Fiz_-stat_osnovy_kv_inf_MIFI_2012

Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства

Смотри в корень! (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №228).

В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства КошиБуняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства РаоКрамера получаются, по-существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством КошиБуняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей. Информация Фишера и неравенство РаоКрамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантовоинформационной точки зрения.

2.1. Неравенство КошиБуняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация

Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.

В комплексном конечномерном пространстве Cs размерности s скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):

21

s

ϕ ψ = ∑ϕjψ j

j=1

Вбесконечномерном гильбертовом пространстве l2 аналогичное определение имеет вид

∞

ϕ ψ = ∑ϕj ψ j

j=1

Наконец, еслиψ(x) и ϕ(x) - комплексные функции из пространства L2 ,

то их скалярное произведение есть:

ϕ ψ = ∫ϕ*(x)ψ(x)dx

Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство КошиБуняковского:

ϕ ψ 2 ≤ ϕ ϕ ψ ψ

Для определенности, при проведении выкладок будем иметь в виду

действительное число.

Пусть ξ- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от ξ (эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).

F(ξ)= ∫(ψ(x)+ ξϕ(x))(ψ*(x)+ ξϕ*(x))dx ≥ 0

Вобозначениях Дирака имеем:

F(ξ)= (ψ + ξ ϕ )(ψ + ξ ϕ )

Вразвернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

22

F(ξ)= ξ2 ϕ ϕ + 2ξ ϕ ψ + ψ ψ

Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е. ϕ ψ = ψ ϕ .

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

4(ϕ ψ )2 − 4 ϕ ϕ ψ ψ ≤ 0

Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство КошиБуняковского:

(ϕ ψ )2 ≤ ϕ ϕ ψ ψ

ϕ~(x)= ϕ(x)exp(iα)

Таким образом, неравенство КошиБуняковского выполняется и в общем случае:

ϕ ψ 2 ≤ ϕ ϕ ψ ψ

Введем величину F , называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний ϕ(x) и ψ(x).

23

ϕ ψ 2 F = ϕ ϕ ψ ψ

Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:

F = ϕ ψ 2

Из неравенства КошиБуняковского следует, что

0 ≤ F ≤1

Если исходить из этого неравенства, то можно предположить, что F задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины F заключается в том, что она задает вероятность обнаружения

квантовой системы в состоянии ϕ(x) при условии, что она была приготовлена

в состоянии ψ(x)

Обмен информацией в природе предполагает, что состояние ψ(x),

приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик»), может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда ϕ(x)= ψ(x) (с точностью до фазового множителя). В этом случае F =1. В действительности состояния ψ(x) и

ϕ(x), на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и F <1. В рассматриваемом случае, таким образом, F задает вероятность «успеха» приемнопередающего акта.

2.2.Неравенство КошиБуняковского в приложении к случайным величинам

Пусть Y =Y (x)и Z = Z(x) - действительные случайные величины,

представляющие собой произвольные функции от координаты x . Пусть ξ-

24

действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от ξ:

F(ξ)= ψ (ξY + Z )2 ψ ≥ 0

В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

F(ξ)= ξ2M (Y 2 )+ 2ξM (YZ )+ M (Z 2 )

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

4(M (YZ ))2 −4M (Y 2 )M (Z 2 )≤ 0

Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство КошиБуняковского:

(M (YZ ))2 ≤ M (Y 2 )M (Z 2 )

В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины

Y − M (Y ) и Z − M (Z ), приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:

DY DZ ≥ [M ((Y − M (Y ))(Z − M (Z )))]2 .

Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции

r2 ≤1

Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами

Y и Z определяется формулой:

r = M [(Y − M (Y ))(Z − M (Z ))] DY DZ

Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная

25

величина Y определяет (детерминирует) случайную величину Z и наоборот.

Можно показать, что неравенство КошиБуняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины Y и Z линейно связаны между собой.

2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и

введем эрмитов оператор импульса pˆ = −i ∂∂x .

Рассмотрим, как и при выводе неравенства КошиБуняковского, заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра ξ

F(ξ)= ψ (−iξpˆ + xˆ)(iξpˆ + xˆ)ψ ≥ 0

которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению. Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :

26

DxDp ≥ 14

Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:

Dp = M (pˆ 2 )−(M (pˆ ))2

В развернутой записи средний квадрат импульса есть:

M (pˆ 2 )= −∫ψ*(x)∂∂x22 ψ(x)dx = ∫∂∂xψ*(x)∫∂∂xψ(x)dx

Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором ξ:

(iξpˆ + xˆ)ψ = 0

Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).

Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:

Здесь x0 и σ2x - соответственно среднее и дисперсия для распределения

координаты, а p0 и σ2p - соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.

Дисперсия координаты и импульса полученного гауссова состояния определяются введенным параметромξ

σ2x = ξ2 , σ2p = 21ξ

27

Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:

σ2xσ2p = 14

Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией. Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной псифункции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.

2.4. Соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона

Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству КошиБуняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].

Пусть z1 и z2 - две произвольные наблюдаемые. Без ограничения

общности будем считать их центрированными:

Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:

F (ξ)= ψ (ξexp(−iϕ)z2 + z1 )(ξexp(iϕ)z2 + z1 )ψ

Здесь ξ- произвольное действительное число, ϕ- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).

Определим ковариацию величин как

cov(z1, z2 )= 12 ψ z1z2 + z2z1 ψ

Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.

28

Пусть

z1z2 − z2 z = iC ,

где C - эрмитов оператор. Тогда

M (C)= −i ψ z1z2 − z2 z1 ψ

В развернутой записи выражение для F (ξ) имеет вид

F (ξ)= ξ2 M (z22 )+ ξ(2 cov (z1, z2 )cos(ϕ)− M (C )sin (ϕ))+ M (z12 )

Пусть:

ρ2 = 4(cov(z1, z2 ))2 + (M (C))2 ,

Очевидно, можно найти такой угол β, чтобы выполнялись тождества:

2cov(z1, z2 )= ρcos(β)

M (C)= ρsin(β)

Тогда:

F(ξ)= ξ2M (z22 )+ ξρcos(ϕ+β)+ M (z12 )≥ 0

Распорядимся произволом в выборе фазы ϕ, чтобы обеспечить выполнение равенства cos(ϕ+β)=1. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:

Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми z1 и z2 как

r = cov(z1, z2 )

D(z1)D(z2 )

В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона) примет вид

D(z1)D(z2 )≥ (M (C4))2 K 2 ,

29

где K = 1

1− r2

Введенный параметр K есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (Приложение 2).

Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:

z1 = x , z2 = p .

Тогда в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса C есть тождественный оператор (единичная матрица).

В этом случае соотношение неопределенностей ШредингераРобертсона будет иметь вид

отклонения) для координаты и импульса. Тогда

x p ≥ K2

Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в K раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.

Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимнодополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:

ψ(x)= P(x)exp(iS(x)),

30