Fiz_-stat_osnovy_kv_inf_MIFI_2012

На рис. 5.6 изображен двухкубитовый элемент, осуществляющий контролируемое фазовое преобразование. Управляемый кубит (нижний)

подвергается преобразованию Rk , если управляющий кубит (верхний)

находится в состоянии 1

Рис. 5.6 Двухкубитовый элемент, осуществляющий управляемое фазовое преобразование.

На рис. 5.7 представлена квантовая цепь, обеспечивающая трехкубитовое преобразование Фурье

Рис. 5.7 Квантовая цепь для трехкубитового преобразования Фурье Задача 5.13 Пусть на вход трехкубитовой квантовой схемы,

изображенной на представленном выше рисунке, подается состояние

ψin = 5 . Покажите, что на выходе квантовой схемы будет состояние:

121

Решите ту же задачу для других входных состояний j j =0,1,...,7.

Решение задачи свидетельствует о том, что квантовая схема на рис. 5.7 действительно дает трехкубитовое преобразование Фурье с одной существенной оговоркой. Легко видеть, что для того, чтобы результат был правильный, на выходе схемы порядок следования кубитов должен быть обращен. Другими словами, двоичное представление состояний на выходе

следует читать не слева направо, а справа налево, например 100 означает

состояние 1 и т.д.

Конечно, на выходе схемы можно ввести дополнительные операции обмена состояниями кубитов, но с практической точки зрения это нецелесообразно (лучше договориться об инверсии порядка нумерации кубитов).

Представленная выше трехкубитовая схема допускает простое обобщение на произвольное число кубитов.

Общий алгоритм квантового преобразования Фурье может быть реализован с помощью схемы, изображенной на рис. 5.8.

Рис. 5.8 Квантовая цепь для n- кубитового преобразования Фурье

122

Подсчитаем число операций, необходимых для осуществления квантового преобразования Фурье. Из схемы видно, что с первым (верхним) кубитом

величина порядка O(n2 )~ O((logN)2 ). Отметим, что самые быстрые классические алгоритмы выполняют преобразование Фурье за порядка

O(N(logN)) операций (так называемое быстрое преобразование Фурье).

Таким образом, квантовый алгоритм имеет экспоненциальное преимущество по сравнению со своим классическим аналогом.

Пример. Пусть имеется 1000кубитовое состояние ( n =1000 ). Ему

отвечает вектор состояния, описывающийся N =2n =1,07 10301

комплексными числами. Для осуществления классического быстрого

преобразования потребуется проделать порядка N log2 N =1,07 10304

операций. В то же время, квантовое преобразование над рассматриваемым

вектором осуществляется примерно за (log2 N)2 =1 106 операций.

Таким образом, экспоненциальное преимущество квантового алгоритма по сравнению с классическим позволит на квантовом компьютере ставить и решать задачи, которые никогда не будут решены на классическом компьютере.

123

5.5. Нахождение периода функции

Задача определения периода функции является важным примером применения квантового преобразования Фурье.

Предположим, что имеется периодическая функция f (x) с периодом T .

Это означает, что для всех x выполняется тождество:

f(x +T)= f (x)

Вэтой формуле под операцией сложения подразумевается сложение по

модулю N . Предположим дополнительно, что все значения функции

на одном периоде различны. Очевидно, что функция может быть в точности периодической только в том случае, когда N делится на T без остатка, т.е.

если M = N /T - целое число.

В качестве начального состояния возьмем следующую однородную суперпозицию (квантовая схема для получения такого состояния представлена в задаче 5.3.3):

Проведем измерение второго регистра (регистра функции). Предположим,

что при этом будет получено некоторое значение функции f0 . Пусть x0 -

одно из значений аргумента, при котором f (x0)= f0 . В результате редукции вектора состояния в суперпозиции «выживут» только слагаемые, отвечающие

124

Выполним теперь квантовое преобразование Фурье над полученным состоянием. Согласно определению, каждое отдельно взятое базисное состояние будет подвергнуто следующему преобразованию:

Суперпозиция, представляющая состояние ψ , в результате квантового

преобразования Фурье примет вид:

F(k)=0 при всех остальных значениях k .

Результаты представленной выше задачи показывают, что выходное состояние регистра может быть записано в виде:

125

Последний шаг процедуры – это измерение полученного состояния. Мы

показывает, что исследователь не может гарантированно определить T при однократном выполнении процедуры. Чтобы его поиски оказались продуктивны, ему следует уповать на то, что «выбранное» Природой число j0

ипериод T окажутся взаимно простыми (т.е. не будут иметь общих

делителей, кроме единицы). Тогда, приведя дробь l0 / N к несократимой, он сможет восстановить j0 и T . В этом случае нам удастся с помощью одного уравнения (5.1) найти два неизвестных целых числа. Если же исследователю не повезет и Природа «выберет» такое j0 , что дробь j0 /T окажется сократимой, то вместо истинного периода T он получит меньшее значение.

Приведем пример. Пусть N =210 =1024 - заранее известное число. T =64-

период, неизвестный исследователю. Природа может «выбрать» любое j0 от 0

до 63. Пусть, например, она «выбрала» j0 =21. Тогда исследователь получит

126

T =16. Для того, чтобы с высокой вероятностью получить правильный ответ, исследователь будет вынужден повторять описанную процедуру многократно. Тогда, очевидно, в качестве ответа ему следует взять период, отвечающий наибольшему из возможных значений (максимальный знаменатель в дроби

l0 / N после ее сокращения).

Оценим, сколько раз исследователь должен проделать описанную выше процедуру, чтобы определить неизвестный период T с высокой гарантией. Для этого нужно оценить вероятность того, что «выбранное» Природой число j0 окажется взаимно простым с T . Известно, что при больших T

количество простых чисел, не превышающих T можно оценить как

T / logT . Отсюда следует, что вероятность удачи при отдельном испытании больше или порядка 1/logT ≥1/logN . Таким образом, если исследователь повторит процедуру O(logN) раз, то с высокой гарантией, он сможет найти

неизвестный период. Например, если N =21000 , то потребуется всего порядка 1000 испытаний (в оценках такого рода мы не делаем различия между натуральным и двоичным логарифмами).

127

Резюмируем полученный результат. Квантовый алгоритм нахождения

операций требуется для описанной выше процедуры угадывания). Рассматриваемый алгоритм является полиномиальным по числу кубитов и,

соответственно, по количеству знаков в числе N (поскольку число шагов алгоритма определяется полиномом третьей степени).

Для экспоненциально больших N полиномиальный квантовый алгоритм обладает радикальным преимуществом по сравнению с любыми известными классическими алгоритмами. Важный пример использования отмеченного преимущества рассмотрен в следующем разделе.

5.6 Факторизация чисел

Алгоритм нахождения периода функции, рассмотренный выше, может быть с успехом применен для разложения заданного целого числа на множители. Эта задача решается с помощью алгоритма, придуманного П. Шором в 1994 г.

В настоящее время алгоритм Шорасамый знаменитый из известных квантовых алгоритмов. Он позволяет за O((logN)3) шагов осуществить

разложение целого числа N на множители и, таким образом, является алгоритмом полиномиальной сложности. Заметим, что аналогичный классический полиномиальный алгоритм неизвестен.

Пусть N - целое нечетное число (при четном N имеем тривиальное решение задачи). Требуется разложить данное число на простые множители или показать, что оно простое.

128

Выберем случайно число a < N . Вычислим наибольший общий делитель

(НОД) чисел a и N (это можно сделать с помощью алгоритма Евклида, который изложен в конце настоящего раздела).

f (x)=ax mod N

Заметим, что утверждение о том, что r есть порядок числа a по модулю

N и утверждение о том, что функция f (x) периодична с периодом r ,

эквивалентны.

Таким образом, задача о вычислении порядка сводится к задаче о нахождения периода функции (для чего можно применить алгоритм раздела

5.5).

Сделаем одно замечание. Чтобы применить алгоритм из разд. 5.5., следует

129

если только x0 выбрать достаточно большим так, чтобы на нем укладывалось

большое число периодов функции f (x).

Предположим, что найденное r - четное, тогда (5.2) можно переписать в виде:

(ar / 2 −1)(ar / 2 +1)=0 modN

Это означает, что число (ar / 2 −1)(ar / 2 +1) должно делиться на N без остатка.

Предположим дополнительно, что каждое из чисел (ar/2 ±1)не делится на N без остатка. Тогда у каждого из этих чисел есть общие делители с числом N .

Находя соответствующие наибольшие общие делители числа N с

числами (ar /2 −1)и (ar /2 +1), мы решаем поставленную задачу.

Мы видим, что изложенный метод срабатывает не всегда. Чтобы метод сработал, нам нужно, чтобы r было четным и, одновременно, числа

(ar /2 ±1) не делились на N без остатка. Можно показать, что это

происходит с вероятностью ≥0.5 , если только a выбирается случайно. Такой вероятности достаточно, чтобы путем повторения добиться гарантированно успеха.

Приведем пример. Пусть N =85, a =7

130