Пожаркова_ТАУ_ЛР_9434

51

Рис.4.8

Рис.4.9

52

Проведем моделирование данной САУ в ПК «МВТУ» (рис.4.10). Величина источника возмущающего воздействия в модели задана нулевой. Задающее воздействие представляет собой единичную ступенчатую функцию с параметрами приведенными на рис.4.11. Переходная характеристика, построенная в результате моделирования (рис.4.12) совпадает с полученной аналитически.

Рис.4.10

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1. Получить аналитические выражения для переходной h t и импульсной k t характеристик замкнутой системы (рис.1.17) по задающему воздействию относительно выходной координаты y t . Построить их графики.

2.В ПК «МВТУ» построить график переходной h t характеристики

замкнутой системы по задающему воздействию относительно выходной координаты y t . Сравнить его с полученным в п.1.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать:

53

исходные данные, все промежуточные аналитические выводы, схемы моделей, значения параметров и графики в форматах Mathcad и ПК «МВТУ», в которых должны быть отражены все исследования, проведенные в работе согласно заданию;

выводы по каждому пункту задания, где предполагается проведение исследований;

общие выводы по всей работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое переходная характеристика системы?

2.Что такое импульсная характеристика системы?

3.Как выполняется обратное преобразование Лапласа?

Лабораторная работа №5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ

Цель – получение частотных характеристик исследуемого объекта, изучение физического смысла частотных характеристик.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 5.1.ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Частотные характеристики САУ предназначены для исследования установившихся режимов при гармонических воздействиях.

Если на вход линейного звена (рис.5.1) подать гармоническое воздействие x(t) X0 sin( 0t), где X0 - амплитуда, 0 - угловая частота,

имеющая размерность [рад/с] или [c 1], то, как следует из необходимых и достаточных условий линейности, на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты 0 , но, в общем случае, другой амплитуды Y0 и сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол 0 , т.е. y(t) Y0 sin( 0t 0).

Рис.5.1

Связь между выходной гармоникой и входной устанавливается с помощью частотной передаточной функции звена W(j ). Частотная передаточная функция является важнейшей динамической характеристикой звена и представляет собой отношение изображений по Фурье выходного и

54

входного сигналов при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах:

W( j ) y( j ). x( j )

Из сравнения преобразований Фурье и Лапласа следует, что частотную передаточную функцию звена легко получить из его передаточной функции путем замены p на jω, т.е.

комплексное число, которое можно записать как в полярных координатах, так и декартовых:

W(j ) A( )ej ( ) U( ) jV( ),

где

A( ) - модуль или амплитуда частотной передаточной функции (амплитудная частотная характеристика - АЧХ):

A( ) W(j ).

АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты, иначе, представляет собой коэффициент изменения амплитуды гармонических колебаний при прохождении через звено. Ее величина на заданной частоте 0 равна отношению амплитуд выходного и входного сигналов, т.е. коэффициенту усиления звена на частоте 0 :

A( 0 ) Y0 .

X0

( )- аргумент или фаза частотной передаточной функции, показывает фазовый сдвиг выходной гармоники по отношению к входной на частоте (фазовая частотная характеристика - ФЧХ):

( ) arg W( j ) .

ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах. Величина ФЧХ на заданной частоте 0 равна разности фаз выходного и входного сигналов:

( 0 ) 0 0 0.

U( ) - вещественная составляющая частотной передаточной функции (вещественная частотная характеристика ВЧХ):

U( ) Re W( j ) .

V( ) - мнимая составляющая частотной передаточной функции (мнимая частотная характеристика МЧХ):

V( ) Im W( j ) .

Справедливы следующие соотношения:

55

A( ) U2( ) V2( ) и ( ) arctgV( ).

U( )

5.2.АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится на комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место концов векторов (годографов), соответствующих частотной передаточной функции W(j ) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис.5.2). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка, полученные точки соединяются затем плавной кривой. Иногда стрелкой показывают направление роста частоты . АФЧХ можно строить как в декартовой, так и в полярной системе координат.

Рис.5.2

Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую выбранной частоте 0 , равна A( 0), угол между вектором и положительным направлением вещественной оси равен ( 0 ), абсцисса данной точки АФЧХ равна U( 0), ордината - V( 0) (рис.5.2).

5.3.ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

На практике чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе. При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают величину L( ) 20 lgA( ). Эта величина выражается в децибелах [дБ]. По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада [дек] - любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается

56

в десять раз. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям A( ) 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям A( ) 1 (ослабление амплитуды). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) отсчет углов ( ) arg W( j ) идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах или радианах.

5.4.АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛАЧХ

ЛАЧХ приближенно можно аппроксимировать ломаными с наклонами 0 дБ/дек, 20 дБ/дек, 40 дБ/дек, 60 дБ/дек и т.д. (рис.5.3).

Рис.5.3

Такая ЛАЧХ называется асимптотической. Наибольшую погрешность асимптотическая ЛАЧХ имеет в точках изменения наклона асимптот (точках перегиба) на 20 дБ/дек, которая составляет 3 дБ.

Асимптотические ЛАЧХ можно построить, используя минимум вычислений, непосредственно по виду передаточной функции по следующему алгоритму:

1.Передаточную функцию объекта управления или системы преобразуют к следующему стандартному виду (свободный член у всех множителей

равен 1):

2. Из полученного выражения определяют сопрягающие частоты (частоты, на которых будет происходить изменение наклона ЛАЧХ), условно нумеруя их в порядке возрастания:

57

3.В логарифмической плоскости в логарифмическом масштабе отмечают полученные сопрягающие частоты (частоты, на которых асимптоты, образующие ЛАЧХ меняют наклон) по правилу, записанному выше, отмечают базовую точку С с координатами C (1; 20lgk), где k -

коэффициент усиления в передаточной функции (5.1).

4.Построение ЛАЧХ начинается с низкочастотного участка, т.е. участка левее первой сопрягающей частоты 1 . Для этого через точку С проводится прямая под наклоном r 20 дБ/дек, где r – показатель степени при p в исходном выражении для передаточной функции (5.1). Часть полученной прямой левее первой сопрягающей частоты 1 и дает искомый низкочастотный участок.

5.Далее строят вторую асимптоту, которая начинается из конца первой и располагается в диапазоне от 1 до 2. Наклон второй асимптоты изменяют по отношению к наклону первой на 20 дБ/дек или 40 дБ/дек в зависимости от порядка и местонахождения звена, для которого получена частота 1 .

Знак «+», если звено в числителе; знак «-», если звено в знаменателе.

На 20 дБ/дек, если звено первого порядка; на 40 дБ/дек, если звено второго порядка.

6.Третью асимптоту строят из конца второй в диапазоне от 2 до 3 , изменяя ее наклон по указанному выше правилу.

7.Все последующие асимптоты строят аналогично.

Пример. Определим частотные характеристики системы с

передаточной функцией разомкнутой цепи W (p) k (k 10, T 0.1).

1.Аналитически.

Частотная передаточная функция разомкнутой цепи:

Запишем ее в декартовых координатах, т.е. как сумму вещественной и мнимой частей. Для этого числитель и знаменатель WРЦ ( j ) домножим на число, комплексно сопряженное знаменателю:

1 T2 2

arctg(0.1 ).

Построим асимптотическую ЛАЧХ (рис.5.4).

Передаточная функция соответствует стандартному виду (5.1):

Определим сопрягающую частоту: 1 1 10. 0.1

В логарифмической плоскости отметим полученную сопрягающую частоту 1 (рис.5.4).

Далее строим вторую асимптоту, которая начинается из конца первой и располагается в диапазоне от 1 до . Наклон второй асимптоты изменяем по отношению к наклону первой на -20 дБ/дек, т.к. звено, соответствующее1 , находится в знаменателе и имеет первый порядок, т.е. получаем наклон второй асимптоты 0 20 20 дБ/дек.

59

-40

Рис.5.4

2. В Mathcad (рис.5.5-5.7).

Рис.5.5

60

Рис.5.6

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ в Mathcad (рис.5.7) необходимо в меню форматирования параметров графика (рис.5.8) установить логарифмическую шкалу (поле Log Scale) по оси абсцисс. В данном случае ФЧХ ( ) задается при помощи функции arg, являющейся встроенной функцией Mathcad.

Функции частотных характеристик, вычисленные в Mathcad, и график ЛАЧХ совпадают с полученными в результате аналитических расчетов.

3. В ПК «МВТУ».