- •6. Определение и общие свойства линейного и дробно-линейного отображения.
- •7. Круговое свойство дробно-линейного отображения, свойство сохранения симметрии, инвариантность ангармонического отношения.
- •10. Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кривой. Вычисление интеграла. Интеграл вдоль окружности от функции Zk, k ϵ z. Свойства интеграла
- •12. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является голоморфной на контуре интегрирования
- •13 Интегральная формула Коши. Теорема о среднем
- •14. Теорема Тейлора о разложении голоморфной функции в степенной ряд. Следствия: существование у голоморфной функции производных всех порядков, интегральная формула для производных.
- •15. Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда и теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры.
- •16. Теорема о существовании первообразной у голоморфной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •17. Гармонические функции. Восстановление голоморфной функции по её действительной части. Сопряжённые гармонические функции. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций.
- •18. Теорема Мореры.
- •21. Принцип максимума модуля.
- •27.Понятие вычета голоморфной функции относительно изолированной особой точки. Приёмы вычисления вычетов.
- •28. Теоремы Коши о вычетах
- •29. Интеграл от логарифмической производной. Принцип аргумента.
- •30.Теор Руше.
- •31.Принцип сохранения области
- •32. Лемма об интегралах по дугам окружностей. Вычисление несобственных интегралов вида.
- •33. Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида.
- •34. Интегралы в смысле главного значения и их вычисление.
- •35. Целые и мероморные функции. Представление рациональной функции в виде суммы многочлена и простейших дробей.
- •36 Аналитическое продолжение по цепи областей.
- •37 Принцип симметрии Римана-Шварца.
- •38Понятие функции-оригинала. Показатель роста оригинала. Изображение по Лапласу, голоморфность изображения.
- •39 Обращения преобразования Лапласа. Достаточные условия существования оригинала.
- •40. Общие свойства преобразования Лапласа (линейность, правила подобия, дифференцирования, смещения, интегрирования).
- •41.Свёртка оригиналов и её изображение.
- •42. Теоремы разложения.
39 Обращения преобразования Лапласа. Достаточные условия существования оригинала.
Теорема
Если функция является оригиналом аее изображением тоудовлетворяет условиям Гельдера справедливо равенствогде интеграл берётся по любой прямойи понимается в смысле главного значения.
Док-во
Рассмотрим интеграл Осталось показать чтоI(b)=
I(b)=здесь 2 и 3 слагаемые сходящиеся интегралы поэтомучто каждый из этих интегралов по модулю меньше(по Лемме Римана первое слагаемое, итак
Следствие (Теорема единственности)
Оригинал восстанавливается по своему изображениюоднозначно во всех точках , удовлетворяющих условию Гельдера, значение оригинала в точках разрыва не влияют на изображение.
Теорема (достаточные условия существования оригинала)
Пусть функция пусть приабсолютно сходится, тогдаявляется отображением функции. (без док-ва)
40. Общие свойства преобразования Лапласа (линейность, правила подобия, дифференцирования, смещения, интегрирования).
Линейность
Пример:
;
;
;;
Теорема подобия
Для действительно
Дифференцирование интеграла
–непрерывно кусочно-дифф. при – оригинал, то
, где
Дифференцирование изображения
Д-но, дифф. по переменной р равенстваполучим
Пример:
, ,,.
Интегрирование оригинала
Если , тодействительноочевидно явл-ся оригиналом, причем, положим.
Интегрирование изображения
и интеграл– сходится, то,Так какоткуда след. равн. сх-ть относит.qв (4).
Теорема запаздывания
Теорема смещения
Для .Пример:,
41.Свёртка оригиналов и её изображение.
Опр.Сверткой функцийназывается функция.
Лемма. Пустьфункция двух действительных переменныхабсолютно сходится в пл.и сущ. повторный интегралтогда.
Теорема умножения.Произведение двух изображенийтакже явл-ся изображением, причем
Интеграл Дюамеля.
42. Теоремы разложения.
Теор1. Если функцияголоморфна в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд имеет вид,то (2) оригинал с разложениемF(p).
Теор2. ПустьF(p) :
Голоморфна всюду, за исключением конечного числа особых точек лежащих в конечной плоскости.
абсолютно сходится тогда
Док-во: Применим теор. , согласно которойобозначим меруконтур, составленный из частилежащей слева от прямойи отрезка этой прямой, соединяющего концы дуги. По лемме Жордана приt>0, поэтому. Применяя т. Коши о вычетах, получим (7).
След.Если функция, то ее оригиналполюсы фун.F(p).
Если полюсы простые, то .
Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.
Опр. Z- преобразованием числовой бесконечной посл-тиназывается функцияF(z) компл. Переменнойz, определяемая прирядом Лорана:и аналитически продолженная в круг |z|<R.
Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений.
Для того чтобы найти x(t) линейного д.у. с постоянными коэфф., удовлетворяющее начальным условиям:следует применить к обоим частям ур-ия преобразования Лапласа:
L(p)X(p)+Q(p)=F(p), где,
Найдя оригинал для X(p), получим исходноеx(t). Аналогично решаются системы.
Пример:
,;
;
;
Пользуясь таблицей, находим: , где;
Частное решение, удовл. начальным условиям: .
N |
f(t) |
F(p) |
N |
f(t) |
F(p) |
| ||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
(t) |
|
|
1/p |
6 |
sint |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p22 |
| |||||||||||||||||||
2 |
|
|
t n |
|
|
1/p n1 |
7 |
cht |
|
p |
|
| ||||||||||||||||||||||
|
|
|
p 22 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
3 |
|
et |
|
1/ ( p ) |
8 |
sht |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 22 |
| |||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||
4 |
|
t n |
1 |
|
|
9 |
etcost |
|
p |
| ||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
et |
|
|
( p )n1 |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p ) 22 |
| |||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
5 |
cost |
|
|
p |
|
10 |
etsint |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p 22 |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p ) 22 |
| ||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|