ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdfМетод сканирования |
|
|
|
Пусть функция |
( ) является унимодальной на некотором |
||
промежутке. Предположим, что произвольная точка |
этого проме- |
||
жутка является исходной для поиска точки |
локального минимума |
||
и число – заданная точность нахождения |
. Обозначим через |
||
произвольное приращение аргумента |
|
и, сделав один шаг от точки |
||||||||||
получим новое значение аргумента |
|
|
. |
|
||||||||
|
Сравним значения функции |
|
|
( ) |
и |
( ) |
||||||
( |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможны три различных продолжения в приближении к точке |
|||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. |
|
– произошло уменьшение значения функции. |
||||||||||
|
Тогда примем в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
качестве нового стартового значения |
( |
) |
и сделаем |
|||||||||
|
|
|||||||||||
шаг |
от этой точки |
( |
) к точке ( ) т.е. |
( ) |
( ) |
Ес- |
||||||
ли окажется |
( ) |
|
( |
) |
то снова сделаем шаг |
от новой |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
cтартовой точки |
( |
) |
|
( ) |
и т.д. На некотором -м шаге |
|||||||
произойдет увеличение значения функции, т.е. |
( ) |
( ) |
||||||||||
|
|
|||||||||||
и если при этом | | |
|
, то принимаем |
( ) с по- |
|||||||||
грешностью | |. |
В противном случав полагаем, что точка |
|||||||||||
̃ |
( ) |
является исходной для продолжения вычисле- |
||||||||||
|
||||||||||||
ний по следующей схеме II. |
|
|
|
|
|
|
||||||
II. |
|
– значение функции возросло. В этом случае |
||||||||||
|
полагаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
начальной точкой вычислений является точка |
̃ |
а |
||||||||||
меньшим шагом в продолжении счета - величина ̃ |
||||||||||||
|
где |
– |
некоторое |
целое |
положительное |
чиcло, |
||||||
|
. Далее производим вычисления по схеме I или II, |
|||||||||||
вплоть до достижения заданной точности. |
|
|
|
|||||||||
III. |
|
В этом практически маловероятном случае |
||||||||||
|
(опущенном при рассмотрении случаев I и II) |
|
||||||||||
естественно |
либо |
принять |
( |
|
|
) |
при |
дости- |
||||
жении заданной точности | | |
либо следовать схеме II. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
Поиск минимума функции одной переменной указанным методом представляет собой колебательный процесс, совершающийся около точки х* локального минимума функции ( ) с непрерывно уменьшающейся амплитудой.
Описанный метод поиска локального минимума называют методом сканирования (scan – "проводить исследования по определен-
ному плану"). |
|
|
|
|
|
|
Пример |
5. Найти точку х* локального минимума функции |
|||
( |
) |
методом сканирования с точностью |
, пола- |
||
гая |
; |
|
и |
. |
|
|
Последовательность вычислений можно представить в виде пар |
||||
|
( |
) |
|
|
|
координат ( ( |
)+ где |
0; 1, а верхний индекс является номером |
|||
очередного шага сканирования. Имеем:
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
̃ |
|
|
|
|
‖̃‖ |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
̃( ) |
|
̃( ) |
|
|||
̃ |
̃ |
̃ |
̃ |
|
̃ |
|
||||
̃ |
( ) |
̃ |
|
|
̃( ) |
̃ |
̃( ) |
|
|
|
̃( ) |
̃( ) |
̃( ) |
|
̃( ) |
̃ |
|
̃( ) |
̃( ) |
̃( ) |
|
̃( ) |
̃( ) |
̃( ) |
|
|
̃( ) |
̃( ) |
̃( ) |
|
||
92
|
Здесь при вычислениях с шагом ̃ от точки ̃ |
0.65 до точки |
|
̃( ) |
0,5 происходило уменьшение значений целевой функции, а в |
||
точке ̃( ) |
0.45 значение функции возросло. Следовательно, можно |
||
принять, что минимальное значение функции достигается в точке
̃( ) |
0.5 с погрешностью 0.05. |
|
Для определения точки |
локального минимума метод скани- |
|
рования применим без предварительного нахождения промежутка
унимодальности целевой функции |
* ). Задавая различные началь- |
|
ные точки |
и начальный шаг , |
с помощью метода сканирования |
можно найти различные точки локального минимума, если целевая функция имеет не единственный минимум.
Если предварительно получен отрезок , |
- унимодальности |
|||
функции, то естественно выбирать начальную |
точку |
принад- |
||
лежащую отрезку , |
-, а шаг |
– таким, чтобы результаты вычисле- |
||
ний принадлежали отрезку , |
-. |
|
|
|
Для целевой |
функции |
( ) имеющей |
непрерывные про- |
|
изводные до второго порядка включительно, начальное приращение
аргумента |
в точке |
можно вычислять по |
формуле |
|||||||
( ) |
( ). |
Действительно, |
запишем |
разложение |
Тейлора |
|||||
функции ( |
) в окрестности точки |
по степеням |
ограничиваясь |
|||||||
квадратичными членами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
( ) |
( ) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В точке минимума |
производная по |
равна нулю, т.е. |
||||||||
|
|
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем уравнение |
( |
) |
( ) |
, от- |
||||||
куда находим величину . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
93
Задание к расчетно-графической работе №9
Задание 1.
Найти решение задачи безусловной минимизации
( ) |
. |
для заданной целевой функции ( ), используя теоремы о необходимых и достаточных условиях безусловной минимизации. Установить, на каком множестве данное решение является глобальным.
1 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
) |
⁄ |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
( ) |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94
12. |
( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
( |
) |
( |
|
) ⁄ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
( |
) |
( |
)( ( |
) |
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95
29. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. |
|
||
|
Для заданной целевой функции ( ) найти промежуток |
, |
||
на котором она унимодальна. Найти точное решение задачи одномерной минимизации
( ) |
( |
) |
Найти |
приближенное |
решение этой задачи с точностью |
:
а) методом половинного деления; б) методом золотого сечения; в) методом сканирования.
1.
2.
3.
4.
5. ( )
6.√
7. |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
|
⁄ ( |
) |
||
96
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
* ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
( |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
( |
|
|
)( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
22. |
( |
|
|
)( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
( |
|
|
|
|
|
|
) ⁄ |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
25. |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26. |
( |
|
|
)( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
29. |
( |
|
|
)( |
|
|
|
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10
Многомерные задачи оптимизации Краткие теоретические сведения
Необходимые и достаточные условия экстремума в задачах безусловной оптимизации
Задачи минимизации функций
Одной из основных проблем вычислительной математики являются задачи минимизации функций многих переменных (задачи оптимизации). Весьма часто поиск минимума проводится при некоторых дополнительных ограничениях – условная минимизация. Для численного решения таких задач используются итерационные методы, а для задач с ограничениями применяются методы штрафных функций. Простейшей задачей рассматриваемого класса является поиск минимума одномерной функции.
Математически постановка задачи выглядит следующим образом: для
заданной функции |
( ) определенном на допустимом множестве |
|||
из евклидова пространства |
|
необходимо найти точки минимума |
||
(максимума), т. е. |
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
(10.1) |
Если учесть, что |
|
|
|
|
|
( ) |
|
( |
( )) |
то в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением только задач минимизации.
98
Точка |
есть точка глобального |
минимума функции ( ) на |
||
множестве |
, если |
|
|
|
|
( ) |
( |
) |
|
и точка локального минимума, если |
, т. е. |
|||
|
( |
) |
( ) |
|
в окрестности точки Очевидно, что глобальное решение является и локальным. Обратное утверждение – неверно.
Задача (1) называется задачей безусловной оптимизации, если
( ) |
(10.2) |
Если некоторое подмножество пространства |
, то мы имеем зада- |
чу условной оптимизации. Такие задачи существенно сложнее для численного решения, чем задачи безусловной минимизации. Ограни-
чения могут быть сформулированы в виде равенств ( |
( ) |
||
|
) или неравенств ( ( ) |
). |
|
Функции |
( ) |
– скалярные функции со значения- |
|
ми в |
. Выражения |
( ) |
называются |
ограничениями оптимизационной задачи. Ограничения вида ( ) называются функциональными, а ограничения
называется ограничениями типа включения. Различие между функциональными и нефункциональными ограничениями условно, так как каждое включение можно записать как функциональное ограничение и, наоборот, любое функциональное ограничение легко превратить во
99
включение. Одновременное использование этих ограничений делает постановку задачи более структурированной и, следовательно, более наглядной. Формально экстремальная задача в этом случае записывается в следующем виде:
( ) |
( ) |
(10.3) |
Вычислительные алгоритмы для приближенного решения задачи оптимизации чаще всего строятся на использовании необходимых и достаточных условий оптимальности, т. е. условий, которые имеют место в точке минимума. Реализация такого подхода связана с решением соответствующих нелинейных уравнений итерационными методами.
Численные методы минимизации функции
Численное решение задачи минимизации (1.3), как правило, связано с построением минимизирующей последовательности точек
обладающих свойством
( ) ( )
Общее правило построения минимизирующей последовательности имеет вид
где |
– начальная точка поиска; |
– вектор, который определяет |
||
направление ( |
) – го шага минимизации, а коэффициент |
– |
||
длина этого шага. Начальная точка поиска задается исходя из физического содержания решаемой задачи и априорных данных о существовании и положении точек экстремума.
100