
- •Модуль 3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •2. Таблица основных интегралов
- •3. Свойства неопределенного интеграла
- •4. Метод непосредственного интегрирования
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Методы нахождения неопределенного интеграла
- •1. Метод замены переменной интегрирования
- •2. Метод подведения функции под знак дифференциала
- •3. Метод интегрирования по частям
- •4. Рациональные функции
- •5. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •6. Интегрирование рациональной дроби ()
- •6.1. Дискриминант квадратного трехчлена .
- •6.2. Дискриминант квадратного трехчлена .
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Определенный интеграл, его свойства и вычисление Содержание
- •Понятие определенного интеграла
- •2. Свойства определенного интеграла
- •3. Формула Ньютона-Лейбница
- •Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем
- •Для произвольной непрерывной
- •Если фигура не является криволинейной трапецией, то представляют ее как сумму криволинейных трапеций:.
- •Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ,,,.
- •4. Несобственные интегралы
- •Контрольные вопросы
2. Метод подведения функции под знак дифференциала
В данном пункте
будем использовать следующее свойство
неопределенного интеграла: «неопределенный
интеграл не зависит от обозначения
переменной интегрирования».
Переменной интегрирования может быть
не только независимая переменная
,
но и любая дифференцируемая функция
.
Тогда в «Таблице
основных интегралов» может быть
использовано обозначение
,
например,
,
где
- дифференцируемая функция.
Как известно,
дифференциал функции равен произведению
производной функции на дифференциал
переменной:
.
Метод подведения функции под знак дифференциалав неопределенном интегралеоснован на следующих свойствах дифференциала функции:
- под знаком дифференциала можно прибавлять любую постоянную;
- постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала.
Кроме того, используются известные соотношения:
,
;
,
;
,
,
и т.д.
Пример 2.
1.
2.
3. Метод интегрирования по частям
Пусть
,
- дифференцируемые функции на промежутке
Х. Тогда
,
.
Поэтому
,
или
.
Метод интегрирования
по частямзаключается в применении
этой формулы. При этом интеграл
в правой части формулы должен быть
проще, чем исходный.
Пример 3.
1.
=
2.
4. Рациональные функции
Целой рациональной функцией называется многочлен
-й степени от переменной
, т.е.
, где
и целое,
.
Например,
многочлен нулевой степени от переменной
- это
(число),
многочлен первой степени от переменной
имеет вид
,
многочлен второй степени от
имеет вид
.
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов, не имеющих общих множителей, т.е.
.
Рациональная дробь
называетсяправильной,
если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е.
.
Например,
.
Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:
I)
;
II)
(
,
целое);
III)
(
);
IV)
(
).
Используя алгоритм деления многочленов «углом», всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. На основе указанного разложения неопределенный интеграл от неправильной рациональной дроби сводится к сумме интегралов: первый из них является интегралом от многочлена, а второй – интегралом от правильной дроби.
Пример 1.
.
Делим числитель на знаменатель:
Тогда .
Пусть знаменатель
правильной рациональной дроби разлагается
на множители вида
,
(дискриминант отрицательный). Тогдаправильную
рациональную дробь сначала следует
разложить на сумму простейших дробей
с неопределенными коэффициентами, найти
эти коэффициенты и затем проинтегрировать
каждое слагаемое.
5. Интегрирование простейших рациональных дробей
5.1. Простейшая
рациональная дробь I-го
типа
интегрируется заменой
переменной
:
.
Пример 2.
.
5.2. Простейшая
рациональная дробь II-го
типа
(
)
интегрируетсязаменой
переменной
:
.
Пример 3.
.
5.3. Простейшая
рациональная дробь III-го
типа
(дискриминант
)
интегрируется с помощью замены переменной
.
Пример 4.
.
Выделим в знаменателе полный квадрат
и сделаем замену переменной
,
:
.
В первом интеграле подведем
под знак дифференциала:
, а во втором интеграле знаменатель представим как сумму квадратов, тогда
.
Вернемся к «старой» переменной, выполнив замену
, получим
.