Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Высшая математика

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
5.73 Mб
Скачать

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Mi и mi в случае непрерывности функции представляют собой максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [xi-1,xi] разбиения Т, S и s – площади заштрихованных ступенчатых фигур, изображенных на рисунках 1 и 2 соответственно.

Свойства верхних и нижних сумм подробно изложены в [2] (стр. 321-323), поэтому приведем лишь формулировки теорем и прокомментируем каждую из них с помощью рисунков.

Свойство 1. Для любого фиксированного разбиения Т и для любого ε>0 промежу-

точные

точки ξi на сегментах [xi-1,xi] можно выбрать

так, что интегральная сумма

I{xi, ξi }

будет удовлетворять неравенствам 0S- I{xi, ξi }

<ε. Точки ξi можно выбрать и

таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0I{xi, ξi } -

s<ε.

y

 

 

 

 

f(ξn)

f(ξ1) M1 M2 f(ξ2)

f(x)

Mi

Mn

 

 

 

 

f(ξi)

 

 

a=x0 ξ1 x1

ξ2 x2

 

ξi xi ξn

b=xn

x

 

Рис. 3

 

 

 

На рисунке 3 изображен график функции f(x), заданной на сегменте [a,b]. ξi – промежуточные точки на частичных сегментах [xi-1,xi], Преобразуем разность S- I{xi , ξi } =

M1x1 + M2x2 +... Mixi +...+ Mnxn -- f( ξ1 )x1- f( ξ2 )x2-...-f( ξi )xi -...- f( ξn )xn =

= [M1-f( ξ1)]x1+[M2-f( ξ2 )]x2+...+ +[Mi- f( ξi )]xi+...+[Mn- f( ξn )]xn.

Здесь S – верхняя сумма. Каждое слагаемое последней суммы представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника, поэтому S- I{xi , ξi } есть сумма площадей

заштрихованных прямоугольников, которая, очевидно, может быть сколь угодно уменьшена за счет выбора точек ξi (если промежуточные точки ξi выбирать близкими к точ-

кам сегментов [xi-1,xi], в которых функция f(x) принимает значения Mi). Для нижних сумм рассуждения проводятся аналогичным образом.

Свойство 2. Если разбиение T сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма Sразбиения Тне больше (S′ ≤S) верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма sразбиения Тне меньше (ss) нижней суммы s разбиения Т.

y

y

 

 

 

L

M

Q

 

 

 

 

 

 

 

B C

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

D

 

K

 

N

 

 

 

 

 

 

 

a=x0

t1

x1

x2

t2

x3=b

x

a=x0 t1

x1

x2

t2

x3=b

x

 

 

 

Рис. 4

 

 

 

 

Рис. 5

 

 

 

171

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

На рис. 4 точки x0, x1, x2, x3 – точки разбиения сегмента [a,b], соответствующие разбиению Т. Кружками отмечены новые точки t1, t2, которые вместе с точками xi дают новое разбиение Тсегмента [a,b].

Сегменты [x0,x1] и [x2,x3] поделились на сегменты [x0,t1], [t1,x1] и [x2,t2], [t2,x3], соответственно. Верхняя сумма на сегментах [x0,t1] и [x2,t2] уменьшилась на величину, равную площадям прямоугольников ABCD и KLMN, а на остальных частичных сегментах осталась без изменения, поэтому верхняя сумма Sразбиения Туменьшилась по сравнению с верхней суммой S.

На рис.5 приведена аналогичная картина для нижних сумм.

Свойство 3. Пусть Ти Т′′ любые два разбиения [a,b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s,S; s′′ ,S′′ соответственно нижние и верхние суммы разбиений Ти Т′′, то s′≤S′′; s′′ ≤S.

y

 

 

 

 

x

x0=ξ0=a ξ1

x1 ξ2

x2 ξ3 x3=ξ4=b

На рис. 6 одинарной штриховкой показана верхняя сумма Sразбиения Тсегмента [a,b] точками x0=a<x1<x2<x3=b, а двойной штриховкой – нижняя сумма s′′ разбиения Т′′ сегмента [a,b] точками

ξ0=a<ξ1<ξ2<ξ3<ξ4=b.

Рис.6

Свойство 4. Множество {S} верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через I точную нижнюю грань множества {S} верхних сумм I = inf{S}, а через I точную верхнюю грань множества {s} нижних сумм I = sup{s}. Чис-

ла I и I называются соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции f(x). Легко показать, что I I

s I I S

Свойство 5. Пусть разбиение Т[a,b] получено из разбиения Т добавлением к последнему р новых точек, и пусть s,S; s, S – соответственно нижние и верхние суммы разбиений Ти Т. Тогда для разностей S-S и s-s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения Т, числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на сегменте [a,b], а именно: S-S (M-m) р и s-s (M-m) р

172

 

 

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S- S=сумме площадей В

С

 

 

 

 

 

 

 

 

прямоугольников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M -m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

A

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 ξ1 x1

x2 ξ2 x3

x4=b

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.7

 

 

 

 

 

 

На рис.7 точки x0 = a < x1 < x2 < x3 < x4 = b соответствуют разбиению Т сегмента

[a,b],

а

две

добавленные

точки

ξ1 и ξ2

образуют

вместе

с

точками

xi:

x0=a<ξ1<x1<x2<ξ2<x3<x4=b разбиение Т

этого сегмента.

 

 

 

 

 

Одинарной штриховкой показана верхняя сумма S разбиения Т, а двойной штри-

ховкой два прямоугольника, сумма площадей которых дает уменьшение S до величины

S. Если через М и m обозначить точные верхнюю и нижнюю грани функции f(x) на [a,b],

а через максимальную длину частичного сегмента [xi-1,xi] разбиения Т, то площадь пря-

моугольника ABCD, равная (M-m)x будет больше площади каждого из двух прямо-

угольников, заштрихованных двойной штриховкой, отсюда очевидна оценка: S-S(M-

m)2 (здесь 2 – число добавленных точек). Для нижних сумм может быть дана аналогич-

ная интерпретация.

 

 

 

 

 

 

 

 

В заключение данной темы приведем без доказательства формулировку теоремы, из-

вестной под названием леммы Дарбу, имеющей фундаментальное значение для построения

теории в теме “Определенный интеграл”.

 

 

 

 

 

 

 

Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу I

и I от функции f(x) по сег-

менту [a,b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при ∆→0, т.е.

lim S = I

и lim

s = I .

 

 

 

 

 

 

 

∆→0

 

∆→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1. Число I , например, называется пределом верхних сумм S при ∆→0,

если ( ε > 0)( δ > 0): [( T )∆ < δ S I < ε].

 

 

 

 

 

 

Замечание 2. В случае, когда I = I = I лемма Дарбу позволяет переходить к преде-

лам в неравенствах вида s I{xi , ξi } S

при стремлении к нулю диаметра разбиения Т

сегмента [a,b]. При этом sI и SI, откуда I{xi , ξi } I .

 

 

 

 

7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте

Вышеперечисленные свойства верхних и нижних сумм позволяют доказать теорему об интегрируемости функции на сегменте.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого S – s ≤ ε.

173

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Не будем приводить доказательство этой теоремы, отметим лишь, что из неравенства S – s ≤ ε следует равенство I = I = I, что в силу замечания 2 гарантирует существование предела интегральных сумм I{xi , ξi } , равного I.

Определение. Число ωi = Mi – mi , где Mi и mi – точные верхняя и нижняя грани функции f(x) на [xi-1,xi] называются колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi]. Очевид-

но, что ωi ≥ 0, ибо Mi mi .

После введенного определения колебания функции f(x) разность

n

n

n

n

S s = M i xi mi xi =

(M i mi )xi = ωi xi 0

i=1

i=1

i=1

i=1

(так как все ωi 0 и хi >0) и последнюю теорему можно сформулировать так:

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируема на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента, для

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которого ωi xi ≤ ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

f(x) B a, b

]

f(x) L

a, b

]}

 

(

ε > 0 T :

ω

x

i

{

[

[

 

 

)( )

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

ε .

7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве

Пусть функция f(x) c{x} (непрерывна на множестве {x} ; {x} – множество замк-

нуто или нет, конечно или бесконечно), т.е. она непрерывна в каждой точке этого промежутка х0 {x} . Это означает, что

( ε > 0)( δ > 0)( x {x}):[x x0 < δ f(x) f(x0 ) < ε]

y

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

Отметим, что для фиксированного ε число δ

f(x1)

 

 

ε

 

зависит не только от ε, но и от точки х0.

 

 

 

 

 

 

 

Существует ли при заданном ε такое δ, кото-

 

 

ε

 

рое годилось бы для всех точек х0 из этого проме-

f(x0)

 

 

ε

 

жутка?

 

δ1

 

 

 

 

 

 

 

δ2

 

 

x0-δ x0 x

 

0+δ

x1

 

 

 

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на {x} , если для

ε > 0 можно указать такое положительное число δ (δ=δ(ε)), зависящее только от ε, что для любых двух точек xи x′′ множества {x} , удовлетворяющих условию x′′ − x′ < δ ,

выполняется неравенство

|f (x'' ) f (x' )|< ε .

Пример 1. y=lnx равномерно непрерывна на полупрямой x 1. В самом деле, по теореме Лагранжа для любых x′ ≥1, x′′ ≥1 (пусть для определенности x< x′′).

174

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

 

f(x′′) f(x)

 

=

 

f (ξ)

 

 

 

x′′ − x

 

=

1

 

 

x′′ − x

 

<

 

x′′ − x

 

, ибо x<ξ< x′′ и ξ>1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, по данному ε>0, если выбрать 0<δ≤ ε, то из x′′ − x′ < δ f(x′′) f(x) < ε

Пример 2. Функция f(x)=1x на интервале (0,1) непрерывна, но не является на нем равномерно непрерывной, т.е. для некоторого ε>0 нельзя выбрать δ>0 такое, что неравен-

ство

 

f(x′′) f(x)

 

< ε

будет выполнено для всех x′′ и xпри условии, что

 

x′′ − x

 

< δ .

 

 

 

 

 

 

Покажем это.

Пусть δ>0, x= δ, x′′= δ 2 , тогда x′′ − x′ < δ 2 , а величина

f(x′′) f(x) = 2 δ −1 δ =1 δ может быть сделана сколь угодно большой.

y

y2

εδ20 при y2→∞

y1

 

y =

1

ε

 

 

x

 

 

 

δ2

δ1

 

x

Для непрерывной на сегменте функции справедлива следующая теорема.

Теорема (Кантора). Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте.

Теперь, с очевидностью, вытекает следствие: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда ( ε > 0)( δ > 0) такое, что на каждом, принадлежащем сегменту [a,b] частич-

ном сегменте [c,d], длина d-c которого меньше δ, колебание ω функции f(x) меньше ε. Сформулируем и докажем следующую основную теорему.

Теорема. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте. Пусть дано ( ε > 0) . Так как f(x) равномерно непрерывна на сегменте [a,b] (теорема

Кантора), то для положительного числа ε(b a) можно указать такое δ>0, что при разбиении Т сегмента [a,b] на частичные сегменты [xi-1,xi], длина максимального из которых <δ, колебание ωi функции f(x) на каждом из них меньше ε(b a) (следствие из теоремы

n

ε

n

Кантора). Тогда для таких разбиений Т S s = ωi xi <

 

xi = ε и выполняется

 

i=1

b a i=1

достаточное условие интегрируемости функции f(x).

Замечание. Если f(x) имеет на [a,b] конечное число точек разрыва 1-го рода, то функция f(x) также интегрируема на этом сегменте. При этом, если, например, f(x) раз-

b

c

b

рывна в одной точке x=c, то f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx , и значение этих интегралов не

a

a

c

зависит от значения функции в точке с.

175

7.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

7.5.Основные свойства определенного интеграла

 

a

 

 

1)

f(x)dx = 0

 

(по определению).

 

a

 

 

 

b

a

 

2)

f(x)dx = −f(x)dx

(по определению, при a<b).

ab

bb

3)

cf(x)dx = cf(x)dx

 

(с = const).

 

a

a

 

 

 

b

b

b

 

4)

[f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx

 

 

a

a

a

 

 

b

c

b

 

5)

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

для произвольных с, при условии интегрируемо-

 

a

a

c

 

сти функции f(x).

 

 

 

b

 

 

 

6) f(x)dx 0, если f(x) 0 x [a,b].

a

7) Если функция f(x) c[a,b], то свойство 6) можно уточнить при f(x) 0.

b

 

b

 

если f(x) g(x) x [a,b].

8) f(x)dx g(x)dx

 

a

 

a

 

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

f(x)dx

 

f(x)

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

b

 

10) mg(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx,

 

 

 

a

 

 

 

a

 

a

 

если

g(x) 0

x [a,b],

M = sup f(x) , m = inf f(x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a,b]

[a,b]

7.6. Первая и вторая формулы среднего значения

Докажем формулу, которая называется первой формулой среднего значения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b], и функция g(x) не меня-

ет знака на этом сегменте. Если M = sup f(x) , m = inf f(x) , то существует число µ, удов-

 

[a,b]

[a,b]

летворяющее неравенствам m ≤ µ ≤ M, такое, что справедлива формула

b

b

 

f(x)g(x)dx = µg(x)dx .

(1)

a

a

 

Если, в частности, f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то ξ [a,b], что будет выполняться равенство

b

b

 

f(x)g(x)dx = f(ξ)g(x)dx .

(2)

a

a

 

 

 

176

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Замечание. Формула (1) (и (2)) называется первой формулой среднего значения.

Доказательство. Будем предполагать, что g(x)0 (в случае g(x) 0 рассуждения аналогичные).

b

а) Если g(x)dx = 0 , то в силу свойства 10 определенного интеграла (см. тему 5)

a

b

f(x)g(x)dx = 0 ,

a

и тогда в качестве µ можно взять любое число.

b

в) Пусть g(x)dx > 0 , тогда из 10)

a

 

b

b

m f(x)g(x)dx

g(x)dx M .

a

a

b

b

Обозначая через µ = f(x)g(x)dx

g(x)dx , будем иметь формулу (1).

a

a

Формула (1) доказана.

 

Для доказательства формулы (2) нужно показать, что в случае непрерывной функции f(x) найдется такая точка ξ [a,b], что f(ξ)=µ в формуле (1). Однако это вытекает из того, что непрерывная на сегменте [a,b] функция достигает на этом сегменте как своих точных граней M и m, так и любого промежуточного между ними значения µ (m ≤ µ ≤ M).

Следствие. В частном случае, когда g(x)1, формула (1) принимает вид:

b

f(x)dx = µ (b a) ,

a

а (в предположении непрерывности функции f(x) на сегменте [a,b]) формула (2) превращается в

b

f(x)dx = f(ξ) (b a)

a

Замечание. Если f(x) не является непрерывной, то формула (1) вообще говоря, невер-

на.

Пример.

 

f(x)

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

1

x

2

1

x

177

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

1

 

 

 

x

1

 

 

x

1

 

 

 

,

0

 

1, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = 2

 

 

 

 

2

g(x) =

 

 

 

2

 

 

 

1

 

< x 1

 

1

 

1

< x

1

1,

 

 

 

 

,

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

b

1

1

1 2

1

1

 

 

1

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= µ

 

 

 

f(x)g(x)dx =

 

dx = µ

1 dx +

 

dx

 

 

 

;

µ =

 

.

2

2

2

4

3

a

0

 

0

1 2

 

 

 

 

 

 

и для ξ [0,1]

f(ξ)≠µ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сформулируем без доказательства теорему, позволяющую получить формулу, известную под названием второй формулы среднего значения, или формулы Бонне. Эта формула будет неоднократно использоваться в разных разделах математического анализа, в частности, в разделе “Несобственные интегралы”.

Теорема. Если на сегменте [a,b] функция g(х) монотонна, а f(x) интегрируема, то

на этом сегменте существует такая точка ξ, что

b ξ b

f(x)g(x)dx = g(a)f(x)dx + g(b)f(x)dx

a a ξ

– вторая формула среднего значения или формула Бонне.

7.7. Интеграл с переменным верхним пределом.

Одним из важных понятий для непрерывных и интегрируемых на сегменте [a,b] функций является понятие интеграла с переменным верхним пределом, используя которое, можно получить основную формулу интегрального исчисления – формулу НьютонаЛейбница.

Определение. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте [α,β] (a,b) и пусть c – некоторая фиксированная точка, принадлежащая интервалу (a,b), тогда, каково бы ни было число х (a,b), функция f(x) интегрируема на [c,x], и на интервале (a,b) опре-

x

делена функция F(x) = f(t)dt , которая называется интегралом с переменным верхним

c

пределом.

Теорема. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интер-

x

вале первообразную. Одной из первообразных является функция F(x) = f(t)dt , где с –

любая фиксированная точка интервала (a,b).

 

 

 

c

 

F(x + ∆x) F(x)

 

 

Достаточно доказать, что для x (a, b) lim

= f(x) (х берем таким,

x

 

 

x0

 

 

чтобы (х+х) (a,b)). Рассмотрим разность

 

 

 

 

x+∆x

x

x

x+∆x

x

 

x+∆x

F (x + ∆x) F (x) = f (t)dt f (t)dt = f (t)dt +

f (t)dt f (t)dt =

f (t)dt = f (ξ)x,

c

c

c

x

c

 

x

 

 

178

 

 

 

 

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

где ξ – некоторое число, заключенное между х и х+х (Здесь было использовано свойство 6 определенного интеграла и первая формула среднего значения для непрерывной на сег-

менте функции).

 

 

 

 

 

при х0 f(ξ)f(x), и поэтому

 

Так как f(x)

непрерывна в

точке х,

то

lim

F(x + ∆x) F(x)

= f(x) .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1. Аналогично доказывается теорема для непрерывной на сегменте [a,b]

 

 

 

 

 

 

 

x

функции f(x). В этом случае в качестве с можно взять точку а и F(x) = f(t)dt .

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

d x

 

 

 

Замечание 2. Мы показали, что

 

 

f(t)dt

= f(x) .

 

 

 

 

 

 

 

dx c

 

 

Замечание 3. Если f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (a,b), то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную функцию на интервале (a,b) от верхнего предела. В самом деле

 

 

 

x+∆x

x

F = F(x + ∆x) F(x) = f(t)dt f(t)dt = µ ∆x,

 

 

 

c

c

 

M = sup f(x)

 

где m≤ µ ≤ M

 

[a,b]

 

 

 

 

 

 

 

m = inf f(x)

 

 

 

[a,b]

 

 

Отсюда

lim

F = lim (µ ∆x) = 0 , и в силу разностной формы условия непрерыв-

 

x0

 

x0

 

ности F(x) есть непрерывная на интервале (a,b) функция.

7.8. Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница

В разделе “Неопределенный интеграл” было показано, что любые две первообразные функции f(x) на сегменте [a,b] отличаются лишь на константу. В предыдущей теме данного пособия была доказана теорема, что интеграл с переменным верхним пределом

x

F(x)= f(t)dt является одной из первообразных функции f(x) на сегменте [a,b] (с,х [a,b]),

c

поэтому любая первообразная ϕ(х) непрерывной на сегменте [a,b] функции f(x) может

x

быть представлена в виде ϕ(x) = f (t)dt +c , где с – произвольная постоянная. Используя

a

 

 

a

свойство 1 определенного интеграла, имеем

ϕ(a) = f (t)dt +c = c . Очевидно также, что

 

 

a

b

b

b

при х=b ϕ(b) = f (t)dt +c = f (x)dx +c , откуда f (x)dx = ϕ(b) c .

a

a

a

179

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Подставляя вместо с Ф(а) в последнее равенство, получим формулу

b

f (x)dx = ϕ(b) −ϕ(a) .

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

Для удобства

записи

 

разность

ϕ

 

(b)-

 

ϕ(а)

 

записывают в форме ϕ(x)

 

ab , и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx = ϕ(x)

 

ab

 

– основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лейбница.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π =

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

= arctgx

 

= arctg

 

3

arctg1 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(1

1) =1

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2x

2 = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

sin 2xdx = −

2

 

cos2

2

cos2 0

2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

= arcsin

= arcsin

arcsin 0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 x2

4 0

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

(1

4)

 

3

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

dx = −

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

=

 

 

 

 

sin

3

x

sin x

 

2

 

 

2 π

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

sin

2

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.9. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Сегмент [a,b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определенной на сегменте α ≤ t ≤ β, при-

чем g(α)=a, g(β)=b.

 

Пусть

также g(t) непрерывна

t [α,β]. Тогда справедлива

формула:

b

β

 

 

 

 

f(x)dx = f[g(t)]g(t)dt

– формула замены переменной под знаком определенного инте-

a

α

 

 

 

 

грала.

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Пусть ϕ (x) –

некоторая первообразная функции

f(x), т.е.

 

 

b

 

 

 

ϕ(x) = f (x)

и f (x)dx = ϕ(b) −ϕ(a) . Так как функции ϕ (х) и x=g(t) дифференцируемы на

a

соответствующих сегментах, то сложная функция ϕ [g(t)] дифференцируема на сегменте [α,β]. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

d

ϕ[g(t)] =ϕ(g(t)) g(t),

(1)

dt

 

 

 

 

180