Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
5. М-3 Интегр.исчисл.фун.одн.перем 2013.doc
Скачиваний:
33
Добавлен:
04.06.2015
Размер:
986.11 Кб
Скачать

2. Метод подведения функции под знак дифференциала

В данном пункте будем использовать следующее свойство неопределенного интеграла: «неопределенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования». Переменной интегрирования может быть не только независимая переменная , но и любая дифференцируемая функция.

Тогда в «Таблице основных интегралов» может быть использовано обозначение , например,, где - дифференцируемая функция.

Как известно, дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал переменной: .

Метод подведения функции под знак дифференциалав неопределенном интегралеоснован на следующих свойствах дифференциала функции:

  1. - под знаком дифференциала можно прибавлять любую постоянную;

  2. - постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала.

Кроме того, используются известные соотношения:

  1. , ;

  1. , ;

  1. ,

  2. ,

  3. и т.д.

Пример 2.

1.

2.

3. Метод интегрирования по частям

Пусть , - дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда

, .

Поэтому , или

.

Метод интегрирования по частямзаключается в применении этой формулы. При этом интеграл в правой части формулы должен быть проще, чем исходный.

Пример 3.

1.

=

2.

4. Рациональные функции

  • Целой рациональной функцией называется многочлен -й степени от переменной, т.е., гдеи целое,.

Например,

  • многочлен нулевой степени от переменной - это(число),

  • многочлен первой степени от переменной имеет вид,

  • многочлен второй степени от имеет вид.

  • Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов, не имеющих общих множителей, т.е.

.

Рациональная дробь называетсяправильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. . Например,.

Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I) ; II) (, целое);

III) (); IV) ().

Используя алгоритм деления многочленов «углом», всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. На основе указанного разложения неопределенный интеграл от неправильной рациональной дроби сводится к сумме интегралов: первый из них является интегралом от многочлена, а второй – интегралом от правильной дроби.

Пример 1. .

Делим числитель на знаменатель:

Тогда .

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби разлагается на множители вида ,(дискриминант отрицательный). Тогдаправильную рациональную дробь сначала следует разложить на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами, найти эти коэффициенты и затем проинтегрировать каждое слагаемое.

5. Интегрирование простейших рациональных дробей

5.1. Простейшая рациональная дробь I-го типа интегрируется заменой переменной :

.

Пример 2. .

5.2. Простейшая рациональная дробь II-го типа () интегрируетсязаменой переменной :

.

Пример 3.

.

5.3. Простейшая рациональная дробь III-го типа (дискриминант) интегрируется с помощью замены переменной .

Пример 4. .

  • Выделим в знаменателе полный квадрат и сделаем замену переменной ,:

.

  • В первом интеграле подведем под знак дифференциала:, а во втором интеграле знаменатель представим как сумму квадратов, тогда

.

  • Вернемся к «старой» переменной, выполнив замену , получим

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]