Пример 6.

Вычислить .

Решение.

Данный интеграл есть криволинейный интеграл второго рода (по координатам), который нужно вычислить вдоль некоторой линии от точки до точки . Поскольку линия не задана, то можно предположить, что данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Проверим это.

Здесь , , . Очевидно и сами функции, и их производные непрерывны на всей числовой плоскости и выполняется условие . Значит, действительно, интеграл не зависит от вида кривой, а зависит только от точек А(1; 1) и В(3; 5). Следовательно, можно выбрать любую линию, их соединяющую.

Рассмотрим прямую, проходящую через точки А и В:

.

Тогда получим

.

Пример 7.

Вычислить .

Решение: Рассматривается криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру. Контур С есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 4). Применим формулу Грина (стр.3). При этом контур С ограничивает область D, которая представляет собой, очевидно, круг .

В данном интеграле , . Тогда , . По формуле Грина получаем

.

Здесь мы используем свойство двойного интеграла .

Пример 8.

Найти функцию по ее дифференциалу

.

Решение: Согласно теореме 2 (стр.4), по известному полному дифференциалу функции двух переменных можно найти саму эту функцию с помощью криволинейного интеграла второго рода от заданного дифференциала:

.

Но для этого необходимо, чтобы выполнялось условие независимости интеграла от пути интегрирования. Убедимся в этом.

Пусть , . Очевидно, эти функции непрерывны на всей числовой плоскости. Находим , , следовательно – условия независимости интеграла от пути интегрирования выполняются.

В качестве линии интегрирования выберем ломаную АСВ (рисунок 5), где – произвольная фиксированная точка плоскости, – текущая точка плоскости. Отрезки АС и СВ параллельны осям Ох и Оу соответственно.

Тогда

,

где .

Если взять (х₀, y₀) = (0, 0), получим:

.

*)^*) Теорема Барроу: Если f(х) непрерывна на отрезке [a, b], то для любого х[a, b] функция Ф(х)= дифференцируема на [a, b] и Ф(х) = f(х). Т.е. интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная для подынтегральной функции.

14