4.7. Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на конечном промежутке

Пусть непериодическая функция f(x) задана на некотором отрезке [a,b] и пусть она на этом отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна. Покажем, что данную функцию в точках непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

Рассмотрим функцию f*(x) с периодом Т = 2l≥b-а, удовлетворяющую условиям Дирихле на отрезке [-l,l] и совпадающую с данной функцией на отрезке [a,b] (рисунок 8).

Рисунок 8

Найдем разложение функции f^* (х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках непрерывности совпадает с функцией f^* (х). Так как на отрезке [a,b] функция f(x) совпадает с функцией f^* (х), то сумма ряда во всех точках отрезка [a,b], кроме точек разрыва, совпадает с заданной функцией, таким образом, мы разложили в ряд Фурье функцию f(x) на отрезке [a,b]

Если функция f(x) задана на отрезке [0,l] и непрерывна или кусочно-непрерывна на этом отрезке, то можно найти разложение функции в ряд косинусов или синусов. Для этого достаточно доопределить функцию на отрезке [-l,0] так, чтобы ее значения в точках отрезка [-l,0] находились из условия f(-x) = f(x) или f(-x)=-f(x). В этом случае говорят, что функцию доопределяем четным или нечетным образом. При этом коэффициенты ряда Фурье находятся по упрощенным формулам для четных или нечетных функций.

Пример 33

Разложить в ряд Фурье функцию напряжения на сетке лампы: .

Решение.

Построим график данной функции на отрезке [0,π]. Рассмотрим, вспомогательную функцию, которая на отрезке [0,π] совпадает с данной. Для этого, продолжив заданную функцию четным образом на отрезке [-π,0], будем рассматривать периодическую функцию U^* (ωt) с периодом Т = 2π (рисунок 9),

Рисунок 9

Функция U^* (ωt) является четной, значит, b_п=0. Полагая ωt=х, найдем a_O, а_n:

,

Заметим, что при интегрировании использовали формулу интегрирования по частям:

Возвращаясь к исходной переменной , запишем ряд Фурье

.

Полученный ряд сходится на всей числовой оси к функции U^* (ωt), так как функция непрерывна на всей числовой оси. А поскольку данная функция U(ωt) совпадает с U^* (ωt) при ωt [0, π], то справедливо разложение

.

Замечание. В индивидуальном задании требуется найти разложение в ряд Фурье функции, заданной графически. Чтобы вычислить коэффициенты Фурье, нужно перейти от графического способа задания функции к аналитическому.

Рисунок 10

Например, если функция f(x) задана графически (рисунок 10), то на отрезке [-1,1] график состоит из части горизонтальной прямой у =1 при х[-1,0) и части наклонной прямой, проходящей через точки (0,1) и (1,2). Из аналитической геометрии известно, что если прямая проходит через точки (х₁, у₁) и (х₂, у₂), то ее уравнение имеет вид

.

Уравнение наклонной прямой, проходящей через точки (0,1) и (1,2):

.

Итак, на отрезке [-1,1] аналитическое задание функции

Заметим, что данная функция f(x) является периодической с периодом Т=2, т.е. функция удовлетворяет условию f(x + 2)= f(x).

67