Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.

Определение 1: Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке I называется неопределенным интегралом и обозначается. При этом если функция F(x) – первообразная функции f(x), то.

Пример:

.

Свойства неопределенного интеграла.

1. .

Замечание: Обратное неверно! Из существования интеграла не следует существование интегралови.

.

2. .

3. (по определению).

Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.

Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле):

Пусть функция является первообразной для функциина некотором промежуткеи функциянепрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке, причем для всякого значениявыполняется неравенство. Тогда будет справедлива формула:

(*),

где .

Формулу (*) можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом: . Тогда, если- первообразная функции, то. Такой прием называют внесением под знак дифференциала.

Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки) (1).

В этой формуле предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале изменения, а- непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси. Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от. Ее производная поравна:

Следовательно, если ввести в этой функции подстановку , то получится первообразная от функции. Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от. Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную. Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер - мы просто уславливаемся писать:

Пример: .

Вопрос 27. Интегрирование по частям.

Пусть даны U и V, тогда по правилу интегрирования по частям

Пример 1:

Пример 2:

Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.

Пусть нужно найти неопределенный интеграл от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P k не меньше степени многочлена Q n (), то прежде всего разделим P на Q :

Многочлен R интегрируется без труда, а – правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим черези представим в виде:

Тогда пусть ,

1 случай.

Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)

. Тогда

Приравнивая тождественно равные числители, получим:

Существуют 2 метода нахождения :

1. сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.

2. Т.к. равенства тождественны, можем взять , тогда. Так, подставляя поочереднонайдем все

Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.

Пример

2 случай.

Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:

.

Пусть существуют n различных корней с кратностями , тогда

- и делаем все так же, как и в предыдущем примере.

Пример

3 случай.

Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;

, где многочлены ,имеют комплексные корни.

Тогда R(x) представим в виде:

Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.

Пример

4 случай

Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;

Тогда R(x) представим в виде:

А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B...

Пример