Вариант 1 Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а); б); в).

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла.

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или; б)или. Ответ обосновать

4. Чему равны выражения: и, еслиf(t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а)б), в), г);

д) ; е); ж); з).

6. Вычислить , еслиf(x) = .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) ,а> 0, б)

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти её площадь:

а) y = ln(x+1), y = 2, x = 0; б) r = 2,  = ,  = .

2. Найти длину дуги кривой: а) ; б) , где .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями ,у = 3, у = 12 и осью ОУ.

4. Скорость точки изменятся по закону м/c. Найти путь, пройденный точкой за 6 секунд от начала движения.

5. Определить давление воды на прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

6. Вычислить работу, необходимую для растяжения пружины на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы: .

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б).

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить.

6. Найти значение Q, при котором S₁ = S₂ :

7. Найти длину спирали Архимеда r = a, [0, 2].

8. В цилиндрический стакан с водой вложен параболоид вращения вершиной вниз. Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высотой цилиндра. Найти объем оставшейся в стакане воды, если радиус основания r, а высота h.

9. Найти статический момент окружности r = 2asin относительно полярной оси.

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б) да; в) нет. 2. 0. 3. а)>; б)<. 4.,. 5. а)190; б); в) 3; г) ; д) 2а(3+ln4); е); ж) ; з) –2. 6. 7. а); б) расходится.

Часть 2: 1. А) е2–3; б). 2..; б). 3. 4π. 4. 384 м. 5. 324ρg. 6.8дж Вариант 2 Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а); б); в).

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла.

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или; б)или. Ответ обосновать

4. Чему равны выражения: и, еслиF(t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а)б), в), г);

д) ; е); ж); з).

6. Вычислить , еслиf(x) = .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) б),а> 0.

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти её площадь:

а) y =1, y = 3, xy = a, х = 0 б) .

2. Найти длину дуги кривой: а) ; б) , где .

3. Найти объем тела, ограниченного параболоидом вращения x =3(y² + z²) и плоскостью x = 2.

4. Скорость тела изменятся по закону м/c. Найти путь, пройденный телом за 1час и 20 мин от начала движения. Чему равна средняя скорость движения тела за этот промежуток времени?

5. В каком случае пластинка, погруженная в воду, испытывает большее давление (см. рисунок)?

6. Материальная точка М движется по координатной прямой под действием силы, величина которой меняется пропорционально расстоянию точки от начала координат О. Известно, что направление силы совпадает с направлением оси, и, что она равнялась 1Н, когда расстояние МО было равно 3м. Вычислить работу этой силы по перемещению точки на расстояние 15 м от начала координат.