2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если f(х) - четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

6. Вычислить , если .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) б) , r = a, .

2. а) Найти периметр фигуры, ограниченной линиями: Указание: в качестве независимой переменной взять у.

б) Найти длину дуги трактрисы: от точки (0; а) до точки (b; с).

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями (x, y  0) и y = 3.

4. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяжести ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса растет по закону , найти скорость ракеты в момент времени t₁, если ее начальная скорость равна нулю.

5. Найти силу давления жидкости с плотностью , заполняющей круговой цилиндр, на его боковые стенки, если радиус основания цилиндра R, высота Н.

6. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна эта работа, если тело удаляется на бесконечность? (Сила, действующая на тело массой m, равна , где r- расстояние от центра Земли; М - масса Земли, – гравитационная постоянная).

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти

а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь, ограниченную петлей кривой , .

7. Доказать, что длина дуги эллипса равна длине одной волны синусоиды , где .

8. Фигура, ограниченная линией и ее асимптотой, вращается вокруг оси ординат. Найти объем полученного тела.

9. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током в течение периода Т.

ОТВЕТЫ. Часть 1. 1. а) да; б) нет; в) нет. 2.. 3. а) ; б). 4. , .

5. а) б) в) ln^–12e–ln^–13e г) 0,5ln3 д) a⁴π/8 е) ж) з)ω²(π³ –6π) 6. 7.а) расходится б) 2 Часть 2. 1. а) 2,25 б)

2. а) б) 3.8π/3 4. 5.gγπRH²

6. .

Вопросы к защите

1. Определение интегральной суммы для заданной функции на данном интервале, ее геометрическая интерпретация

2. Определение определенного интеграла, его геометрическая интерпретация.

3. Постройте фигуру, площадь которой численно равна .

4. Задачи о площади криволинейной трапеции и о массе прямого тонкого стержня с переменной линейной плотностью, приводящие к понятию определенного интеграла, их формулировка и решение.

5. Теорема существования определенного интеграла, необходимое условие интегрируемости функции.

6. Свойства определенного интеграла: касающиеся отрезка интегрирования, свойств или характера функции, служащие для оценки интеграла ; сравнить со свойствами неопределенного интеграла. Примеры применения этих свойств.

7. Не вычисляя, сравните интегралы: и , и , и .

8. Определить знаки интегралов, не вычисляя их: , .

9. Оцените интеграл

10. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле, сходство и отличие от соответствующих методов в неопределенном интеграле. Можно ли интеграл вычислить с помощью подстановки х = cost ?

11. Сформулируйте и докажите теорему о среднем в определенном интеграле.

12. Сила переменного тока меняется по закону , где Т – период. Найти среднее значение силы тока за полупериод.

13. С помощь метода замены переменных в определенном интеграле доказать свойства интегралов от четных, нечетных, периодических функций, а также равенства

14. Теорема Барроу, ее использование для вывода формулы Ньютона-Лейбница. Что выражает эта формула, для чего она служит. Всегда ли может быть использована?

15. Несобственные интегралы: с бесконечными пределами и от неограниченной функции – их определение, сходимость, признаки сходимости, геометрическая интерпретация.

16. Приложения определенного интеграла к решению задач о вычислении (с выводом формул): площади криволинейной трапеции, криволинейного сектора, объема тел вращения, длины дуги, работы силы, давления на погруженную в жидкость пластину, моментов инерции тела, статических моментов и т .п.

17. Известно, что f(x) – непрерывная на [a, b] функция и . Следует ли отсюда, что f(x)  0 на [a, b]? Ответ обоснуйте.

18. С уществуют ли площади неограниченных фигур, изображенных на рисунках?

2

9

19. Найти ошибку в вычислении:

, но интеграл от строго положительной функции не может равняться 0!