Часть 2. 1. А) 36 б) πа2/2 2. А) б) 3. 4. 3 сек 5.6,4g

6. 0,5ρgс²аb.

Вариант 9 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку: а) f(x) = , б) f(x) = 4х³ +х², [1; 3]; в)

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если Ф(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б) , в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) , kZ; з) .

6. Вычислить , если f(x) = .

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , у = 0, у = 5 –х; б) вне r = a, а > 0.

2. а) Найти длину дуги кривой у = е^х между точками (0, 1) и (1, е). Указание: в качестве независимой переменной взять у. б) Найти длину дуги кардиоиды .

3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями у = tgx, y = ctgx, x = .

4. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v₀, с учетом сопротивления воздуха дается формулой , где t – протекшее время, g – ускорение свободного падения, С – постоянная. Найти высоту поднятия тела.

5. Вычислить силу давления жидкости с плотностью  на вертикальный эллипс с осями 2а и 2b, центр которого погружен в жидкость на уровень h (h  b), причем большая ось 2а эллипса параллельна поверхности жидкости.

6. Тяжелая цепь длиной 100 м поднимается, навиваясь на ворот. Найдите работу силы тяжести при поднятии цепи, пренебрегая размерами ворота, если погонный метр цепи весит 40 кг.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь петли декартова листа , 0  t < +.

7. Доказать, что дуги линий и , соответствующие одному и тому же интервалу изменения параметра t, имеют равные длины.

8. /4б/ Фигура, ограниченная осью ОХ и одной аркой циклоиды х = а(t – sint), y = a(1 – cost), вращается вокруг оси ОУ. Найти объем тела вращения.

9. Найти массу стержня длины 100 см с переменной плотностью (х)= .

ОТВЕТЫ. Часть 1. 1. а) нет; б) да; в) нет. 2.. 0 3. а) ; б). 4. , . 5. а) б) 0 в) 0,25 г) д)(е^–1–1)/3 е)ln2 ж) з) 6. 7.а) расходится б) 1–ln2 Часть 2. 1. а) 32/3 б) 2. а) б)6а 3. 4. 5.аbhg γ

6. –200000g кг.м.

Вариант 10 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку:

а) g(x) = (x+4)cos x, , б) , в) у(х) = х² + 3х, (–; 1]