2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если g(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) , б) , в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) , kZ.

6. Вычислить , если f(x) = .

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , х = 0, х = 2, y = 0 б) , .

2. а) Найти длину дуги полукубической параболы , отсекаемой прямой х=2р; б) Найти длину одной арки циклоиды .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями и осью OY.

4. Скорость точки изменяется по закону м/с. Каково наибольшее удаление точки от начала движения?

5. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой 70 м, нижнее 50 м, высота 20 м.

6. Найти работу, затраченную на выкачивание воды из полушара радиуса R м.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. В каком отношении парабола y²=2х делит площадь круга ?

7. Найти длину линии, заданной уравнением , .

8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением линии вокруг ее асимптоты.

9. Цилиндр с подвижным поршнем диаметра Д = 20 см и длины l = 80 см заполнен паром при давлении Р = 10 кГ/см². Какую работу надо затратить, чтобы при неизменной температуре (изотермический процесс, когда PV = P₀V₀) объем пара уменьшить в два раза?

ОТВЕТЫ. Часть1. 1. а) да; б)нет; в) нет. 2. 0 3. а) ; б)

4. , .

5. а)11/3 б) в) г)2–π/2 д) е) ж)18ln9–104/9

з) 6. ln8–7/3–4cos4+4cos2 7. а) б) расходится

Часть 2. 1. А)4; б)πа2/4 2. А) 134р/27 ≈ 4,962р; б) 8а 3. 39,6π. 4. 1296 5. 11300g 6. Вариант 7 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку: а) f(x) = cosx + 2sinx, б) , в)

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать

4. Чему равны и , если Ф(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б) , в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

6. Вычислить , если f(x) = .

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , , ; б) , а > 0.

2. а) Найти длину цепной линии на отрезке [0; а].

б) Найти длину астроиды .

3. Фигура, ограниченная дугой эллипса и двумя прямыми, перпендикулярными к оси ОХ и проходящими через фокусы эллипса, вращается вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.

4. Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно двигалось со скоростью м/с, другое – со скоростью м/с. Какое расстояние между ними было через 4 секунды?

5. Вычислить силу давления воды на треугольник с высотой h и основанием а, если он погружен в воду так, что его основание лежит на поверхности воды.

6. Найдите работу против сил выталкивания при погружении шара радиуса R в воду.