ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdf
| |
| |
| √( |
|
|
* |
|
( ( ))| |
|
|
||||||
| |
| |
| |
| | |
|
|
| |
|
√ |
|
||||||
|
|||||||
Решить задачу максимизации квадратичной функции
( )
при условиях
и
Перепишем условие следующим образом:
( )
Функция Лагранжа имеет вид
( |
) |
( |
) |
Необходимые и достаточные условия минимума:
( )
121
Получаем систему уравнений и неравенств:
( )
+
Для решения промежуточной задачи ЛП воспользуемся средствами
MS Excel.
Ввод данных задачи
Задание начального приближения.
Далее необходимо заполнить поля диалога "Поиск решения"
122
Экранная форма "Поиск решения"
В окне "Параметры" надо установить флажок "Неотрицательные значения".
Результаты поиска решения.
В результате решения найдена седловая точка функции Лагранжа
(х*,λ*) = (15; 0; 0; 30).
Оптимальное решение задачи: х* (15; 0; 0), f (x*) = 225.
Задания к лабораторной работе №10
Решить задачу минимизации функции методом множителей Лагранжа.
Решить ЗНП методом седловой точки. Промежуточную задачу решения СЛАУ решить, используя EXCEL.
1. |
( |
|
|
) |
( |
) |
16. |
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
( |
|
|
) |
( |
) |
17. |
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123
3. |
( |
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
|
18. |
( |
|
|
|
) |
( |
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
) |
19. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
( |
|
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
|
20. |
( |
|
|
|
) |
( |
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
( |
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
21. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
( |
|
|
|
|
|
) |
( |
) |
|
( |
22. |
( |
|
|
|
) |
( |
) |
( |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
( |
|
|
|
|
|
) |
( |
) |
( |
|
23. |
( |
|
|
) |
( |
) |
( |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
( |
|
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
|
24. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
( |
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
( |
25. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. |
( |
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
( |
26. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
( |
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
|
27. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124
13. |
( |
|
) |
( |
) |
|
28. |
( |
|
|
) |
( |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
( |
|
|
) |
( |
) |
( |
29. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
( |
|
|
) |
( |
) |
( |
30. |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения (для всех вариантов):
Приложение
Рекомендации по использованию EXCEL и MATLAB Построение графиков
Для построения графика функции = ( ) могут быть использованы следующие инструменты:
1. В EXCEL - Мастер диаграмм, подтип Поверхность.
а. Используя автозаполнение, на листе EXCEL в столбец А и первую строку с выбранным шагом ввести соответственно значения переменных и для которых будут вычисляться значения функции.
б. В ячейку В2 ввести выражение для вычисления функции ( ) в точках $A2, B$1 (знак $ - признак абсолютной адресации, при кото-
125
рой будут зафиксированы первый столбец – перебор значений переменной и первая строка – перебор значений переменной ) и нажать одновременно три клавиши Ctrl, Shift, Enter, поскольку формула используется для обработки массивов. В строке формул должны появиться фигурные скобки.
в. Выделить ячейку В2 и, протянув маркер заполнения сначала вниз, пробегая все ячейки, заполненные в столбце А, а затем вправо, пробегая все ячейки, заполненные в строке 1, заполнить массив значений функции в узловых точках области построения графика.
г. На вкладке "Стандартные" Мастера диаграмм выбрать подтип Поверхность. Поверх-ностная диаграмма дает трехмерное изображение функции, а контурная диаграмма представляет вид сверху на поверхностную диаграмму и является аналогом линий уровня исследуемой функции.
2. В MATLAB - функции plot3, mesh, surf, surfl.
а. С помощью функции meshgrid получить двумерные массивы координат узловых точек области построения графика:
, - =meshgrid ( ). |
|
б. Задать исследуемую функцию: |
( ). |
в. Применяя указанные выше функции, получить трехмерное изобра-
жение: plot3 ( ) или mesh ( ), surf ( ), surfl ( ).
Действия с матрицами Для нахождения собственных значений и собственных векторов мат-
рицы Гессе могут быть использованы следующие инструменты
MATLAB:
( ) – функция ( ) возвращает собственные значения заданной матрицы . Пример задания матрицы : = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] ;
126
,- ( ) – при таком обращении функция возвращает соб-
ственные векторы и собственные значения как элементы диагональной матрицы Для нахождения матрицы, обратной матрице Гессе, могут быть ис-
пользованы следующие инструменты:
ВEXCEL – функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.
ВMATLAB – функция ( ) возвращает обратную матрицу для матрицы .
127
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11
Проблема собственных значений. Частичная проблема собственных значений. Метод итераций
Краткие теоретические сведения
В работе рассматривается важная, с теоретической и практической точки зрения, задача линейной алгебры, называемая проблемой собственных значений.
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы имеет важное прикладное значение. Многие прикладные задачи физики, механики, астрономии, радиофизики и целый ряд инженерных задач сводятся к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот параметр называется собственным значением системы.
С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных исследованиях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственные вектора задают направления, связанные с этими напряжениями. Проблема собственных значений, возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов, транспортных средств и других конструкций.
Существует механическая интерпретация собственных значений и векторов. Так при динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют частотам собственных колебаний, а собственные вектора характеризуют формы этих колебаний. При расчете конструкций на устойчивость собственные значения соответствуют критическим нагрузкам, превышение которых приводит к потере устойчивости или разрушению конструкций, а собственные вектора – форме потери устойчивости.
128
Фундаментальная алгебраическая проблема собственных значений состоит в определении таких значений λ и соответствующих им векторов {x}, при которых система
[A] {x} = λ {x} |
(1) |
|
из n линейных уравнений с |
n неизвестными имеет нетривиальное |
|
решение, т. е. {x}≠ 0. |
|
|
Итак, проблема собственных значений или задача на собствен- |
||
ные значения формулируется |
следующим |
образом: для заданной |
квадратной матрицы [A] размерности ( nхn ) требуется найти такие скалярные значения λ и соответствующие им вектора {x} которые удовлетворяют равенству (1).
Значения λ и соответствующие им вектора {x}удовлетворяющие равенству (1) называются соответственно собственными значениями и собственными векторами матрицы [A].
Матрица [A] размерности ( nхn ) имеет n собственных значений и n соответствующих им собственных векторов { }, i=1,2,… n.
Различают частичную и полную проблему собственных значений. Под частичной проблемой понимают задачу вычисления одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Под полной проблемой понимают задачу вычисления всех собственных значений и соответствующих им собственных векторов. В данной лабораторной работе, в основном, будет рассматриваться частичная проблема собственных значений, а в следующей полная проблема.
Для решения частичной проблемы собственных значений обычно используются итерационные методы, в частности метод итераций. Строится такой итерационный процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору, например к максимальному собственному значению.
129
Метод итераций
Итерационный процесс вычисления максимального собственного значения для заданной матрицы [A] строится следующим образом:
[A] { } = { |
} = |
{ |
}, i= 0, 1, 2, … |
(2) |
где
[A]- заданная квадратная матрица;
i- номер итерации или приближения;
{} - i -я итерация нормированного собственного вектора;
{} - вектор, полученный в результате перемножения матрицы
|
[A] на вектор{ }; |
|
{ |
} - последующее приближение нормированного собственно- |
|
|
го вектора; |
|
|
- максимальная по модулю компонента вектора { |
}, |
которая |
является приближенной величиной наибольшего собствен- |
|
ного значения. |
|
|
Итерационный процесс начинается с задания начального, нулевого или пробного нормированного вектора { }, в качестве такого вектора можно взять единичный вектор.
Перемножением заданной матрицы [A] на вектор { } определяется вектор { }.
Далее производится нормирование вектора { }. В данном случае под нормировкой понимается такое преобразование вектора, при котором наибольшая по модулю компонента нормируемого вектора будет равна единицы. Для этого необходимо поделить все компонен-
ты нормируемого вектора { |
} |
на наибольшую по модулю его ком- |
поненту , и помножить на неѐ полученный вектор { }, т.е. |
||
[A] { |
} = { |
} = { }. |
На этом начальная, нулевая итерация заканчивается и начинается следующая, на которой в качестве исходного вектора используется вектор { } и вся процедура повторяется:
130