ЭВМ_Семестр4_МетодПособие

3

4,300336

4,298723

4,298722

t

Эйлера

Рунге

аналитическое

№

Функция f(t,y)

t0

T

y0

вар.

1.

y /t t2

1

2

0

2.

yctgt 2t sint

+1

0

2

2

3.

y cost

sin(2t)

0

1

0

2

4.

ytgt cos2 t

+1

0.5

4

4

5.

y

t

2

2t

-1

0

1.5

t 2

y

t

6.

e

(t 1)

0

1

1

t 1

7.

y / t t sin t

+1

1

2

2

8.

y / t sint

+1

1

9.

y

t 2

1

2

1

2t

2t

2t2

2

10.

1 t2 y 1 t2

0

1

3

11.

2t 5

y 5

2

3

4

t 2

12.

y / t

t 1

e

t

1

2

e

t

№

Функция f(t,y)

t0

T

y0

вар.

13.

y / t 2ln t / t

1

2

1

14.

y / t 12 / t3

1

2

4

15.

2 y / t t3

1

2

-

5

6

16.

y /t 3t

1

2

1

17.

2ty

1 t2

1

2

3

1 t2

18.

2t 1

y 1

1

2

1

t2

19.

3y

2

1

2

1

t3

t

20.

2ty 2t3

1

2

e 1

21.

y / t 2 / t

2

1

1

1

22.

ty t3

0

1

3

23.

2

y et (t 1)2

0

1

1

t 1

24.

2ty te

t2

sint

0

1

1

2 y

3

25.

(t

1)

0

1

0.5

t 1

26.

y cost sin 2t

0

1

3

27.

4ty

4t

3

0

1

-0.5

28.

y / t ln t / t

1

2

1

29.

3t 2 y t 2 (1 t3 ) / 3

0

1

0

30.

y cost sin 2t

0

1

-1

условной оптимизации

Пусть

задано

множество

и

функция

( )

(

) определенная на множестве X. Точка

называется точкой локального минимума функции

(

) на множе-

стве

,

если

существует

окрестность

или шар

(

)

*

‖

‖

+ такой, что для любого

(

) выполняется неравенство

(

)

( )

(9.1)

Если неравенство (10.1) выполняется как строгое (при

),

то говорят, что

- точка строгого локального минимума. Точка

называется точкой глобального минимума функции

(

) на

множестве , если неравенство (10.1) выполняется для любого

из

множества .

Аналогично определяются точки локального и глобального

максимума функции

( ) на множестве .

Точки локального минимума и максимума функции (

) назы-

вают точками экстремума этой функции.

Задача отыскания всех локальных минимумов (максиму-мов)

функции

( ),

если множество

совпадает со всем -мерным про-

странством, т.е.

, называется задачей безусловной оптими-

зации, а функция (

) – целевой функцией.

Задачу отыскания точек локального минимума целевой функ-

ции

( ) символически записывают так:

(

)

(9.2)

( )

(9.3)

Пусть

– точка локального минимума функции ( ), которая имеет

в этой

точке непрерывные частные производные

(

( )

(

)

(

)=.

/

равен нулевому

вектору, т.е.

( )

.

Точкa

, удовлетворяющая условию

(

)

называется стационарной точкой функции (

).

Не всякая стационарная точка функции

( ) является решени-

ем задачи (2).

Пусть даны квадратная матрица

(

) порядка

и вектор

. Умножение матрицы

на вектор

дает вектор

, коор-

динаты которого определяются соотношениями

= ∑

(

)

называется матрицей Гессе функции ( ).

Теорема. Если точка

– локальное решение задачи (2) и в

этой точке функция

( ) имеет непрерывные частные производные

до второго порядка включительно, то матрица Гессе функции ( ) в

точке является неотрицательно определенной, т.е.

( (

)

)

Теорема (о достаточных условиях локального экстрему-

ма).

Если точка

является стационарной точкой функции ( ),

т.е

( )

., и матрица Гессе функции ( ) в тоже

положи-

тельно определена, то

- строгое локальное решение задачи (2); ес-

ли _в точка

являемся стационарной для функции ( ) и матрица

. /

. /

при

этом

( ) (

*

(

)

.

/

( )

.

/

В силу критерия Сильвестра матрица

( ) не является неот-

рицательно определенной, а матрица

( ) положительно определе-

на. Следовательно, на основании теоремы 3

точка

не является ре-

шением задачи; согласно теореме 4, в точке

данная целевая функ-

ция достигает строгого локального минимума.

( )

(

) .

/

{

Решением этой системы является точка

. /.

При этом

( ) (

,

Следовательно, в точке

имеет место строгий локальный мак-

симум.

Выпуклые множества и выпуклые функции

Множество

называется выпуклым, если вместе с лю-

быми двумя точками

и

ему целиком принадлежит отрезок, со-

(

)

,

-

(9.4)

Функция

( )

определенная

на

выпуклом

множестве

, называется выпуклой, если

,

-

справед-

ливо неравенство

((

)

) (

) (

)

( )

(9.5)

Если неравенство (5) выполняется как строгое, то функция

( )

называется строго выпуклой на множестве .

Теорема. Если функция

( )

выпукла на множестве

и

яв-

ляется стационарной точкой функции

(

), т.е.

( )

, то

строгое локальное решение задачи

( )

(9.6)

Теорема.

Если функция

( )

и множество

выпуклы, то лю-

до второго порядка включительно и матрица Гессе функции ( )

по-

ложительно определена в любой точке х выпуклого множества

, то

функция ( ) является выпуклой на множестве .

Пример 1. Дана функция