(1)Показательная функция, теорема сложения показателей. Тригонометрические функции sin(z) и cos(z), формулы Эйлера, теорема сложения для функций sin(z) и cos(z), нули функций sin(z) и cos(z). Гиперболические функции и их связь с тригонометрическими функциями.

Опр:Сумму степенного ряда, сходящуюся на всей плоскостити, обозначают черези называют показательной (экспаненциальной) ф-цией:(1)

Теорема сложения показателей(для экспоненциальной ф-ции):

Для имеем(2)

Док-тво:

По опр. произведение этих рядов ,есть ряд

Отсюда и из теоремы о произведении рядов (произведение абсолютно сходящихся рядов явл. абсолютно сходящимся рядом, сумма которого равна произведению сумм перемножаемых рядов) доказываемое

Следствие:

,

Для :

(3)

(4)

Из (1), (3) и (4) формула Эйлера:(5)

(6)

(7)

Из (2) и (5) (8)

Поскольку при тоф-цияплоскостив нуль не обращается. Пользуясь ф-лой Эйлера, тригонометрическая запись комплексного числа

явл. периодической ф-цией с периодом:

Теорема о сложении ф-цийи:

Для имеем:,

Следствие: 1) число есть период дляикомплексной плоскости (из теоремы о сложении ф-цийипри); 2)()

Утв:1) нули ф-цииимеют вид, 2) нули ф-цииимеют вид

Док-тво: полагаянаходим

Аналогично находятся нули

Сравнивая с (6) и (7) получим:

(2)Производная функции комплексного переменного. Критерий существования производной. Формулы для производной.

Пусть в обл. задана однозначно ф-ция, точка

Опр:есликонечный предел, то он называется производной от ф-циив точкеи обозначается; сама ф-цияпри этом называется дифференцируемой или моногенной в точке

, условие моногенности:(1) , гдепри

Отсюда следует, что приращение моногенно в точкеи может быть представимо в виде(2) гдеAне зависит от, апри

Из (2) непрерывность моногенной в точкеф-ции

Представимость в виде, гдеAне зависит от, апри, является необходимым и достаточным условием моногенности ф-ции.

,

Теорема:

Для того чтобы ф-ция , опр. в некоторой обл.G, была моногенной в точкеэтой обл. необходимо и достаточно чтобы ф-цииибыли дифференцируемы в этой точке (как ф-ции 2-х действительных переменных) и чтобы, кроме того в точке, выполнялись условия:,(3)

- формулы для производной (4)

Док-тво:

Необходимость:

Если моногенна в точке, то(5) где

Отделяя в (5) действ. и мнимую части получим: ,Отсюда и из того, что1) ф-цииидифференцируемы в точке; 2)(6)

Из (6) (3), т.к.из (6)(4)

Достаточность:

, где

,

(7)

Т.к. , топриОтсюда и из (7)

(3)Определение голоморфности функции в точке и на множестве.

Опр:ф-цияfназывается голоморфной в точке, ести она моногенна в некоторой окрестности этой точки.

Говорят, что ф-ция f(z)голоморфна в точке, если ф-цияголоморфна в точкеz=0.

Опр:ф-цияfназывается голоморфной на множестве ( в частности, в области), если она голоморфна в каждой точке этого множества.

Исходя из опр, отметим, что голоморфная ф-ция в замыкании обл. G, означает, что ф-ция голоморфна в некоторой обл..

Наряду с термином «голоморфная ф-ция» используют также термины «аналитическая ф-ция» и «регулярная ф-ция». Эти термины тождественны.

(4)Теорема о голоморфности суммы степенного ряда. Следствия.

Теорема:суммастепенного рядав круге сходимости, является голоморфной ф-цией. При этомможет быть получена путем почл. дифференцирования ряда:

Док-тво: известно, что радиус сходимости ряда (1) также равенR. Пустькакая-либо точка круга, возьмем, из абсолютной сходимости ряда (1) в круге(2)

При имеем:

Слагаемое , поэтому оно меньше

Слагаемое

Применяя теорему к сумме ряда , получаем, чтотакже явл. голоморфной ф-цией в круге, причем

Следствие:

1) бесконечно дифф. в круге сходимости

2) каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости явл. рядом Тейлора для своей суммы (, положивz=0, получим,)

3) пусть ряды имеют одну и ту же сумму, в окрестноститогда(это предложение выражает св-во единственности разложения в степенной ряд)

4) если сумма степенного рядаявл. четной ф-цией, то все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю и наоборот

5) аналитичны всюду в плоскости, при этом имеем:,,,,

(5)Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие о конформном отображении.

Согласно определению производной функции комплексного переменного:

  

Рассмотрим на плоскости кривую, а также образ кривойна плоскости. Точкебудет соответствовать точка. Если производную представить в виде, то аргумент производной

т.к. и, как следует из рисунка ;

таким образом, геометрический смысл аргумента производной состоит в том, что

равен разности углов касательных к кривой и ее образув точках, связанных условием.

Рассматривая две кривых и , а также их образы и , легко показать, что

т. е. углы между кривыми на комплексной плоскости и их образами в точке не изменяются в случае, если .

Такое свойство называется свойством сохранения углов.

Геометрический смысл модуля производной следует из соотношения:

которое означает, что являетсякоэффициентом растяжения в точке при отображении с помощью функции .

Если , то в окрестности точки расстояния между точками увеличиваются, при - сжимаются, но так как значение по определению не зависит от направления, по которому , то в окрестности коэффициент растяжения является постоянным.

Опр: голоморфное отображение обл. на обл. при котором для каждой т.имеет место консерватизм углов и постоянство растяжений, называется конформным.

Теорема: отображение, осуществляемое голоморфной ф-цией , явл. конформным достаточно малой окрестности каждой точкиz, в которой

(док-тво какое-то хуевое)

Теорема: если при отображении осуществл. однозначной ф-цией в каждой точкеимеет место консерватизм углов и постоянство растяжения, то ф-цияголоморфна в обл.G, причем всюду в обл.G

6. Определение и общие свойства линейного и дробно-линейного отображения.

Линейная функция

Отображение будет конформным во всей плоскости

Функция

Соответствие, даваемое этой формулой, взаимнооднозначно во всех точках плоскости, причем в нулевой точке z=0 (W=0) соответствует бесконечно удаленная точка W=∞ (z=0) ПолагаяРассмотрим окружностьПреобразовав (1) удобно разбить на 2 более простых

. При преобразовании (2) аргумент сохраняется, а модуль изменяется на обратный. Точка z, находящаяся внутри окрестности C, преобразуется в точку W’ , находящуюся вне окружности и лежащую на продолжении отрезка Oz,причем расстояние между 0, z и W’ равно 1. Такое отображение называется инверсией относительно окрестности C. Точки z и W’ при этом называются взаимно симметричными относительно окрестности C. Отображение (2) можно записать в виде: Преобразовав (3):Совокупность двух отображений дает голоморфное (z≠0) отображение Это отображение будет сохранять углы во всех плоскостях, включаяz=0, z=∞ При этом под углом двух линий при z=∞ понимают угол, образованныйотображениием линиями посредством функциив плоскостиW при W=0.

Дробно-линейная функция Обратно, z можно выразить через W: Таким образом, соответсвуют формулы (1) является взаимно однозначным точкабудет соответствоватьW=∞, а точка - точкаz=∞. Функция (1) сохраняет углы во всех точках расширенной плоскости ­_­

Теор: Образом прямой или окружности при отображении является прямая или окружность.

Док-во: Для линейной функции это свойство является очевидным. Расссмотрим отображение. Уравнение окружности имеет вид:. ПриA=0 уравнение (3) определяет прямую. Перепишем это уравнение в виде: , гдеAиC – действительные постоянные, При преобразованииполучаем, или приведя к общему знаменателю, находимУравнение (4) определяет окружность плоскостиW (приC=0 оно предстанляет прямую) Поскольку преобразование представляет собой комбинацию преобразований, для которых круговое свойство выполняется, то теорема доказана.

7. Круговое свойство дробно-линейного отображения, свойство сохранения симметрии, инвариантность ангармонического отношения.

Дробно-линейное отображение Зависит от трех параметров, за которые могут принять, например, отношение чисел a, b, c, dк одному из них. Эти параметры однозначно определяется из требований, чтобы три заданных точки z₁ , z₂ , z₃ плоскости переходит в заданные точкиW₁ , W₂ , W₃ плоскости :Чтобы исключитьa, b, c, d из этих уравнений и из уравнения образуем разности:

Отсюда получим Разрешаем (2) относительно W, получим искомое дробно-линейное отображение. Оно переводит точки z₁ ,z₂ , z₃и окрестностьсоответственно в три точкиW₁ , W₂ , W₃и проходят через них окрестностьТройки точекz₁ , z₂ , z₃и W₁ , W₂ , W₃ определяют направление обхода на исоответственно, причем области остающиеся при этих обходах слева (справа) соответствуют друг-другу при отображении (2). Это является непосредственным следствием конформности дробно-линейного отображения.

Отсюда принимаем во внимание, что при отображении (1) в случае действительных a, b, c, d Действительная ось ImZ=0 переходит в действительную ось ImW=0 и при ImZ=0 знак совпадает со знаком ad-bc. Получим следующие утверждения

Теор1: При невырожденном дробно-линейном отображении (1) с действительными коэффицентами верхняя полуплоскость ImZ>0 переходит в верхнюю полуплоскость ImW>0, если ad-bc>0 и нижнюю, если ad-bc<0

Опр:Выражение называется двойным­. Равенство (2) означает инвариантность ангармонического отношения четырех точек при невырожденном дробно-линейном отображением

Теор2: (свойство сохранения симметрии) Если точки z₁ ,z₂симметричны относительно некоторой прямой или окружности при дробно-линейном отображенииих образы будут симметричны относительно образовγ:

8. Степенная функция W = Zⁿ. Риманова поверхность функции Z= .

ФункцияW=Zⁿ однозначна и непрерывана на всей плоскости . При n=1 она тождественно отображает на. При отображенииW=Zⁿкаждый луч переводит в лучи, следовательно, углы с вершиной в точкеz=0 увеличиваются в n раз. Точки z₁ ,z₂, у которых модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π/nотображающ в одну точку, в силу чего Zⁿ (n≥2) в неоднолистна.

Однако на каждом множестве, не содержащих равных по модулю точек, с равными по модулю 2π/n аргументами, функция Zⁿоднолистна.

Примерами таких множеств служат углы В частности исключив из него луч, получив область, которая однолистно отображается функциейZⁿ на область В этой области однозначной является функция– ветви функции– обратной к функцииW=Zⁿ и называемой корнем n-ной степени. В области ∆ она является аналитической функцией, причем Значение припринадлежат

Пусть и значениеПереместим точкуW от W₀по окружности |W |=|W₀|, описывая при этом полную окружность. Тогда ArgW непрерывно возрастет на 2π, а возрастет на 2π/n ⇒после обхода окрестности переходим к значению Послеn-кратного обхода окрестности в одном направлении получим , т.е. указанные ветви функциисовпадают.

Рассмотрим n экземпляров области , которые обозначим ∆₀,∆₁, … , ∆_n-1Наложим эти области одна на другую и склеим нижний край разреза листа ∆_k (k=0,1,2,…,n-2)с верхним краем такого же разреза листа ∆_k+1 Свободный верхний край разреза L₀ листа ∆₀ склеим с нижним краем разреза ∆_n+1 Если точка М – внутренняя для листа ∆_k (∆_k+1), то у нее существует ε окрестность, принадлежащяя тому же листу, если М лежит на линии склеивания ∆_k с ∆_k+1, то ε окрестность точки М составленная из части ее ε окрестности, принадлежащей ∆_k и распространяющ на нижнюю полуплоскость, из части ε окрестности, принадлежащей ∆_k+1 и рапространяющ в верхнюю полуплоскость, а также из εинтервалов, лежащих на L₀ и симметрично относительно Мпостроенная n-листная область называется Римановой поверхностью функции

9. Экспоненциальная функция е^z. Риманова поверхность функции Z = Ln(W)

Из равенства следует, что , так что областью однолистностиявляется любая полоса ширинойдействительной оси. Разделим плоскость (z) на совокупность полос При отображенииW=e^z полосесоответствует вся плоскость ! с удаленной из нее точкойW=0. Открытая часть полосы , т.е. областиотображ нагдеL₀ – отрицательная и действительная оси, А прямыеотображ наL₀ Из равенства Отсюда, следовательно все значения функцииLnW, обратной к функции W=e^zдля определяется по формуле:

В областьи∆ имеем счетное множество однозначных ветвей Ln_kWфункцииLnW, каждый из которых отображает ∆ на В точкеW=1 ветвь Ln_kWпринимает значение ; оно может быть использовано для выделениясреди всех других рассматриваемых полос. Пустьи фиксировано, аz₀ – значение LnW, принадлежащее Переместим точкуWот точки W₀по окрестности|W|=|W₀| против часовой стрелелки до той же точки W₀При этом ArgWвозрастает на и точкеW₀будет соответствовать точка иначе говоря, ветвьLn_kWперейдет в ветвь с помощью многократного повторения можно перейти от заданной ветвиLn_kW к другой его ветви.

Рассмотри счетное множество областей которое обозначим …,∆_-2,∆_-1,∆₀,∆₁,∆₂,… Будем считать их наложенными друг на друга в порядке возрастания номеров. Склеим верхний край разреза листа ∆_k+1Бесконечнолистная поверхность получающаяся как результат указанных объединений листов ∆_k называется Римановой поверхностью функции z=LnW

ФункцияW=e^z голоморфно отображается на риманову поверхность функциюz=LnW . Точка W=0 при обходе которой совершается переход с одного лиса на другой называется трансцендентной точкой ветвления функции z=LnW