ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdf
Для вычисления |
примем: |
и |
; следова- |
тельно, |
|
|
|
Применяя первую интерполяционную формулу Ньютона и используя разности из верхней строки таблицы 6.12 будем иметь:
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
( |
) |
( |
)( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
По таблицам Таблица 6.12
|
|
|
|
|
|
0.2588 |
832 |
-26 |
-6 |
|
|
|
|
|
|
0.3420 |
806 |
-32 |
-6 |
|
|
|
|
|
|
0.4226 |
774 |
-38 |
-6 |
|
|
|
|
|
|
0.5000 |
736 |
-44 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
0.5736 |
692 |
-49 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
0.6428 |
643 |
-54 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
0.7071 |
589 |
-57 |
|
|
|
|
|
|
|
0.7660 |
532 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.13
|
|
|
|
|
|
0.2588 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3420 |
832 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4226 |
806 |
-26 |
|
|
|
|
|
|
|
0.5000 |
774 |
-32 |
-6 |
|
|
|
|
|
|
0.5736 |
736 |
-38 |
-6 |
|
|
|
|
|
|
0.6428 |
692 |
-44 |
-6 |
|
|
|
|
|
|
0.7071 |
643 |
-49 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
0.7660 |
589 |
-54 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
0.8192 |
532 |
-57 |
-3 |
|
|
|
|
|
Для отыскания |
положим: |
и |
; следова- |
|
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона и используя разности из нижней строки таблицы 6.8 будем иметь:
( |
) |
|
( |
) |
|
По таблицам
Таблица центральных разностей
При построении интерполяционных формул Ньютона используются лишь значения функции, лежащие по одну сторону от выбранного начального значения, т. е. эти формулы носят односторонний характер.
Во многих случаях оказываются полезными интерполяционные формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функции по отношению к начальному значению ее. Наиболее употребительными из них являются те, которые содержат разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы разностей данной функции, соответствующей начальным значениям
иили в строках, непосредственно примыкающих к ней. Эти
разности |
называются центральными разностями, для |
|
которых справедливы следующие соотношения. |
||
( |
) |
( ) |
|
|
и т. д. |
Соответствующие интерполяционные формулы носят название
интерполяционных формул с центральными разностями, К их числу от-
носятся формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя.
Если дать общую характеристику интерполяционным формулам, то необходимо отметить следующее: при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения выбирается первый или
22
последний узел интерполирования; для центральных же формул интерполирования начальный узел является средним.
Более детальное рассмотрение интерполяционных формул показывает, что при | | целесообразно применять формулу Стирлинга, а при − формулу Бесселя. Первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона выгодно применять тогда, когда интерполирование производится в начале или соответственно в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает.
Интерполяционная формула Лагранжа
Рассмотренные в предыдущих разделах интерполяционные формулы пригодна лишь в случае равноотстоящих узлов интерполирования. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной фор-
мулой Лагранжа.
Пусть на отрезке , |
- даны |
|
различных значений аргу- |
|||
мента: |
известны для функции |
( ) |
соответствую- |
|||
щие значения: |
|
|
|
|
|
|
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
|
Требуется построить полином |
( |
) степени не выше име- |
||||
ющий в заданных узлах |
|
те же значения, что и функция |
||||
( ) т. е. такой, что |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
|
) |
|
|
Решим сначала частную задачу: построим полином |
( ) такой, что |
|||||
( ) |
при |
и |
( |
) |
|
|
Короче эти условия можно записать следующим образом:
( ) |
2 |
если |
6.23 |
|
|
|
23
если
где – символ Кронекера.
Так как искомый если полином обращается в нуль в точках то он имеет вид
( ) |
( |
)( |
) ( |
)( |
) |
( |
6.24 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
– постоянный |
коэффициент. |
Полагая |
|
|
в формуле (2) |
и |
|
учитывая, что |
( ) |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
( |
)( |
) ( |
)( |
) ( |
|
) |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
)( |
|
) ( |
)( |
|
) |
( |
) |
|
||
Подставив это значение в формулу (6.24), будем иметь: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
)( |
) |
( |
)( |
) |
( |
) |
6.25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
)( |
) |
( |
)( |
) |
( |
|
) |
|
||
Теперь перейдем к решению общей задачи: к отысканию полинома ( ) удовлетворяющего указанным выше условиям ( )
Этот полином имеет следующий вид:
( ) ∑ ( ) |
( |
) |
6.26 |
24
В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного полинома ( ) не выше и, во-вторых, в силу условия (6.11) имеем:
( ) ∑ ( ) ( )
|
Подставив в формулу (6.14) значение |
( ) из (6.23), получим: |
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
∑ |
( |
)( |
) |
( |
)( |
) |
( |
) |
6.27 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
)( |
) |
( |
)( |
) |
( |
|
) |
|||
Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.
Отсюда, в частности, следует, что если узлы интерполирования – равноотстоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с соответствующим интерполяционным полиномом Ньютона.
И, вообще, все построенные выше интерполяционные формулы получаются из интерполяционной формулы Лагранжа при соответствующем выборе узлов.
Формуле (6.27) Лагранжа можно придать более сжатый вид. Для этого введем обозначение
( ) ( |
)( |
) ( |
) |
6.28 |
Дифференцируя по |
это произведение, получим: |
|
||
( ) ∑( |
)( |
) ( |
)( |
) ( |
)
25
Полагая |
( |
|
) будем иметь: |
|
|
( ) ( |
)( |
) ( |
)( |
) ( |
6.29 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внося выражения (6.28) и (6.29) в формулу (6.15), получим:
|
( ) |
|
|
( ) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.30 |
|||||
|
|
|
( |
)( |
) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Следует отметить, что формула Лагранжа в отличие от пре- |
|||||||||||||||||
дыдущих интерполяционных формул содержит |
явно , что бывает |
|||||||||||||||||
иногда важно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим два частных случая интерполяционного |
полино- |
||||||||||||||||
ма Лагранжа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При |
мы имеем две точки, |
и формула Лагранжа предста- |
|||||||||||||||
вляет в этом случае уравнение прямой |
( ) проходящей через |
|||||||||||||||||
две заданные точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
||||||
где |
– абсциссы этих точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
При |
получим уравнение параболы |
( ) |
прохо- |
||||||||||||||
дящей через три точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
– абсциссы данных точек. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
П р и м е р 6.7. Для функции |
|
|
построить интерполя- |
||||||||||||||
ционный полином Лагранжа, выбрав узлы |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( |
)( |
) |
|
( |
)( |
) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
)( |
) |
( |
)( |
) |
|
|
|
|||||||||
|
( |
|
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26
Р е ш е н и е . Вычисляем соответствующие значения функции: Применяя формулу (6.27), получим:
применяя формулу (6.27), получим:
. |
|
/ . |
|
|
|
/ |
|
. |
|
|
|
|
|
/ |
. |
|
|
|
|
/ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
/ . |
|
/ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
/ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
или
|
( ) |
|
|
( ): |
||
|
|
|
||||
|
П р и м е р 6.8. Дана таблица значений функции |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
321,0 |
|
2,50651 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
322,8 |
|
2,50893 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
324,2 |
|
2,51081 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
325,0 |
|
2,51188 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить значение |
( |
). |
|
|
||
|
Р е ш е н и е . Положим |
|
Тогда по формуле (5) |
||||
будем иметь: |
|
|
|
|
|||
( |
) |
( |
)( |
)( |
) |
||
|
|
|
|
|
|||
( |
)( |
)( |
) |
||||
|
|
||||||
( |
) |
( |
)( |
)( |
) |
||
|
|
|
|
|
|||
( |
)( |
)( |
) |
||||
|
|
||||||
27
( |
) |
( |
)( |
)( |
) |
|
|
|
|
|
|||
( |
)( |
)( |
) |
|||
|
|
|||||
( |
) |
( |
)( |
)( |
) |
|
|
|
|
|
|||
( |
)( |
)( |
) |
|||
|
|
Приближенное дифференцирование |
|
При решении практических задач часто нужно найти производ- |
|
ные указанных порядков от функции |
( ) заданной таблично. |
Возможно также, что в силу сложности. аналитического выражения функции ( ) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному диффе-
ренцированию.
Для вывода формул приближенного дифференцирования заме-
няют данную функцию |
( |
) на интересующем отрезке , |
- интер- |
|
полирующей функцией |
( |
) (чаще всего полиномом), а затем пола- |
||
гают: |
|
|
|
|
|
( |
) |
( ) |
6.31 |
при |
|
|
|
|
Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции ( ).
Если для интерполирующей функции ( ) известна погреш-
ность |
|
|
( ) |
( ) |
( ) |
то погрешность производной |
( |
) выражается формулой |
28
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
6.32 |
т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справед-
ливо и для производных высших порядков.
Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых
( ) |
( ) |
на отрезке , - еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных ( ) и ( ), т. е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.
Формулы численного дифференцирования на основе полинома Ньютона
Пусть имеем функцию ( ), заданную в равноотстоящих точ-
ках |
|
( |
|
|
) |
отрез-ка |
, |
- c помощью значений |
|||
( |
). |
Для |
нахождения |
на , |
- |
производных, |
( ) |
||||
|
( |
) и т. д. функцию |
приближенно эаменим интерполяционным |
||||||||
полиномом |
Ньютона, |
построенным для системы |
узлов |
||||||||
|
|
( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.33 |
||
|
|
( |
) |
( |
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
29
и |
( |
) |
Производя перемножение биномов, получим и, учитывая, что
получим
( ) |
|
[ |
|
6.34
7
Аналогично, так как
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
6 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким же способом в случае надобности можно вычислить и про- |
|||||||||||||
изводные функции |
( |
) любого порядка. |
|
|||||||||||
|
Заметим, что при нахождении производных ( ) |
( ) ... в |
||||||||||||
фиксированной точке |
в качестве |
следует выбирать ближайшее |
||||||||||||
табличное значение аргумента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|