Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

5.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Mi и mi в случае непрерывности функции представляют собой максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [xi-1,xi] разбиения Т, S и s – площади заштрихованных ступенчатых фигур, изображенных на рисунках 1 и 2 соответственно.

Свойства верхних и нижних сумм подробно изложены в [2] (стр. 321-323), поэтому приведем лишь формулировки теорем и прокомментируем каждую из них с помощью рисунков.

Свойство 1. Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежу-

точные	точки ξi на сегментах [xi-1,xi] можно выбрать	так, что интегральная сумма
I{xi, ξi }	будет удовлетворять неравенствам 0≤S- I{xi, ξi }	<ε. Точки ξi можно выбрать и

таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0≤I{xi, ξi } -

s<ε.

				f(ξn)
f(ξ1) M1 M2 f(ξ2)		f(x)	Mi	Mn
			f(ξi)
a=x0 ξ1 x1	ξ2 x2		ξi xi ξn	b=xn	x
	Рис. 3

На рисунке 3 изображен график функции f(x), заданной на сегменте [a,b]. ξi – промежуточные точки на частичных сегментах [xi-1,xi], Преобразуем разность S- I{xi , ξi } =

M1∆x1 + M2∆x2 +... Mi∆xi +...+ Mn∆xn -- f( ξ1 )∆x1- f( ξ2 )∆x2-...-f( ξi )∆xi -...- f( ξn )∆xn =

= [M1-f( ξ1)]∆x1+[M2-f( ξ2 )]∆x2+...+ +[Mi- f( ξi )]∆xi+...+[Mn- f( ξn )]∆xn.

Здесь S – верхняя сумма. Каждое слагаемое последней суммы представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника, поэтому S- I{xi , ξi } есть сумма площадей

заштрихованных прямоугольников, которая, очевидно, может быть сколь угодно уменьшена за счет выбора точек ξi (если промежуточные точки ξi выбирать близкими к точ-

кам сегментов [xi-1,xi], в которых функция f(x) принимает значения Mi). Для нижних сумм рассуждения проводятся аналогичным образом.

Свойство 2. Если разбиение T ′ сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма S′ разбиения Т′ не больше (S′ ≤S) верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма s′ разбиения Т′ не меньше (s≤s′) нижней суммы s разбиения Т.

B C

a=x0

x3=b

a=x0 t1

x3=b

Рис. 4

Рис. 5

171

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

На рис. 4 точки x0, x1, x2, x3 – точки разбиения сегмента [a,b], соответствующие разбиению Т. Кружками отмечены новые точки t1, t2, которые вместе с точками xi дают новое разбиение Т′ сегмента [a,b].

Сегменты [x0,x1] и [x2,x3] поделились на сегменты [x0,t1], [t1,x1] и [x2,t2], [t2,x3], соответственно. Верхняя сумма на сегментах [x0,t1] и [x2,t2] уменьшилась на величину, равную площадям прямоугольников ABCD и KLMN, а на остальных частичных сегментах осталась без изменения, поэтому верхняя сумма S′ разбиения Т′ уменьшилась по сравнению с верхней суммой S.

На рис.5 приведена аналогичная картина для нижних сумм.

Свойство 3. Пусть Т′ и Т′′ любые два разбиения [a,b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s′,S′ ; s′′ ,S′′ соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т′ и Т′′, то s′≤S′′; s′′ ≤S′ .

y
		x
x0=ξ0=a ξ1	x1 ξ2	x2 ξ3 x3=ξ4=b

На рис. 6 одинарной штриховкой показана верхняя сумма S′ разбиения Т′ сегмента [a,b] точками x0=a<x1<x2<x3=b, а двойной штриховкой – нижняя сумма s′′ разбиения Т′′ сегмента [a,b] точками

ξ0=a<ξ1<ξ2<ξ3<ξ4=b.

Рис.6

Свойство 4. Множество {S} верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через I точную нижнюю грань множества {S} верхних сумм I = inf{S}, а через I точную верхнюю грань множества {s} нижних сумм I = sup{s}. Чис-

ла I и I называются соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции f(x). Легко показать, что I ≤ I

s I I S

Свойство 5. Пусть разбиение Т′ [a,b] получено из разбиения Т добавлением к последнему р новых точек, и пусть s′,S′ ; s, S – соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т′ и Т. Тогда для разностей S-S′ и s′-s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины ∆ частичных сегментов разбиения Т, числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на сегменте [a,b], а именно: S-S′ ≤(M-m) р ∆ и s′-s ≤(M-m) р ∆

172

		7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
			y
			S- S′=сумме площадей В			С
				прямоугольников
						M -m
							M
					A	D
						m
				x0 ξ1 x1	x2 ξ2 x3	∆ x4=b	x
					Рис.7
	На рис.7 точки x0 = a < x1 < x2 < x3 < x4 = b соответствуют разбиению Т сегмента
[a,b],	а	две	добавленные	точки	ξ1 и ξ2	образуют	вместе	с	точками	xi:
x0=a<ξ1<x1<x2<ξ2<x3<x4=b разбиение Т′					этого сегмента.
	Одинарной штриховкой показана верхняя сумма S разбиения Т, а двойной штри-
ховкой два прямоугольника, сумма площадей которых дает уменьшение S до величины
S′ . Если через М и m обозначить точные верхнюю и нижнюю грани функции f(x) на [a,b],
а через ∆ максимальную длину частичного сегмента [xi-1,xi] разбиения Т, то площадь пря-
моугольника ABCD, равная (M-m)∆x будет больше площади каждого из двух прямо-
угольников, заштрихованных двойной штриховкой, отсюда очевидна оценка: S-S′ ≤(M-
m)∆ 2 (здесь 2 – число добавленных точек). Для нижних сумм может быть дана аналогич-
ная интерпретация.
	В заключение данной темы приведем без доказательства формулировку теоремы, из-
вестной под названием леммы Дарбу, имеющей фундаментальное значение для построения
теории в теме “Определенный интеграл”.
	Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу I						и I от функции f(x) по сег-
менту [a,b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при ∆→0, т.е.
lim S = I		и lim	s = I .
∆→0		∆→0
	Замечание 1. Число I , например, называется пределом верхних сумм S при ∆→0,
если ( ε > 0)( δ > 0): [( T )∆ < δ S − I < ε].
	Замечание 2. В случае, когда I = I = I лемма Дарбу позволяет переходить к преде-
лам в неравенствах вида s ≤ I{xi , ξi } ≤ S					при стремлении к нулю диаметра ∆ разбиения Т
сегмента [a,b]. При этом s→I и S→I, откуда I{xi , ξi } → I .

7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте

Вышеперечисленные свойства верхних и нижних сумм позволяют доказать теорему об интегрируемости функции на сегменте.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого S – s ≤ ε.

173

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Не будем приводить доказательство этой теоремы, отметим лишь, что из неравенства S – s ≤ ε следует равенство I = I = I, что в силу замечания 2 гарантирует существование предела интегральных сумм I{xi , ξi } , равного I.

Определение. Число ωi = Mi – mi , где Mi и mi – точные верхняя и нижняя грани функции f(x) на [xi-1,xi] называются колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi]. Очевид-

но, что ωi ≥ 0, ибо Mi ≥ mi .

После введенного определения колебания функции f(x) разность

n	n	n	n
S − s = ∑M i ∆xi − ∑ mi ∆xi = ∑			(M i −mi )∆xi = ∑ωi ∆xi ≥ 0
i=1	i=1	i=1	i=1

(так как все ωi ≥0 и ∆хi >0) и последнюю теорему можно сформулировать так:

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируема на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента, для

которого ∑ωi ∆xi ≤ ε

i=1

f(x) B a, b

]

f(x) L

a, b

]}

(

ε > 0 T :

∆x

{

[

)( )

∑

i=1

≤ε .

7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве

Пусть функция f(x) c{x} (непрерывна на множестве {x} ; {x} – множество замк-

нуто или нет, конечно или бесконечно), т.е. она непрерывна в каждой точке этого промежутка х0 {x} . Это означает, что

( ε > 0)( δ > 0)( x {x}):[x − x0 < δ f(x) − f(x0 ) < ε]

y
	ε			Отметим, что для фиксированного ε число δ
f(x1)	ε			Отметим, что для фиксированного ε число δ
f(x1)	ε			зависит не только от ε, но и от точки х0.
	ε			зависит не только от ε, но и от точки х0.
				Существует ли при заданном ε такое δ, кото-
	ε			рое годилось бы для всех точек х0 из этого проме-
f(x0)	ε			рое годилось бы для всех точек х0 из этого проме-
	ε			жутка?
			δ1

				δ2
	x0-δ x0 x	0+δ	x1
	x0-δ x0 x	0+δ	x1

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на {x} , если для

ε > 0 можно указать такое положительное число δ (δ=δ(ε)), зависящее только от ε, что для любых двух точек x′ и x′′ множества {x} , удовлетворяющих условию x′′ − x′ < δ ,

выполняется неравенство

|f (x'' ) − f (x' )|< ε .

Пример 1. y=lnx равномерно непрерывна на полупрямой x ≥ 1. В самом деле, по теореме Лагранжа для любых x′ ≥1, x′′ ≥1 (пусть для определенности x′ < x′′).

174

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

f(x′′) − f(x′)

f ′(ξ)

x′′ − x′

, ибо x′ <ξ< x′′ и ξ>1

Следовательно, по данному ε>0, если выбрать 0<δ≤ ε, то из x′′ − x′ < δ f(x′′) − f(x′) < ε

Пример 2. Функция f(x)=1x на интервале (0,1) непрерывна, но не является на нем равномерно непрерывной, т.е. для некоторого ε>0 нельзя выбрать δ>0 такое, что неравен-

ство	f(x′′) − f(x′)	< ε	будет выполнено для всех x′′ и x′ при условии, что	x′′ − x′	< δ .

	Покажем это.		Пусть δ>0, x′ = δ, x′′= δ 2 , тогда x′′ − x′ < δ 2 , а величина

f(x′′) − f(x′) = 2 δ −1 δ =1 δ может быть сделана сколь угодно большой.

εδ2→0 при y2→∞

y1		y =	1
ε			x
ε
δ2	δ1		x

Для непрерывной на сегменте функции справедлива следующая теорема.

Теорема (Кантора). Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте.

Теперь, с очевидностью, вытекает следствие: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда ( ε > 0)( δ > 0) такое, что на каждом, принадлежащем сегменту [a,b] частич-

ном сегменте [c,d], длина d-c которого меньше δ, колебание ω функции f(x) меньше ε. Сформулируем и докажем следующую основную теорему.

Теорема. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте. Пусть дано ( ε > 0) . Так как f(x) равномерно непрерывна на сегменте [a,b] (теорема

Кантора), то для положительного числа ε(b −a) можно указать такое δ>0, что при разбиении Т сегмента [a,b] на частичные сегменты [xi-1,xi], длина максимального из которых ∆<δ, колебание ωi функции f(x) на каждом из них меньше ε(b −a) (следствие из теоремы

n	ε	n
Кантора). Тогда для таких разбиений Т S − s = ∑ωi ∆xi <		∑ ∆xi = ε и выполняется

i=1	b −a i=1

достаточное условие интегрируемости функции f(x).

Замечание. Если f(x) имеет на [a,b] конечное число точек разрыва 1-го рода, то функция f(x) также интегрируема на этом сегменте. При этом, если, например, f(x) раз-

рывна в одной точке x=c, то ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx , и значение этих интегралов не

зависит от значения функции в точке с.

175

7.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

7.5.Основные свойства определенного интеграла

	a
1)	∫ f(x)dx = 0		(по определению).
	a
	b	a
2)	∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx		(по определению, при a<b).

3)	∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx			(с = const).
	a	a
	b	b	b
4)	∫	[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
	a	a	a
	b	c	b
5)	∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx			для произвольных с, при условии интегрируемо-
	a	a	c
сти функции f(x).
	b

6) ∫ f(x)dx ≥ 0, если f(x) ≥0 x [a,b].

7) Если функция f(x) c[a,b], то свойство 6) можно уточнить при f(x) ≡ 0.

b			b				если f(x) ≥g(x) x [a,b].
8) ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx							если f(x) ≥g(x) x [a,b].
a			a
	b		b
	b		b
9)	∫ f(x)dx		≤ ∫	f(x)	dx .
9)	∫ f(x)dx		≤ ∫	f(x)	dx .
	a		a
	b			b			b
10) m∫ g(x)dx ≤ ∫ f(x)g(x)dx ≤ M ∫ g(x)dx,
	a			a			a
если		g(x) ≥0				x [a,b],	M = sup f(x) , m = inf f(x) .
		g(x) ≥0				x [a,b],	M = sup f(x) , m = inf f(x) .
							[a,b]	[a,b]

7.6. Первая и вторая формулы среднего значения

Докажем формулу, которая называется первой формулой среднего значения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b], и функция g(x) не меня-

ет знака на этом сегменте. Если M = sup f(x) , m = inf f(x) , то существует число µ, удов-

	[a,b]	[a,b]
летворяющее неравенствам m ≤ µ ≤ M, такое, что справедлива формула
b	b
∫ f(x)g(x)dx = µ∫ g(x)dx .		(1)
a	a

Если, в частности, f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то ξ [a,b], что будет выполняться равенство

b	b
∫ f(x)g(x)dx = f(ξ)∫ g(x)dx .		(2)
a	a
		176

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Замечание. Формула (1) (и (2)) называется первой формулой среднего значения.

Доказательство. Будем предполагать, что g(x)≥0 (в случае g(x) ≤ 0 рассуждения аналогичные).

а) Если ∫ g(x)dx = 0 , то в силу свойства 10 определенного интеграла (см. тему 5)

∫ f(x)g(x)dx = 0 ,

и тогда в качестве µ можно взять любое число.

в) Пусть ∫ g(x)dx > 0 , тогда из 10)

a
b	b
m ≤ ∫ f(x)g(x)dx	∫ g(x)dx ≤ M .
a	a

b	b
Обозначая через µ = ∫ f(x)g(x)dx	∫ g(x)dx , будем иметь формулу (1).
a	a
Формула (1) доказана.

Для доказательства формулы (2) нужно показать, что в случае непрерывной функции f(x) найдется такая точка ξ [a,b], что f(ξ)=µ в формуле (1). Однако это вытекает из того, что непрерывная на сегменте [a,b] функция достигает на этом сегменте как своих точных граней M и m, так и любого промежуточного между ними значения µ (m ≤ µ ≤ M).

Следствие. В частном случае, когда g(x)≡1, формула (1) принимает вид:

∫ f(x)dx = µ (b −a) ,

а (в предположении непрерывности функции f(x) на сегменте [a,b]) формула (2) превращается в

∫ f(x)dx = f(ξ) (b −a)

Замечание. Если f(x) не является непрерывной, то формула (1) вообще говоря, невер-

на.

Пример.

	f(x)					g(x)
1					1
1					1
1					1
2					2

		1					1
2			1	x	2			1	x

177

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

1			≤ x ≤	1				≤ x ≤		1
	,	0			1, 0
	,	0			1, 0
f(x) = 2				2	g(x) =					2
		1	< x ≤1			1		1	< x	≤1
1,			< x ≤1				,		< x	≤1
		2						2
		2			2			2

b	1	1	1 2		1	1		1		3			2
		1				1		1	= µ	3			2
∫ f(x)g(x)dx = ∫			dx = µ	∫1 dx +	∫		dx				;	µ =		.
∫ f(x)g(x)dx = ∫		2	dx = µ	∫1 dx +	∫	2	dx	2		4	;	µ =	3	.
a	0	2		0	1 2	2		2		4			3
и для ξ [0,1]	f(ξ)≠µ.

Сформулируем без доказательства теорему, позволяющую получить формулу, известную под названием второй формулы среднего значения, или формулы Бонне. Эта формула будет неоднократно использоваться в разных разделах математического анализа, в частности, в разделе “Несобственные интегралы”.

Теорема. Если на сегменте [a,b] функция g(х) монотонна, а f(x) интегрируема, то

на этом сегменте существует такая точка ξ, что

b ξ b

∫ f(x)g(x)dx = g(a)∫ f(x)dx + g(b)∫ f(x)dx

a a ξ

– вторая формула среднего значения или формула Бонне.

7.7. Интеграл с переменным верхним пределом.

Одним из важных понятий для непрерывных и интегрируемых на сегменте [a,b] функций является понятие интеграла с переменным верхним пределом, используя которое, можно получить основную формулу интегрального исчисления – формулу НьютонаЛейбница.

Определение. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте [α,β] (a,b) и пусть c – некоторая фиксированная точка, принадлежащая интервалу (a,b), тогда, каково бы ни было число х (a,b), функция f(x) интегрируема на [c,x], и на интервале (a,b) опре-

делена функция F(x) = ∫ f(t)dt , которая называется интегралом с переменным верхним

пределом.

Теорема. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интер-

вале первообразную. Одной из первообразных является функция F(x) = ∫ f(t)dt , где с –

любая фиксированная точка интервала (a,b).						c
любая фиксированная точка интервала (a,b).				F(x + ∆x) − F(x)
Достаточно доказать, что для x (a, b) lim				F(x + ∆x) − F(x)	= f(x) (∆х берем таким,
Достаточно доказать, что для x (a, b) lim				∆x	= f(x) (∆х берем таким,
		∆x→0		∆x
чтобы (х+∆х) (a,b)). Рассмотрим разность
x+∆x	x	x	x+∆x	x		x+∆x
F (x + ∆x) − F (x) = ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt +			∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt =			∫ f (t)dt = f (ξ)∆x,
c	c	c	x	c		x
		178

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

где ξ – некоторое число, заключенное между х и х+∆х (Здесь было использовано свойство 6 определенного интеграла и первая формула среднего значения для непрерывной на сег-

менте функции).							при ∆х→0 f(ξ)→f(x), и поэтому
	Так как f(x)	непрерывна в	точке х,			то	при ∆х→0 f(ξ)→f(x), и поэтому
lim	F(x + ∆x) − F(x)	= f(x) .
lim	∆x	= f(x) .
∆x→0	∆x
	Замечание 1. Аналогично доказывается теорема для непрерывной на сегменте [a,b]
							x
функции f(x). В этом случае в качестве с можно взять точку а и F(x) = ∫ f(t)dt .
							a
				d x
	Замечание 2. Мы показали, что				∫ f(t)dt		= f(x) .
	Замечание 2. Мы показали, что				∫ f(t)dt		= f(x) .
				dx c

Замечание 3. Если f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (a,b), то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную функцию на интервале (a,b) от верхнего предела. В самом деле

			x+∆x	x
∆F = F(x + ∆x) − F(x) = ∫ f(t)dt − ∫ f(t)dt = µ ∆x,
			c	c
	M = sup f(x)
где m≤ µ ≤ M		[a,b]
где m≤ µ ≤ M
	m = inf f(x)
		[a,b]
Отсюда	lim	∆F = lim (µ ∆x) = 0 , и в силу разностной формы условия непрерыв-
	∆x→0		∆x→0

ности F(x) есть непрерывная на интервале (a,b) функция.

7.8. Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница

В разделе “Неопределенный интеграл” было показано, что любые две первообразные функции f(x) на сегменте [a,b] отличаются лишь на константу. В предыдущей теме данного пособия была доказана теорема, что интеграл с переменным верхним пределом

F(x)= ∫ f(t)dt является одной из первообразных функции f(x) на сегменте [a,b] (с,х [a,b]),

поэтому любая первообразная ϕ(х) непрерывной на сегменте [a,b] функции f(x) может

быть представлена в виде ϕ(x) = ∫ f (t)dt +c , где с – произвольная постоянная. Используя

		a
свойство 1 определенного интеграла, имеем		ϕ(a) = ∫ f (t)dt +c = c . Очевидно также, что
		a
b	b	b
при х=b ϕ(b) = ∫ f (t)dt +c = ∫ f (x)dx +c , откуда ∫ f (x)dx = ϕ(b) −c .
a	a	a

179

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Подставляя вместо с Ф(а) в последнее равенство, получим формулу

∫ f (x)dx = ϕ(b) −ϕ(a) .

Для удобства

записи

разность

(b)-

ϕ(а)

записывают в форме ϕ(x)

ab , и

∫ f (x)dx = ϕ(x)

– основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-

Лейбница.

Примеры:

π =

∫

= arctgx

= arctg

−arctg1 =

−

1+ x

(−1

−1) =1

cos2x

2 = −

= −

∫ sin 2xdx = −

cos2

−cos2 0

x 2

∫

= arcsin

−arcsin 0

16 − x2

4 0

cos x

−4)

4. ∫

dx = −

= −

−

= −

sin

sin x

2 π

sin

7.9. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Сегмент [a,b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определенной на сегменте α ≤ t ≤ β, при-

чем g(α)=a, g(β)=b.

	Пусть	также g′(t) непрерывна		t [α,β]. Тогда справедлива	формула:
b	β
∫ f(x)dx = ∫ f[g(t)]g′(t)dt			– формула замены переменной под знаком определенного инте-
a	α
грала.
	Доказательство.		Пусть ϕ (x) –	некоторая первообразная функции	f(x), т.е.
		b
ϕ′(x) = f (x)		и ∫ f (x)dx = ϕ(b) −ϕ(a) . Так как функции ϕ (х) и x=g(t) дифференцируемы на

соответствующих сегментах, то сложная функция ϕ [g(t)] дифференцируема на сегменте [α,β]. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

d	ϕ[g(t)] =ϕ′(g(t)) g′(t),	(1)
dt	ϕ[g(t)] =ϕ′(g(t)) g′(t),	(1)
dt
		180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015217.6 Кб27Вступительные испытания в магистратуру.doc
#
05.06.20151.23 Mб19ВТБ Составление закладной .doc
#
26.08.201953.04 Кб6Выездной семинар СЧАСТЬЕ.docx
#
05.06.201526.53 Кб57Выполнить задание. Маркетинг.docx
#
26.11.2018552.96 Кб12ВЫСТУПЛЕНИЯ МИГРАЦИЯ ВОЛГУ 09.doc
#
05.06.20155.73 Mб29Высшая математика.pdf
#
28.08.201966.72 Кб24Выявление уязвимостей компьютерных сетей.docx
#
08.05.20191.1 Mб11Г. Эмерсон. 12 принципов производительности.doc
#
05.06.20154.5 Mб7674Гарбовский Н.К. - Теория перевода (2007).pdf
#
05.06.2015266.39 Кб33Генеалогическая классификация языков.pdf
#
06.05.201937.85 Кб19геология Лабораторная работа №1.docx