ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный машиностроительный университет
(МАМИ)
В.И.Антомони, В.Н.Архипов, А.Н.Любин
Численные методы в инженерных расчетах
(часть 2)
Учебное пособие по дисциплине «Численные методы» для студентов специальности
190109 - Наземные транспортно-технологические средства
Одобрено методической комиссией по естественнонаучным и математическим дисциплинам
МОСКВА 2013
УДК 519.6(075.8)
Разработано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом ВПО третьего поколения для специальности Наземные транспортно-технологические средства (специализация «Автомобили и тракторы») на основе рабочей программы дисциплины «Численныеметоды» Рецензенты: директор НТЦ «Спецтехника»
профессор Н.А. Кулаков; профессор кафедры: «Информационные системы и дистанционные технологии» к.т.н. А.И. Макаров.
Работа подготовлена на кафедре "Информационные системы и дистанционные технологии"
В.И.Антомони, В.Н.Архипов, А.Н.Любин. Численные методы в инженерных расчетах (часть 2). Учебное пособие по дисциплине «Численные методы» для студентов, обучающихся по специальности 190109 -Наземные транспортно-технологические средства. стр.150, рис.23, табл.16 , библ.8 , прил.1 М.: Университет машиностроения, 2013
Пособие ориентировано на изучение методов вычислительной математики используемых в инженерной деятельности будущих специалистов. Приведены примеры выполнения расчетов с помощью языка программирования Visual Basic for Application Microsoft Excell
и интегрированной среды программирования MatLab. РГР №6,9,10 представлены Антомони В.И., РГР №7,8 – Архиповым В.Н., РГР №11,12 – Любиным А.Н.
© Антомони Валерий Иосифович © Архипов Владимир Николаевич © Любин Александр Николаевич
© Московский государственный машиностроительный университет
2
Оглавление |
|
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6 ......................................... |
4 |
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №7.......................................... |
47 |
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №8 ........................................ |
60 |
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9 ....................................... |
75 |
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10 ..................................... |
98 |
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11 ................................... |
128 |
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 12 ................................... |
141 |
3
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6
Численное дифференцирование Краткие теоретические сведения Постановка задачи интерполирования
Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке , - заданы точки которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции
( ) в этих точках
( ) |
( ) |
( ) |
6.1 |
Требуется построить функцию, принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и
( ) т. е. такую, что
( ) |
( ) |
( ) |
6.2 |
Геометрически это означает, что нужно найти кривую |
( ) |
||
(интерполирующая функция) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек ( ) ( ).
В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.
Однако эта задача становится однозначной, если вместо произ-
вольной функции |
( ) искать полином |
( ) |
степени не выше |
удовлетворяющий условиям (2), т. е. такой, что |
|
||
( ) |
( ) |
( ) |
6.3 |
Полученную интерполяционную формулу
( )
4
обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции ( ) для значений аргумента отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функ-
ции |
( ). При этом различают интерполирование в узком смысле, ко- |
|||
гда |
, |
-, т. е. значение |
является промежуточным между и |
|
, |
и экстраполирование, когда |
̅ , |
-. В дальнейшем под тер- |
|
мином интерполирование мы будем понимать как первую, так и вторую операции.
Конечные разности и центральные средние
Узлы интерполяции называются равноотстоящими, если
( |
) |
|
6.4 |
Для данного множества равноотстоящих |
значений |
аргумента |
|
и соответствующих ему значений функции |
( ) |
( |
) |
определяют нисходящие разности (для интерполяции вперед)
. . . . . |
. . . . |
6.5 |
( |
) |
|
и восходящие разности (для интерполяции назад)
. . . . . |
. . . . |
6.6 |
( |
). |
|
где число называется порядком разности.
5
Центральные разности определяются формулами
⁄⁄
⁄ |
⁄ |
|
. . . . . |
. . . . |
6.7 |
⁄ |
⁄ |
|
( |
). |
|
Центральные средние определяются формулами
|
|
|
|
( |
⁄ |
⁄ |
) |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( |
⁄ |
|
⁄ ) |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
. . . . . |
. |
. . . |
6.8 |
|||||||
|
|
( |
⁄ |
|
⁄ |
) |
||||
|
|
|||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
Если значения функции |
( |
|
) известны лишь для |
|||||||
целых значений , то центральные разности и центральные средние можно вычислить так
|
для |
⁄ |
⁄ |
если порядок – нечетный и |
|
для |
|
|
если порядок – четный |
Конечные разности весьма удобно располагать в таблицах следующих типов:
6
Нисходящие разности |
Таблица 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Восходящие разности |
Таблица 6.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центральные разности |
Таблица 6.3 |
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
⁄ |
⁄ |
|
|
|
|
⁄ |
⁄ |
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
7
Здесь следует отметить, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
для вычисления разности |
– го порядка необходимо иметь |
|||||||||||||
значение функции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
у многочлена |
– ой степени разности |
– го порядка по- |
||||||||||||
стоянны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разностные операторы |
|
|
определяются так: |
||||||||||||
|
( |
) |
( |
|
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|||
|
( |
) |
( ) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
( ) |
( |
|
|
|
* |
( |
|
|
|
* |
6.9 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( ) |
|
[ ( |
|
|
|
|
* |
( |
|
|
*] |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пр имер 6.1. Построить конечные разности для функции
( )
считая шаг приращения аргумента Решение .
( |
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
) |
, |
( |
) |
( |
) |
- ( |
) |
( |
) |
, |
( |
) |
- ( |
|
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
Как уже отмечалось выше, конечная разность третьего порядка
функции |
( ) постоянна. Символ |
(дельта) в данном контексте |
|||
следует рассматривать как оператор, который |
ставит в |
соответствие |
|||
функции |
( ) функцию |
( |
) |
( ) |
постоянно. |
Основные свойства оператора :
1. |
( |
|
) |
|
2. |
( |
) |
( |
) |
8
3.( )
где и – целые неотрицательные числа, причем по определению
Из первого свойства оператора |
имеем |
|
||||
( |
) |
( ) |
( |
) |
|
|
Следовательно, если рассматривать |
как символический множитель, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) ( |
|
) |
6.10 |
Последовательно |
применяя |
это |
|
соотношение |
раз, будем |
|
иметь: |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
6.11 |
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, окончательно получим
( ) ∑ ( ) |
6.12 |
где
( |
) , |
( |
)- |
6.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, с помощью (6.7) последовательные значения функции ( ) выражаются через ее конечные разности различных порядков.
Обратно имеем
( )
9
Отсюда, например, следуют выражения
и т. д.
Конечные разности различных порядков удобно размещать в форме таблиц одного из двух видов:
диагональной таблицы разностей (таблицы 6.1 – 6.3);
горизонтальной таблицы разностей (таблица 6.4)
Горизонтальная таблица разностей |
Таблица 6.4 |
|
|
|
|
Пр и ме р 6.2. Составить горизонтальную таблицу разностей функции
от начального значения |
с шагом |
Решение. |
|
Так как |
то находим соответствующие |
значения |
Следовательно, |
Эти значения необходимо занести в таблицу. Так как данная функция представляет собой полином третьей степени, то ее третья разность постоянна и равна
10