Исследование поверхности отклика.

Проводим исследование поверхности отклика 2-го порядка. Выбор метода оптимизации плана 2-го порядка зависит от вида поверхности, поэтому необходимо провести исследование поверхности отклика, поскольку по виду полученного уравнения регрессии определить вид поверхности невозможно. Чтобы определить вид поверхности, нужно уравнение регрессии в кодированном виде перевести в канонический вид.[1]

Уравнение регрессии с двумя независимыми переменными имеет вид:

(19)

В канонической форме это уравнение имеет вид:

(20)

где Y_s – координаты центра поверхности отклика,

B_ii – коэффициенты уравнения регрессии в каноническом виде,

X_i – канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов X_i.

Порядок канонического преобразования

Преобразование уравнения к каноническому виду выполняют в два этапа:

1.Определяем координаты в центре поверхности отклика.

Для этого решаем систему нормальных уравнений

(21)

(22)

Решая эту систему уравнений получим корни уравнений:

(23)

(24)

Для определения Y_s необходимо в исходное уравнение регрессии в кодированном виде вместо Х₁ подставить Х_1s и X_2s.

2. Переносим начало координат в центр поверхности (точку S) [1]

Новые координаты находим по формулам:

(25)

(26)

(27)

Если в уравнении регрессии в кодированном виде (19) подставить новые значения, то получим:

(28)

Для того чтобы избавиться от взаимодействия, нужно новые оси координат повернуть на угол α [1]

(29)

В канонической системе координаты связываются следующим уравнением:

(30)

(31)

Вычисляем коэффициенты B_ii канонического уравнения. Для вычисления коэффициентов B_ii канонического уравнения составляют характеристический детерминант (определитель):

(32)

Приводим к виду

корни квадратного уравнения определяем по формуле:

(33)

Коэффициенты могут быть положительными и отрицательными, от знака коэффициента зависит вид поверхности:

а) если коэффициенты имеют одинаковые знаки, то поверхность отклика – эллиптический параболоид. В центре поверхности максимум при B_ii < 0 и минимум при B_ii > 0

б) если коэффициенты имеют разные знаки, то поверхность отклика – гиперболический параболоид(“седло”). В центре поверхности точка S – “ минимакса”

в) если один из коэффициентов равен 0, то поверхность – “ гребень”. Центр поверхности уходит в бесконечность.[1]

На практике для исследования поверхности и оптимизации выбирают два фактора наиболее сильно влияющие на процесс, остальные факторы стабилизируют на центральном уровне и тогда в кодированном виде значения факторов будут равны 0, а для изменяемых – результаты расчета.

Оптимизация технологического процесса

1 Метод «Ридж-анализ» - базируется на методе неопределенных множителей Лагранжа. Для выбора оптимального режима составляют следующую систему уравнений:

(34)

Количество уравнений равно количеству факторов.

Решая систему уравнений, получим корни:

(35)

(36)

где λ – неопределенный множитель Лагранжа.

В случае задачи на max следует λ выбирать большее максимальное значение B_ii;

λ' ≥ λ > B_max (37)

В случае задачи на min следует λ выбирать меньшее минимальное значение B_ii;

B_min > λ ≥ λ’

где λ'- параметр Хорля, который определяется по формуле:

λ' = 2(B_max - b_kk) (38)

где b_kk – коэффициент в кодированном виде;

B_max – коэффициент в каноническом виде.

Изменяем с определенным шагом значение λ, вычисляем Х₁ и Х₂, подставляем их в уравнение регрессии в кодированном виде. Если не получили нужного значения, то снова изменяем λ, до тех пор, пока не получим Y_жел.

Оптимальный режим, полученный в кодированном виде, переводим в натуральный вид.