Fiz_-stat_osnovy_kv_inf_MIFI_2012

Из полученного результата видно, что итерации Гровера приводят к постепенному вращению вектора состояния в сторону вертикальной оси β

(т.е. в сторону решений задачи). Итерационный процесс следует закончить, когда будет приближенно выполняться равенство:

(2k2+1)θ = π2

Отсюда следует, что необходимое число итераций задается приближенно условием:

В результате измерения, проведенного после k итераций Гровера с высокой (хотя и не равной единице) вероятностью, будет найдено одно из решений задачи поиска.

Алгоритм Гровера имеет важное значение в области квантового моделирования

5.9 Введение в квантовое исправление ошибок

Повышение надежности передачи и хранения информации достигается посредством избыточности. Например, в трехбитовом коде каждый логический бит информации задаётся тремя физическими битами

0 →000

1→111

В рассматриваемом случае реализуется мажоритарная система исправления ошибок (принятие решения на основе большинства голосов). В

141

случае трехбитового кодирования сообщение (логический бит) передаётся правильно, если число ошибок в физических битах равно нулю или единице. Соответственно, сообщение может быть передано неверно, если ошибок две или три.

Рассмотрим в качестве простого введения двоичный симметричный канал. Пусть p - вероятность ошибки в одном физическом бите: вероятность превращения нуля в единицу ( 0 →1) либо наоборот, единицы в нуль (1→0). Будем считать обе эти вероятности одинаковыми (отсюда названиесимметричный канал). Вероятность безошибочной передачи информации

( 0 →0 , либо 1→1), соответственно, равна 1− p.

Задача 5.18 Покажите, что классический трёхбитовый код характеризуется следующей вероятностью ошибки передачи одного логического бита информации:

Pe =3p2 −2p3

Покажите далее, что избыточность увеличивает надежность передачи информации (т.е. Pe < p , если p <0.5).

Перейдем теперь к рассмотрению квантового бита (кубита). Рассмотрим вначале так называемый канал с классической ошибкой (название «классическая ошибка» довольно условно). Такая ошибка описывается действием оператора X (NOT), когда состояние 0 меняется на 1, а состояние 1 меняется на 0:

0 → 1

X ψ , т.е. 1 → 0

Таким образом, действие ошибки описывается следующим преобразованием состояния кубита

142

a 0 +b1 →a 1 +b 0

Трёхбитовый код в квантовом исполнении (резервирование одного логического кукубита тремя физическими кубитами) выглядит следующим образом:

a 0 +b1 →a 000 +b111 , т.е.

0 → 0L ≡ 000

1 → 1L ≡ 111

Реализация рассматриваемого способа кодирования посредством квантовой схемы представлена на рис. 5.11.

Рис. 5.11 Квантовая схема кодирования для защиты от классической ошибки

Квантовая схема обеспечивает следующую последовательность преобразований

ψ 0 0 ≡(a 0 +b1 )00 ≡a 000 +b100 →a 000 +b110 →a 000 +b111

Рассмотрим каким образом добавление вспомогательной системы из двух кубитов в исходном состоянии ноль позволяет детектировать возможное наличие ошибки.

143

Дополним схему кодирования схемой декодирования и измерения вспомогательной системы (рис. 5.12).

Рис. 5.12 Квантовая схема кодирования, дополненная схемой декодирования и измерения.

Специфика квантового исправления ошибок состоит в том, что нельзя подвергать измерениям кубиты, несущие информацию (в противном случае эта информация будет утеряна в результате редукции состояния). Вместо измерения информационной системы производится измерение вспомогательной системы. Измерение вспомогательной системы позволяет идентифицировать возможную ошибку и исправить её.

Оказывается, что измерение двух вспомогательных (второго и третьего) кубитов допускает 4 следующие возможности: 11 (когда произошла ошибка в первом кубите), 00 (когда ошибок нет), 10 (ошибка во втором кубите), 01 (ошибка в третьем кубите).

Предположим, например, что возникла ошибка в первом (информационном) кубите, т.е.

a 000 +b111 →a100 +b 011

Тогда декодирование (правая часть рисунка) приведёт к следующей последовательности преобразований:

a 100 +b 011 →a110 +b 011 →a 111 +b 011 =(a1 +b 0 )11

144

Измерение второго и третьего кубитов дадут результат 11. Это будет означать, что в первом (информационном) кубите произошла ошибка. Для исправления этой ошибки нужно выполнить преобразование X над информационным кубитом.

Рассмотрим три остальных случая. Если ошибок нет, то последовательность преобразований будет следующей:

a 000 +b111 →a 000 +b101 →a 000 +b100 =(a 0 +b1 )00

Убеждаемся, что в результате преобразований информационный кубит не изменился, а вспомогательная система оказалась в состоянии 00.

Если возникла ошибка во втором кубите, то имеем цепочку преобразований:

a 010 +b101 →a 010 +b111 →a 010 +b110 =(a 0 +b1 )10

Снова информационный кубит не изменился, а вспомогательная система оказалась теперь в состоянии 10.

Если возникла ошибка в третьем кубите, то аналогично получим: a 001 +b110 →a 001 +b100 →a 001 +b101 =(a 0 +b1 )01

Информационный кубит опять не изменился, а вспомогательная система оказалась теперь в состоянии 01.

Таким образом, рассматриваемые четыре возможности идентифицируют 4 ситуации (отсутствие ошибок, либо ошибка в одном из трёх кубитов).

Рассмотрим теперь случай двух ошибок. Пусть, например, ошибки возникли в 1-ом и 2-ом кубитах. Тогда

a 110 +b 001 →a100 +b 001 →a 101 +b 001 =(a 1 +b 0 )01

145

Приложение 1. Дельтафункция и ее свойства.

Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельтафункции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].

Дельтафункция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования Фурье, статистический анализ взаимнодополнительных распределений и др.

Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:

Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по

−K

Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:

Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной x1 всегда равен единице:

−∞

Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции ~( 1).

δ x − x

Её максимум находится в точке 1 и равен ~( ) . При больших x = x δ 0 = K / π

148

Дельта-функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта-образной последовательности.

Таким образом,

Приведем также некоторые другие представления для дельтафункции:

Задача П1.1 Обоснуйте представления (П1.2) и (П1.3) для дельтафункции.

Дельтафункция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)

Основное свойство дельтафункции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:

∫δ(x)f (x)dx = f (0)

149

Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельтафункции

где xi - простые корни функции f (x)

Задача П1.2. Обоснуйте приведенные формулы (П1.4)- (П1.6).

150