- •6. Определение и общие свойства линейного и дробно-линейного отображения.
- •7. Круговое свойство дробно-линейного отображения, свойство сохранения симметрии, инвариантность ангармонического отношения.
- •10. Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кривой. Вычисление интеграла. Интеграл вдоль окружности от функции Zk, k ϵ z. Свойства интеграла
- •12. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является голоморфной на контуре интегрирования
- •13 Интегральная формула Коши. Теорема о среднем
- •14. Теорема Тейлора о разложении голоморфной функции в степенной ряд. Следствия: существование у голоморфной функции производных всех порядков, интегральная формула для производных.
- •15. Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда и теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры.
- •16. Теорема о существовании первообразной у голоморфной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •17. Гармонические функции. Восстановление голоморфной функции по её действительной части. Сопряжённые гармонические функции. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций.
- •18. Теорема Мореры.
- •21. Принцип максимума модуля.
- •27.Понятие вычета голоморфной функции относительно изолированной особой точки. Приёмы вычисления вычетов.
- •28. Теоремы Коши о вычетах
- •29. Интеграл от логарифмической производной. Принцип аргумента.
- •30.Теор Руше.
- •31.Принцип сохранения области
- •32. Лемма об интегралах по дугам окружностей. Вычисление несобственных интегралов вида.
- •33. Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида.
- •34. Интегралы в смысле главного значения и их вычисление.
- •35. Целые и мероморные функции. Представление рациональной функции в виде суммы многочлена и простейших дробей.
- •36 Аналитическое продолжение по цепи областей.
- •37 Принцип симметрии Римана-Шварца.
- •38Понятие функции-оригинала. Показатель роста оригинала. Изображение по Лапласу, голоморфность изображения.
- •39 Обращения преобразования Лапласа. Достаточные условия существования оригинала.
- •40. Общие свойства преобразования Лапласа (линейность, правила подобия, дифференцирования, смещения, интегрирования).
- •41.Свёртка оригиналов и её изображение.
- •42. Теоремы разложения.
30.Теор Руше.
Теор.1 Если две ф-ии, голоморфные внутри и на контуре Г, удовл. на Г услов-ям, то внутри Г ф-иииимеют одинаковое число нулей.
Док-во Поскольку, то, но, поэтому конец вектора, изображ., описывает замкнут кривую, целиком заключ. внутри круга с центром в т.1 и радиуса 1. Сл-но, соотв. вектор не делает ни одного оборота вокруг начала координат, и изменение аргументапри обходе т.zкривой Г равно 0. Измен-иесовпадает с изм-ем, откуда по принц. аргум-та вытек. рав-во нулей ф-ий
31.Принцип сохранения области
Теор.1 Мн-воDзначений, принимаемых в нек-ой обл-тиGголоморфной ф-иейесть область. Иными словами, голоморфная ф-ия, не тождественная константе, всегда преобразует область в область. (Тут просто ультрамазафакерское доказательствово, так что не стал его включать)
Следствие(принцип максимума модуля): Ни в одной т.голом. ф.f(z) не может иметь максимума
32. Лемма об интегралах по дугам окружностей. Вычисление несобственных интегралов вида.
Для достаточно хорошего множества функций можно вычислить используя теорему о вычетах. Пусть.
Лемма: Пусть f-непрерывна на множестве, и пусть, тогда.
Теор: Пусть функция f-голоморфна в замыкании полуплоскостивсюду кроме конкретного числа особых точек, лежащих в этой полуплоскости. Если, то
Сл: Пусть f-рациональная ф-я, знаменатель которой не имеет действительных нулей, а степень его не менее чем на 2 единицы больше чем степень числителя, то справедлива ф-я (1).
33. Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида.
Лемма Жордана: Пусть f-непрерывная на множестве, для которогои пусть, тогда, если.
Теор: Пусть f-голоморфна в замыкании полуплоскостивсюду кроме конечного числа особых точек, лежащих в этой полуплоскости. Если, то
Сл: Если ф-я f(z) при действительномzпринимает действительные значения, то в условиях теоремы справедливы формулы:
Сл: Пусть f-рациональная ф-я, знаменатель которой не имеет действительных нулей, а степень его не менее чем на 2 единицы больше чем степень числителя. Тогда присправедливо. Если, кроме того,f(z) при действительномzдействительные значения то справедливы формулы (1), (2).
34. Интегралы в смысле главного значения и их вычисление.
Распространение теоремы на тот случай когда fимеет конечное число особых точек.
Опр: Главные значения от интеграла f(x) наопределены равенством:, где
Теор: Пусть f-голоморфна в замыкании полуплоскостивсюду за исключением конечного числа особых точек, лежащих в этой полуплоскости, и конечного числа полюсовна действительной оси. Если, то
35. Целые и мероморные функции. Представление рациональной функции в виде суммы многочлена и простейших дробей.
Опр: Ф-я называется целой, если она голоморфна в . Среди элементарных ф-й целыми являются полиномы, показательные, тригонометрические и гиперболические.
Отличная от постоянной целая ф-я имеет наили полюс или существует особая точка.
Утв: Целая ф-я с полюсом является полиномом.
Действительно, если - полюс порядка, то вычитая главную часть ее ряда Лорана вполучим целую ф-юс устранимой особенностью на, следовательно ограниченную в. Согласно теореме Лиувилля
Итак - полином.
Опр: Целая ф-я с существованием особой точкой на называется целой трансцендентной ф-ей.
Утв: Целая трансцендентная ф-ия обозначается бесконечным степенным рядом
Более общим, чем класс целых, является класс мероморфных ф-ий.
Опр: Мероморфной называют ф-ию, голоморфную в Сzвсюду за исключением точек, в которыхfимеет полюсы.
К числу мероморфных относятся рациональные, частное от деления целой на целую.
Теор: f- мероморфная с конечным числом полюсов сявляется рациональной ф-ей.
Замеч: полученная ф-ла (1) дает представление рациональной ф-ии fв виде суммы(целой части) и простейших дробей.