Вариант 5 Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, что существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а) y(x) = x² – 4x, [0, +); б) y = tg x, [0, ]; в) y(x) = tgx , [0, /4].

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или , б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если f(x) – четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) , б) , в) ; г) ,

д) , е) , г) , д) .

6. Вычислить , если f(x) = .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями и найти ее площадь

а) у = – х², х + у + 2 = 0; б) r = a sin , a > 0.

2. а) Найти периметр фигуры, ограниченной линиями у² = х³, у = , у = 0.

б) Найти длину дуги кривой между точками ее пересечения с осью ОХ.

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями у = х², х = у².

4. Скорость прямолинейного движения тела изменяется по формуле v(t) = 1 + sin 2t м/с. Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

5. Найти момент инерции относительно оси ОХ площади треугольника, ограниченного линиями х = 0, у = 0, х + у = а.

6. Электрический заряд е₀, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (b, 0). Определить работу силы отталкивания F, если известно, F = , где r – расстояние между зарядами.

Дополнительные задачи.

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти

а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , у = |x + 1| –2.

7. Найти длину кривой, заданной параметрически .

8. Найти объем тора, образованного вращением вокруг оси ОУ круга (х – а)² + у² = с², а  с.

9. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг начала координат со скоростью v = v₀cost. Найти закон колебания точки, если при t = 0 она имела абсциссу х = 0. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости точки за период колебания?

Ответы. Часть 1. 1.а) нет, б) нет, в) да. 2. 2 . 3. а) ; б)

4. , .

5. а)1,75; б) 9,75, в) г) ln2+3π/4; д) , е) ; ж) -2/9; з)(2е³+1)/9.

6. π²/12+7π/36+0,5 7. а) расходится; б) ln(π./2).

Часть 2. 1. а) 4,5; б) πа²/4. 2. а) ; б) . 3.3π/10. 4. 3π/4+0,5. 5. ρа⁴/12.

6. е_ое(а^–1–b^–1).

Вариант 6 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку:

а) , б) , в)