МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»

О.М.БЕЛИЧЕНКО

М.Н.СЛИВА

С.Ф. ЯКОВЛЕВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

РЯДЫ

электронное издание для студентов направлений:

230400.62– Информационные системы и технологии, профиль подготовки – Информационные системы и технологии в промышленности;

230100.62– Информатика и вычислительная техника, профиль подготовки – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем;

231000.62 - Программная инженерия, профиль подготовки – Разработка программно-информационных систем,

очной и заочной форм обучения

Красноярск

2012

Беличенко О.М., Слива М.Н., Яковлева С.Ф. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Ряды: Электронное издание для студентов направлений 230100.62, 230400.62, 231000.62 очной и заочной форм обучения. – Красноярск: СибГТУ, 2011. - 100с; табл. 5, рис. 74, библиогр. назв. 12.

Учебное пособие по математическому анализу предназначено организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов направлений 230100.62, 230400.62, 231000.62 очной и заочной форм обучения в рамках модульно-рейтинговой технологии обучения. Содержит краткий теоретический материал, примеры решения типовых задач, вопросы и задачи для самоконтроля, а также примеры тестовых заданий для промежуточного контроля по темам модуля «Ряды». Тесты снабжены ответами и пояснениями.

© О.М.Беличенко,

© М.Н.Слива,

© С.Ф. Яковлева

© ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет», 2011

ВВЕДЕНИЕ

Математика в целом, и ее раздел «Математический анализ» в особенности, являются не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавров.

В результате освоения раздела математики «Математический анализ» формируются следующие общекультурные (ОК) компетенции студентов:

• ОК1 - культура мышления, способность к общению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;

• ОК 2 –умение логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;

• ОК 6 – стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства;

• ОК10 – готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.

Кроме того, дисциплина «Математический анализ» в большой степени способствует и формированию профессиональных (ПК) компетенций:

направления подготовки 230100.62:

• ПК6 – готовность обосновать применяемые проектные решения, осуществить постановку и выполнение экспериментов по проверке их корректности и эффективности;

• ПК 7 – навыки в подготовке презентаций, научно-технических отчетов по результатам выполненной работы, оформления результатов исследований в виде статей и докладов на научно-технических конференциях.

направления подготовки 230400.62:

• ПК12 – способность разрабатывать математические средства реализации информационных технологий;

• ПК26 – готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований.

направления подготовки 231000.62:

• ПК2 – способность к формализации в своей предметной области с учетом ограничений используемых методов исследования;

• ПК4 – готовность обосновать применяемые проектные решения, осуществить постановку и выполнение экспериментов по проверке их корректности и эффективности;

• ПК5 – умение готовить презентации, публиковать результаты исследований в виде статей и докладов на научно-технических конференциях.

Данное учебное пособие является учебно-методической составляющей модуля «Ряды», который входят в программу второго семестра дисциплины «Математика. Математический анализ» для направлений подготовки 230100.62, 230400.62, 231000.62 факультета автоматизации и информационных технологий (ФАИТ).

Пособие предназначено для организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов при изучении указанных дисциплин. Цель пособия – помочь студентам овладеть основными методами решения задач по темам модулей, выполнить индивидуальные задания и подготовиться к промежуточному контролю по модулям. Пособие также дает возможность студенту осуществить и самоконтроль.

Содержание

Основные теоретические сведения и примеры решения типовых задач……...1

Тема 1 Числовые ряды…………………………………………………………...1

1. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости……………………………………………………...1

1.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов……7

1.3. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов………………………………………………..8

1.4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница………………………20

Тема 2. Функциональные ряды. Степенные ряды…………………………….26

2.1. Функциональные ряды …………………………………………………….26

2.2. Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда..29

2.3. Свойства сходящихся степенных рядов…………………………………..36

Тема 3. Разложение функций в степенной ряд………………………………...39

3.1. Постановка задачи. Ряд Тейлора…………………………………………..39

3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора…………..40

3.3. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций………42

3.4. Применение рядов в приближенных вычислениях……………………….49

Тема 4. Тригонометрические ряды Фурье……………………………………..52

4.1. Периодические функции и их свойства…………………………………...52

4.2. Ортогональные системы функций…………………………………………53

4.3. Гармонические колебания. Тригонометрический ряд……………………53

4.4. Ряд Фурье для функции с периодом 2π……………………………………55

4.5. Разложение четных и нечетных функций с периодом Т=2π в ряд Фурье58

4.6. Разложение в ряд Фурье периодических функций с произвольным периодом Т = 2l…………………………………………………………………..61

4.7. Разложение в ряд Фурье непериодических функций……….…………..64