Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. При каком а площадь, ограниченная линиями и , равна ?

7. Найти длину пространственной кривой , , , .

8. Цепная линия вращается вокруг оси абсцисс. При этом получается поверхность, называемая катеноидом. Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоскостями, отстоящими от начала координат на а и b единиц и перпендикулярными к оси абсцисс.

9. При гармоническом колебательном движении вдоль оси абсцисс около начала координат скорость ν дается формулой: . Найти положение точки в момент времени t₂, если в момент времени t₁ она находилась в точке х= х₁.

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б)нет; в) да. 2. 0. 3. а) < ; б) < .

4. , . 5. а) ; б) ; в) ln2; г) ; д) ; е) 4-ln9; ж) ; з) . 6. 7. а) ; б) расходится.

Часть2. 1 а) б)3πа2/2 2. А)ln3–0,5 б)12. 3. 24π. 4. 150кг 5. 2γаb2/3. 6. 135 дж вариант 4 Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а) ; б); в) .

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны выражения: и , если F(t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) б) , в) , г) ; д) ;

е) ; ж) , ; з) .

7. Вычислить , если f(x) = .

8. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) б) , а> 0.

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) xy = 4, x + y  5 = 0; б) r = (1+sin).

2. Найти длину дуги кривой: а) между точками пересечения ее с осью ОХ; б) , .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями . Сделать чертеж.

4. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью ν₀, без учета сопротивления воздуха равна , где t- протекшее время; g – ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимется тело?

5. Найти момент инерции относительно оси OX площади прямоугольника, ограниченного линиями x = 0, x = a, y = 0, y = b.

6. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла (плотность γ) из вертикального цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом R.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

7. Найти длину пространственной кривой , , между плоскостями z = 0 и z = а (а  0).

8. Найти объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой и осью координат, вокруг оси абсцисс.

9. Согласно эмпирическим данным, удельная теплоемкость воды при температуре t⁰C (0  t  100) равна с = 0,99 – 5,1810^-5t + 6,9110^-7t². Какое количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от температуры 0⁰С до температуры 100⁰С? (Замечание: количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, пропорционально его массе и изменению температуры).

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б)да; в) нет. 2. 0. 3. а) > ; б) < .

4. , . 5. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) 4(75–64ln4); ж) ; з) . 6. . 7. а) ; б) расходится. Часть 2. 1. а) 7,5–4ln4; б)3πа²/2. 2. а) ; б) 5π. 3.97,2π.

4.Н_max= v²/2g, 5/ρab³/3. 6. –0,5πR²γH².