Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЭВМ_Семестр4_Лаба9

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

939.74 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

РГР №12. Алгебраическая проблема собственных значений

Калядин В.И.

Формулировка задачи. Для (n×n)-матрицы А требуется определить такие значения (собственные значения), для которых существуют

нетривиальные (не равные нулю) решения (собственные векторы )

однородной системы линейных алгебраических уравнений


Ax λ x		(1)

и отыскать эти нетривиальные решения .

Многие задачи науки и техники приводят к решению проблемы собственных значений. Рассмотрим на примерах некоторые из них.

Пример 1. Деформации изотропного материала			можно описать

линейным преобразование Ax . Пусть плоское деформированное
состояние				материала
задается				матрицей
	6	2
				Рассмотрим
	2	3	.	Рассмотрим
	2	3

деформацию единичного квадрата с вершинами ОВcD задаваемыми

векторами b, c, d и определим какие новые

положения (см.

b , c , d

Рисунок 1 рисунок 1) займут вершины В, c, D. Для

этого выполним линейные преобразования этих векторов:

		6		2	1	6
b	Ab
			2	3	0	3
			2	3	0	3

	6	2	1	8			6	2	0	2

					d	Ad
c Ac
	2	3					2	3	1	3
			1	5

Деформированный после приложения нагрузки единичный

квадрат показан пунктиром на рисунке 1. Видно, что векторы

b , c , d

после деформации отклонились от исходного направления. Из соотношения (1) ясно, что рассмотренные векторы не являются собственными, поскольку для собственных векторов в силу (1) направления исходного и преобразованного векторов должны совпадать. Отыщем для матрицы А собственные значения и векторы, не отклоняющиеся от исходного направления после преобразования – то есть собственные векторы. Перепишем соотношение (1) иначе:

							6		2	1		0
Ax	x		(A E)x 0									x 0
								2			0
								2	3		0	1	(2)
	6				0				6				(2)
	6	2			0	0			6		2
					x	0						x 0.
		3
	2	3		0					2 3

Записанная выше однородная система уравнений имеет при главном

определителе det(A E) 0	нулевое решение – оно нам не
подходит. Поэтому найдем такие , чтобы выполнилось условие
		0

det( A x )	A x		( 3 )

при котором возможны ненулевые решения (напомним, что их будет бесконечно много). Развернув для нашего примера условие (3)

6	2	(6	)(3 ) 4	2	9 14 0,	( 4 )
6	2
2	3
2	3

и решив это уравнение, получим 1 7; 2 2 – собственные значения.

Уравнение (4) относительно называют характеристическим полиномом матрицы А. Существует n cобственных значений, среди которых могут быть одинаковые (кратные). Подставим 1 7 в систему

(2):

6 1		2	6 7		2		1x1 2x2 0.
	2	x		2	3	x	0	2x1 4x2 0.
		3 1				7

Пусть	x1 2 , тогда	x2		2
			1 удовлетворяет второму уравнению, т.е. x
				1

– решение этой системы.


Если x –	собственный вектор, то k x – тоже собственный вектор

( k 0 ). Для определенности обычно нормируют собственные векторы

– приводят их «длины» к единице, т.е. делят каждую компоненту вектора на его норму (меру всех его компонент). Например, как сделано далее, используют вторую из двух указанных норм:

																									2 2					1
																				x
																				x
1)		x		max								x				e																				нормирование по							ой норме
1)		x		max								x				e																				нормирование по							ой норме
										i				i			1										2
																			x			2			1		2			0.5
																			x			2			1					0.5
														x12 x22
2)																				22 12 5;
2)		x	2				x													22 12 5;
			2													1		2

							x						x							нормирование по второй норме
		e1
		e1
						x		2					x				5	1
						x		2										1							6 2							2				4x1 2x2 0
Подставим теперь																	2			2					6 2							2				4x1 2x2 0
Подставим теперь																	2			2										3					x		2x1		x2 0
																											2			3				2			2x1		x2 0
В		качестве													решения									годятся									x1 1;				x2		2			,	тогда			второй
нормированный собственный вектор равен:
																														1				1
																										x				1
																				e2														2


																										x	2				5
																											2
		Итак,							найдены собственное значение 1 , 2																																	(это вещественные

числа) и собственные векторы (они обозначены как e1																																						, e2 на рисунке 1),
причѐм они ортогональны (перпендикулярны):
																							) 0;													1									)

eT e	2				e				e		2			cos(e ^ e							2								e		e				2		e			e	2	sin(e ^ e		2
1	2				1						2							1			2								1						2		1				2		1	2		( 6 )
																												.																		( 6 )
																												.
Всегда ли так бывает?																				Оказывается, что если матрица A симмет-

рична в вещественном случае (или эрмитова – в комплексном случае), то она имеет вещественные собственные значения. Кроме того в этом случае собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. В

нашем примере они ещѐ и нормированы, поэтому говорят, что они

ортонормированны.

Поскольку вектор x , направленый по собстенному вектору, после

преобразования Ax не меняет направления, а лишь меняет свою длину,

то

удобно

выбрать

новую

систеу

координат E1OE2,

оси

которй

направить по собственным векторам e1

, e2 . Поскольку

e ,

( 7 )

1 1

то разложив, например, вектор c на составляющие по этим осям, легко

получить результирующий вектор с

Aс

Aс A(c1e1

c2e2 ) c1Ae1 c2 Ae2 1c1e1 2c2e2

( 8 )

Преобразование

Aс

сводится

растяжению проекций

вектора с в

1 7 и 2 2 раз соответственно по осям OE1 и OE2. Эти новые оси

координат, направленные вдоль собственных векторов e1 и e2 ,

называют главными осями деформации.

Пример 2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Квадратичная форма

y) (x

y) 6x

4xy 3y

F (x, y)

Av (x y) A(x

имеет размерность энергии. Если интересоваться кривой, для которой значение F(x,y)=Const, то квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду (упрощена). Для этого следует записать еѐ в системе координат E1OE2. Это можно сделать заменой x,y-координат исходной системы координат на u,v-координаты системы, повѐрнутой на угол arctg(1/ 2) до совмещения с собственными векторами. Формулы для замены:

x u cos v sin

yu sin v cos

Врезультате такой замены

F(x, y) 6x2 4xy 3y2 7u2 0 u v 2v2 F(u, v)

обнуляется член,	содержащий произведение координат, и кривая
приобретает вид,	близкий к каноническому виду. Например, для
Const=7 кривая 7u2 2v2 7 легко приводится к эллипсу
		u 2		v2
							1
		12	1			2
					2

с полуосями 1 и 12 , который легко построить в повѐрнутой системе координат. Этот эллипс с показанными пунктиром повѐрнутыми осями представлен на рисунке 2.

Рисунок 2

Пример 3. Применение собственных значений в оптимизации.

В оптимизации, при исследовании на минимум (максимум) стационарной точки (точке с нулевой или нулевыми первыми производными), используют собственные значения матрицы A наряду с

условием положительной определѐнности > 0								(отрицательной
оптимизации	< 0 )		квадратичной			формы		,	которая

равняется нулю лишь при = 0.
Приведѐм пример 5.2. из РГР №5 [1] квадратичной формы,
которую можно выделить из положительной суммы квадратов
,		= 3 2	+ 2 ∙ 3		+ 5 2	− 2 − 4 + 1
1	2	1	1	2	2	1	2
отклонений	точек		данных		от	сглаживающей			их
прямой = 1		+ 2 ∙ .

Переместим	начало	координат									системы									координат			1 2		в
стационарную	точку					= −		1	,			=		1		,		1	= ( , )			и	получим		в
стационарную	точку					= −			,			=				,			= ( , )			и	получим		в
					1		6			2		2					6			1	2
							6					2					6
новой системе координат												(при								=	− ;		=	−	)
						1	2										1			1	1	2	2	2
положительно определѐнную квадратичную форму:
∙ 2 + 2 ∙ ∙ + ∙ 2										3 2							+ 2 ∙ 3 + 5 2
1		1	2				2					1								1	2	2
	=	3			3	=					> 0,
	=	3			5	=					> 0,
		3			5
где	= −	−		1		,	=					−	1		, = 1						2 .
где	= −	−				,	=					−			, = 1						2 .
1	1		6			2				2		2
			6									2

Покажем, что свойство положительной (отрицательной) определѐнности матрицы равносильно наличию у этой матрицы положительных (отрицательных) собственных векторов.

Действительно,	если нормированные	∙	= 1 собственные
векторы ,	и соответствующие	им собственные значения
> 0, = 1,2 вычислены, то можно записать

vT Av
vT Av			(v e				v e )T A(v e							v e ) (v e						v e )T ( v e						v e )
					1	1		2	2			1	1			2	2	1	1		2	2	1	1	1		2	2	2
																						v2		v2
v2eT e					v v eT e							v v eT e						v2eT e				v2		v2
1	1	1	1				1	1	2	2	1	2		1	2	1	2	2	2	1	2	1	1			2	2
																														0 ). Таким
в силу				того,					что			векторы						ещѐ	и		ортогональны							(	e1T e2	0 ). Таким

образом, знаки всех собственных векторов соответствуют знаку квадратичной формы. И если все собственные значения положительные, то и квадратичная форма также будет положительной.

Важно отметить, что при исследовании на минимум (максимум) в стационарной точке – точке с нулевой первой производной, рассматривается (как и для функции одной переменной) вторая производная. Для функции , двух переменных соответствующая квадратичная форма имеет вид:

∙ 2 + 2 ∙

∙ ∙ +

∙ 2

∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ + ∙ 2 =

+ −

∙ − 2

Для > 0 и ∙ − 2 > 0 рассматриваемая квадратичная форма будет положительной, что указывает на минимум функции в стационарной точке.

Обычно при исследованиях рассматривают матрицу вторых частных производных (или матрицу Гессе):


=			(9)
=			(9)

и условия для положительности квадратичной формы > 0 или условие положительности всех собственных значений матрицы Гессе. При > 0 и ∙ − 2 < 0 или отрицательных всех собственных значения матрицы Гессе рассматриваемая квадратичная форма будет отрицательной, а стационарная точка – является точкой максимума.

В приведѐнных выше примерах нужно было узнать все собственные значения. Задача, в которой требуется определить все собственные значения и соответствующие им собственные векторы называют полной проблемой собственных значений.

Встречаются приложения, в которых интересуются не всеми, а лишь некоторыми собственными значениями. Задачи, в которых требуется определить не все, а лишь отдельные собственные значения относят к частичной проблеме собственных значений.

Пример 4. Вращающийся вал с закреплѐнными на нѐм массами (см. рисунок 3) из-за неточностей в изготовлении и балансировке реально не является прямолинейным – его ось имеет отклонения от идеальной прямой линии. При вращении из-за этого возникают центробежные силы, которые стремятся изогнуть вал. Но упругий вал противодействует изгибу. При какой-то угловой скоростицентробежные силы и силы упругости могут уравновеситься, и тогда

случайное воздействие (например, от вибраций) может теоретически бесконечно отклонять вал.

Такие состояния вращающихся валов опасны, а угловые скорости= кр (их называю критическими), при которых наступают эти состояния, важно знать и избегать их.

Безопасная работа конструкции будет обеспечена при угловой скорости вращения меньшей, чем

наименьшая критиче-

ская угловая скорость.

Рисунок 3

Погиб в i-ом сечении складывается из прогибов от действия

центробежных сил в j-ом сечении, причѐм этот прогиб вычисляется

как сумма прогибов ∙ 2	, где	– податливость i-ом сечения
,	,

от действия силы в j-ом сечении. Выражения для прогибов во всех трѐх сечениях дают систему уравнений:

∙ 2		+ ∙ 2				+ ∙ 2				=
1	1,1		2	1,2				3	1,3	1
∙ 2 1 2,1		+ ∙ 2 2 2,2				+ ∙ 2 3			2,3	= 2	(10)
∙ 2		+ ∙ 2				+ ∙ 2				=
1	3,1		2	3,2				3	3,3	3
Разделив обе части уравнений на ∙ 2, получим систему:
1,1		1,2	1,3
						1	1		1
2,1		1,2	2,3		2 =				2	,	(11)
							∙	2
					3				3

	3,1	3,2	3,3

вкоторой наименьшей критической угловой скорости будет

соответствовать =	1	наибольшее собственное значение.

	2
	∙
	Кр.

Собственные векторы дадут (нормированные) ординаты изогнутой оси вала в точках расположения масс. Форму изогнутой оси вала представляет кубический сплайн, проходящий через эти точки и имеющий на концах нулевые вторые производные.

Пример 5. Массы m, подвешенные на пружинах (с коэффициентами жѐсткости с1, c2 , c3) показаны на рисунке 4. Определить наименьшую собственную частоту колебаний представленной системы.

Записав второй закон Ньютона для каждой

массы, получим систему дифференциальных

уравнений для определения во времени смещения

от

своего

положения

равновесия

каждой из

масс:

∙ 1 = с2 2 − 1

− с1 1

∙ 2 = с3

3 − 2

− с2 2 − 1

(12)

∙ 3 = с3 2 − 3

В случае собственных колебаний будет иметь

Рисунок 4

место

чисто

осциллирующее решение ∙ ,

подстановка

которого

уравнения

(12) даст

систему:

∙ 2 = (с + с

) − с

∙ 2 2 = −с2 1

+ (с2 + с3) 2с3 − с3 3

(13)

∙ 2 = −с

+ с

Эту систему можно представить, используя приведѐнные жѐсткости= , в виде задачи на собственные значения:

	+	−		1		1
1	2	2		2	= 2	2
−2		2 + 3	−3	2	= 2	2	(14)
		−		3		3
		3	3

Наименьшее собственное значение = 2 равно квадрату наименьшей угловой частоты воздействий на систему, при которой наступает резонанс. А собственный вектор , соответствующийпокажет относительные значения амплитуд колебаний масс.

Величины и могут быть получены решением частичной проблемы собственных значений.

Определение наибольшего по модулю собственного значения методом итераций

Покажем, что итерационный процесс

		k 1,2,...	(15)
x(k ) Ax(k 1) ,

можно использовать для нахождения наибольшего по модулю собственного значения

max max( 1 , ..., n )

исоответствующего ему собственного вектора.

Пусть (n × n) -матрица А имеет такую полную систему собственных

векторов и собственных значений, что

1 2 ... n .

Заметим что, встречающиеся в технических задачах матрицы обычно не имеют математических особенностей (и кратных собственных значений) и обладают полной системой собственных векторов. Полезно также отметить, что для (часто встречающихся в технике)

симметричных матриц все собственные значения будут вещественными.

Выберем не равный нулю начальный вектор

		x(0)
	(0)	1	c1	0	(16)
x		...	...	0	(16)
		(0)	cn
		xn	cn

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.12.2018128.51 Кб3шпоры стройиндустрия 1-10.doc
#
17.12.2018328.19 Кб14шпоры стройиндустрия.doc
#
02.08.2019982.02 Кб11шпоры.rtf
#
05.06.20152.99 Mб23ЭВМ_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.20152.99 Mб11ЭВМ_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.2015939.74 Кб16ЭВМ_Семестр4_Лаба9.pdf
#
05.06.20152.47 Mб24ЭВМ_Семестр4_МетодПособие.pdf
#
20.12.201833.3 Кб5эК. ТЕОРИЯ.docx
#
22.08.201927.11 Кб7Экз-вопросы-2012.docx
#
05.06.201583.46 Кб20Экз.вопр.по Тех.фотографии Ф-11,12,13..doc
#
27.03.2016648.68 Кб64ЭКЗАМЕН Бух.учет.docx