2 Результаты расчетов и выводы

Для получения математической модели используем центральные композиционные планы 2 –го порядка.

За основу построения матрицы берем полный факторный эксперимент планов 1 –го порядка 2 . Общее количество опытов для К<5:

Количество опытов в центре плана принимаем n₀=1, звездное плечо α=1,41.

Ортогональность между столбцами достигается с помощью преобразований квадратичных столбцов по формуле (5):

В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами X_i² получаем уравнение регрессии, которое необходимо преобразовать к такому виду, чтобы оно реально описывало процесс. Для этого B₀ пересчитывается по формуле (8), в эту формулу подставляются только те X_i² которым соответствуют значимые коэффициенты уравнения регрессии.

2.1 Анализ результатов математического моделирования

Для анализа качества полученной математической модели используем регрессионный анализ, задачей которого является получение математической модели процесса, проверка адекватности полученной модели и оценка влияния каждого фактора на процесс.

Регрессионный анализ проводим по 1-ой схеме. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии, определяем дисперсию воспроизводимости S_воспр. (по формуле 12).

Проверку коэффициентов на значимость проводим по критерию Стьюдента (14). Если t_расч.>t_табл., то коэффициент значим. Так как коэффициенты В₁, В₂, В₄, В₁₃, В₁₂,B₁₄, B₂₄ значимы, следовательно все факторы Х₁, Х₂, Х₄ существенно влияют на процесс. Оставшиеся коэффициенты незначимы.

Для того чтобы привести уравнение к виду, которое бы реально описывало процесс необходимо пересчитать коэффициент В₀ по формуле (8):

Далее, для того чтобы найти дисперсию адекватности, нужно найти Y_расч., для этого значимые коэффициенты b_i перемножаем на соответствующие факторы из матрицы и подставляем в уравнение регрессии:

Yрасч =78,88–8.51 Х1 – 5,88 Х₂+8,094 Х₄ –4,5 Х12 +4,375 Х₁₃ +4,5 Х₁₄ + 5Х₂₄ –10,4 X₄²

Адекватность математической модели проверяем по критерию Фишера:

F_расч. =8,69; F_табл. =8,7. Условие F_расч<F_табл. соблюдается, следовательно, математическая модель адекватна, т.е. модель вполне соответствует реальному процессу.

2.2 Интерпретация результатов математического моделирования

Далее переходим к интерпретации полученных результатов и изучению влияния факторов.

Интерпретация результатов – это перевод результатов с математического языка на технологический язык.

Интерпретация проводится по результатам планированного (активного) эксперимента, то есть в кодированном виде. В обычных уравнениях регрессии (в натуральном виде) значения коэффициентов b_i нельзя сопоставлять, так как они соответствуют натуральным факторам. В планированном эксперименте факторы приведены к безразмерному кодированному виду, в котором каждый из них варьируется от верхнего до нижнего уровня , что даёт возможность их сопоставлять.

Задачу интерпретации решается в несколько этапов:

1. Устанавливаем в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации, а, следовательно, и на процесс. Абсолютная величина коэффициента b_i – количественная мера этого влияния. Чем больше по модулю значение коэффициента b_i, тем больше соответствующий фактор влияет на процесс.

b₁>b₄>b₂ следовательно x₁>x₄>x₂

О характере влияния фактора говорит и знак коэффициента.

В нашем случае параметр оптимизации стремится к максимуму. Коэффициент b₄ имеют положительный знак, значит с увеличением значений фактора х₄ увеличится и значение параметра оптимизации. Коэффициент b₁ и b₂ имеет отрицательный знак, значит с увеличением фактора х₁ и х₂ параметр оптимизации будет уменьшаться.

2. Проверяем гипотезу о механизме действия факторов.

Здесь особое внимание уделяется эффектам взаимодействия.

В нашем случае значимыми являются коэффициенты:

b₁₄, соответствующий взаимодействию факторов х₁ и х₄

b₁= -8,51, b₄= 8,097 b₁₄= 4,5

Так как коэффициенты b₁ , b₄ и b₁₄ имеют разные знаки, то нельзя однозначно сказать о влиянии соответствующих факторов на процесс. Можно только сказать, что при совместном воздействии х₄ фактор оказывают большее влияние на процесс, так как знаки b₄ совпадает со знаком b₁₄.

b₁₂ , соответствующий взаимодействию факторов х₁ и х₂

b₁= -8,51, b₂ =-5,88, b₁₂ =-4,5.

Коэффициенты b₁, b₂ и b₁₂ имеют одинаковые знаки, следовательно фактор х₁ влияет тем сильнее, чем больше фактор х₄

b₁₃ , соответствующий взаимодействию факторов х₁ и х₃

b₁= -8,51, b₃ =2,64, b₁₃ =4,38.

Так как коэффициенты b₁ , b₃ и b₁₃ имеют разные знаки, то нельзя однозначно сказать о влиянии соответствующих факторов на процесс. Можно только сказать, что при совместном воздействии х₃ фактор оказывают большее влияние на процесс, так как знаки b₃ совпадает со знаком b₁₃.

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 7.

Таблица 6 - Матрица планирования эксперимента

№ опыта	х0	х1	х2	х3	х4
1	1	-1	-1	-1	-1
2	1	1	-1	-1	-1
3	1	-1	1	-1	-1
4	1	1	1	-1	-1
5	1	-1	-1	1	-1
6	1	1	-1	1	-1
7	1	-1	1	1	-1
8	1	1	1	1	-1
9	1	-1	-1	-1	1
10	1	1	-1	-1	1
11	1	-1	1	-1	1
12	1	1	1	-1	1
13	1	-1	-1	1	1
14	1	1	-1	1	1
15	1	-1	1	1	1
16	1	1	1	1	1
17	1	-1,41	0	0	0
18	1	1,41	0	0	0
19	1	0	-1,41	0	0
20	1	0	1,41	0	0
21	1	0	0	-1,41	0
22	1	0	0	1,41	0
23	1	0	0	0	-1,41
24	1	0	0	0	1,41
25	1	0	0	0	0

2.3 Принятие решений для дальнейшей работы

На принятие решений влияет адекватность модели, значимость коэффициентов и информация о положении оптимума. Поскольку квадратичная модель адекватна и часть коэффициентов значима, то переходим к оптимизации процесса. Оптимизация более эффективна, когда все коэффициенты значимы. Для получения значимости всех коэффициентов необходимо сделать следующее:

1. расширить интервал варьирования по незначимым факторам;

2. перенести центр плана в точку, соответствующую условиям наилучшего результата;

3. стабилизировать не влияющие факторы на определенном уровне и исключить их из плана;

4. увеличить количество параллельных опытов;

5. достроить план до полного факторного эксперимента.

Но на практике чаще всего этого не делают, поэтому проводим оптимизацию только по значимым факторам. Незначимые факторы стабилизируем на нижнем уровне по экономическим соображениям.

Перед выбором метода оптимизации необходимо вначале провести исследование поверхности отклика и на основании этого выбрать нужный.

Наша математическая модель адекватна, часть коэффициентов значима, а часть незначима. Значит можно переходить к оптимизации процесса.

Оптимизацию проводим только по значимым факторам, а незначимые факторы стабилизируем на нижнем уровне.

Проанализируем полученные коэффициенты уравнения регрессии:

b₁= -8,51, b₂= -5,89, b₄= 8,097

Коэффициенты b₁ и b₄ имеет самое большое значение по модулю, значит соответствующие им факторы будут больше остальных влиять на параметр оптимизации и, следовательно, на процесс и при его увеличении параметр оптимизации будет увеличиваться. Коэффициент b₂ имеет самое маленькое значение, значит, фактор ему соответствующий будет меньше остальных влиять на процесс примерно в равной степени, но при уменьшении х₂ параметр оптимизации будет увеличиваться, а при увеличении х₄ будет происходить увеличиваться параметра оптимизации.

Поэтому для оптимизации выбираем два фактора х₁ и х₄ (х₁-продолжительность процесса, час.; х₄- температура (ºС.)). Фактор х₃ и х₄ стабилизируем на центральном уровне х₃=15,0, х₄=50,00.