теореме 9 для него существует базис, состоящий из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна (лекция 12, § 12.3).