ЛАБ.РАБ / lab_46-1
.pdf
Лабораторная работа № 46-1 (2006)
Исследование затухающих электромагнитных колебаний
Составитель: ст. пр. Чернова А.Н.
Цель работы: получение осциллограммы затухающих колебаний, наблюдение за ее изменением при изменении активного сопротивления, расчет основных величин, характеризующих затухание.
I. Теоретическая часть.
Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются периодически.
Простейший колебательный контур состоит из конденсатора C и индуктивности L .
L |
+ (-) |
C |
|
-(+)
Вконтуре происходят периодические процессы перетекания заряда с одной обкладки на другую через катушку. Изменяющийся ток в катушке приводит к возникновению в ней ЭДС самоиндукции, препятствующей или поддерживающей изменение тока. Кроме перетекания заряда происходят процессы перекачки энергии. Вначале энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора
WC = CU2max 2 , когда заряд конденсатора уменьшается до 0, ток в катушке
максимальный и энергия сосредоточена в магнитном поле катушки WL = LImax2 2 ,
затем энергия катушки снова переходит в энергию конденсатора. Эти процессы происходят в идеальном контуре бесконечно долго и называются незатухающими электромагнитными колебаниями.
Согласно закону сохранения энергии WC +WL = const , поэтому,
q2 + LI 2 = const , 2C 2
Так как I = dq , то q2 + L (dq)2 = const dt 2C 2 dt
Дифференцируя обе части, получаем:
|
2q dq |
+ |
2L dq d 2q |
= 0 , |
÷ dq |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dt dt2 |
|
|
|||||
|
2C dt |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||
|
d 2q |
+ |
|
1 |
|
q = 0 , |
|
÷C , |
UC = |
q |
, получаем |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
dt2 |
LC |
|
|
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
UC ″ + |
|
1 |
|
UC = 0 |
|
|
|
||||||
LC |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это дифференциальное уравнение незатухающих электромагнитных колебаний. Решение этого уравнения:
UC =U0 cos(ω0t +ϕ0 ) q = q0 cos(ω0t +ϕ0 )
где ω0 = |
1 |
- собственная частота колебаний |
|
LC |
|
I = dqdt = −q0ω0 sin(ω0t +ϕ0 )
q 
I
I
t
q
В реальном контуре всегда имеется активное сопротивление R и первоначальная энергия контура расходуется на выделение тепла на активном
сопротивлении и в конце концов колебания прекращаются.
R
C
L
Согласно закону сохранения энергии:
WC +WL +WR = const ,
|
CUC |
2 |
+ |
LI |
2 |
|
+ |
∫ I |
2 |
Rdt |
|
= const , |
|
|
|
I = |
dq |
, |
|
|||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
CUC |
+ |
LC2 |
|
( |
dUC |
) |
2 |
+ ∫C |
2 |
R( |
dUC |
) |
2 |
dt = const , |
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Дифференцируя обе части уравнения: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2CUC |
( |
dUC |
) + LC2 |
2 |
dUC |
|
d 2UC |
+C 2 R( |
dUC |
)2 |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dt |
|
|
dt2 |
|
|
|
|
dt |
|||||
q = CUC ,
= 0 , |
|
dUC |
|
÷ |
|||
dt |
|||
|
|
CU |
C |
+C |
2 L d 2UC |
+C2 R dUC |
= 0 , |
|
|
÷C 2 L |
|
||||
|
|
|
|
dt2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
d 2UC + R dUC + 1 |
UC = 0 , |
|
|
|
|
|
|||||||
dt2 |
|
L |
dt |
LC |
|
2 = 1 |
|
R . |
|
|
|
||
Введем обозначения |
ω0 |
и α = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
2L |
|
|
|
Уравнение затухающих колебаний имеет вид: |
|
|
|
||||||||||
UC ″ +2αUC′ +ω02UC = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение |
|||||||||||||
зависит от соотношения коэффициентов ω0 |
и α : |
|
|
|
|||||||||
вид: |
1. |
Если ω0 |
2 >α2 , то есть затухание мало, тогда решение уравнения имеет |
||||||||||
|
=U0e−αt cos(ωt +ϕ0 ) |
|
|
|
|
|
|||||||
UC |
|
|
|
|
|
||||||||
ω = |
|
ω |
2 −α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множитель U0e−αt |
можно |
рассматривать |
как |
амплитуду |
колебаний, |
||||||||
убывающую экспоненциально со временем. |
|
|
|
|
|||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
U0 e-αt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un |
Un+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2. |
Если ω0 |
2 <α2 , то есть затухание велико, вместо колебаний происходит |
||||||||||
апериодический разряд. Сопротивление контура, при котором колебательный |
|||||||||||||
процесс переходит в апериодический, называется критическим. Условие ω0 <α |
|||||||||||||
1 |
|
= |
Rкр2 |
, |
Rкр = 2 |
L |
|
|
|
|
|
||
LC |
4L2 |
C |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Для характеристики вводят следующие величины: |
|
|
|||||||||||
е раз.
U0
U
1. ω = ω0 |
2 −α2 - частота колебаний |
2.T = 2π = 2π - период колебаний
ω
ω02 −α2
3.τ = α1 - время релаксации, время, за которое амплитуда уменьшается в
= e , |
U0 |
= e , |
τ = |
|
1 |
|
U0e−ατ |
α |
|||||
|
|
|
||||
4. α = 2RL - коэффициент затухания. Он характеризует быстроту убывания
амплитуды и обратен промежутку времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
5. |
γ = ln |
|
Un |
|
|
- логарифмический декремент затухания. Он равен |
||||||||
Un+1 |
|
|||||||||||||
логарифму отношению амплитуд колебаний через T . |
||||||||||||||
γ = ln |
Un |
|
= ln |
|
U0e−αt |
= ln eαT =αT |
||||||||
|
|
U0e−α(t+T ) |
||||||||||||
|
Un+1 |
|
|
C |
|
|||||||||
γ =αT = |
R |
α мало |
R |
2π |
LC =π |
R |
||||||||
2L |
T |
≈ |
2L |
L |
||||||||||
γ = T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
1 |
, следовательно, логарифмический декремент затухания обратен |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
τ |
|
Ne |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
по величине числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
6. Q = πγ =πNe - добротность колебательной системы – пропорциональна
числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
Добротность равна отношению энергии, запасенной в контуре, к энергии, потерянной в контуре за период колебаний.
Q = |
|
π |
= |
π2L2 |
= |
1 L |
|
|
αT |
|
R2π |
LC |
|
R C |
|
7. |
Rкр |
= 2 |
L |
- |
критическое сопротивление, при котором вместо |
||
|
|
|
|
|
C |
|
|
колебаний происходит апериодический разряд конденсатора.
II. Описание установки.
Схема для получения затухающих колебаний:
|
Осциллограф |
|
y |
1 кГц |
x |
Стенд
C2
SA
C1
L
R
Стенд с колебательным контуром подключается к осциллографу. Переменное напряжение подается в контур с частотой ν =1кГц. Сопротивление контура изменяется магазином сопротивлений R .
III. Порядок выполнения работы.
1.Подготовить осциллограф к работе:
−переключатель усилителя " делv " - в положение 0,2;
−переключатель " ~ ~ " - в положение "~";
−переключатель " времядел" - в положение 0,1 мс;
−переключатель развертки - в положение ×1;
−переключатель синхронизации - в положение "внутр";
−переключатель калибратора - в положение "1 кГц"
−переключатель напряжения калибратора - в положение "2v";
−
−переключатель ~ - в положение "~";
~
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
− |
переключатель готов |
|
- в верхнее положение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Подключить схему к пластинам x и y осциллографа. Включить схему и |
||||||||
осциллограф. Ручками "плавно" переключателя усилителя " |
v |
" и " время |
дел |
" |
||||
дел |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
получить на экране устойчивую картину затухающих колебаний при C1 =3000
пФ и R =0.
3. Определить амплитуды точек, отстоящих друг от друга на период (в делениях).
4. Повторить пункт 3 для сопротивлений 500 – 5000 Ом с интервалом 500
Ом.
5.Увеличивая сопротивление магазина, определить значение сопротивления Rкр , при котором колебания исчезают.
6.Включить емкость C2 =1500 пФ. Повторить пункты 3-5.
7.Результаты измерений занести в таблицу.
R |
|
C1 =3000 пФ |
|
|
|
|
C2 =1500 пФ |
|
|
|
||
(Ом) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Un |
Un+1 |
γ |
= ln |
Un |
Un |
Un+1 |
γ |
= ln |
Un |
|||
|
(дел) |
(дел) |
Un+1 |
|
(дел) |
(дел) |
Un+1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV. Обработка результатов.
1.Построить для каждого значения емкости C1 и C2 на отдельных графиках, но в одном масштабе (по оси R 1 см – 500 Ом, по оси γ 1 см – 0,1) графики зависимости γ = f (R) .
2.Из графиков γ = f (R) определить индуктивность катушки.
γ
|
∆γ |
|
|
|
∆R |
|
|
|
|
|
∆γ |
|
|
R |
tgα = ∆R =π |
|
|
|
|
3. |
Для каждого значения емкости C1 и C2 |
||
сопротивление Rкр = 2π |
L |
. Сравнить с полученным |
|
|
|
С |
|
4. |
По результатам работы сделать выводы. |
||
C |
, |
L =π |
2 C∆R2 |
|
L |
∆γ 2 |
|||
|
|
|||
рассчитать |
критическое |
|||
Rкроп.
Контрольные вопросы
1.Незатухающие электромагнитные колебания (вывод уравнения незатухающих колебаний, решение уравнения, основные характеристики).
2.Затухающие электромагнитные колебания (вывод уравнения затухающих колебаний, решение уравнения). Основные характеристики (период, частота, время релаксации, коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, критическое сопротивление, добротность).
3.Вывести теоретическую зависимость γ = f (R) и объяснить различие
опытных и теоретических зависимостей.
Задача №1
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С =7мкФ и катушки с
индуктивностью L = 0,23Гн и сопротивлением R = 40Ом. Обкладки конденсатора имеют заряд q =0,56Кл.. Найти период Т колебаний контура и логарифмический декремент затухания χ колебаний. Написать уравнение изменения со временем t разности потенциалов U на обкладках кoндeнcaтopa. Найти разность потенциалов в моменты времени, равные: Т/2, Т, 3Т/2 и 2Т. Построить график U =f (t) в пределах двух периодов.
Задача №2
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С =0,2мкФ и катушки с индуктивностью L =5,07мГн. При каком логарифмическом декременте затухания χ разность потенциалов на обкладках конденсатора за время t =1мc уменьшится в три раза? Каково при этом сопротивление R контура?
Задача №3
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 405нФ, катушки с индуктивностью L =10мГн и сопротивления R = 2Ом. Во сколько раз уменьшится разность потенциалов U на обкладках конденсатора за один период T колебаний ?
Задача №4 |
|
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью |
L =0,1Гн и |
конденсатора электроемкостью С =39,5мкФ. Заряд конденсатора |
Qm =3мкКл. |
Пренебрегая сопротивлением контура, запишите уравнения: 1) изменения силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
Задача №5 |
|
|
|
|
|
Сила тока |
в колебательном контуре, содержащем катушку |
индуктивностью |
|||
L =0,1Гн и |
конденсатор, со |
временем |
изменяется |
согласно уравнению |
|
I = −0,1sin 200πt, A. Определите: |
1) период |
колебаний; |
2) |
электроемкость |
|
конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля.
Задача №6
Дифференциальное уравнение для заряда в электрическом колебательном контуре
задается в виде |
L d 2Q |
+ R dQ |
+ Q |
=0. Определите: 1) собственную частоту контура w0; |
|
dt 2 |
dt |
C |
|
2) циклическую частоту w; 3) коэффициент затухания δ .
Задача №7
За время, в течение которого система совершает N =50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите добротность Q системы.
Задача №8
Определите добротность Q колебательного контура, состоящего из катушки
индуктивностью L = 2мГн, конденсатора электроемкостью С =0,2мкФ и резистора сопротивлением R =1Ом. R = 1 Ом.
Задача №9
Частота затухающих колебаний v в колебательном контуре с добротностью Q = 2500 равна 550кГц. Определите время, за которое амплитуда силы тока в этом контуре уменьшится в 4 раза.
Задача №10
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 25мГн, конденсатор электроемкостью С =10мкФ и резистор сопротивлением R =1Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Qm =1мкКл. Определите: 1) период колебаний
контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от времени.
Задача №11
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L =6мкГн, конденсатор электроемкостью С =10нФ и резистор сопротивлением R =10Ом. Определите для случая максимума силы тока отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля.
Задача №12
Определите резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний ν0 =300Гц, а логарифмический декремент χ =0,2.
Задача №13 |
колебaний некоторой системы составляет 500Гц. |
Собственная частота vo |
Определите частоту v затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота ν рез = 499Гц.
Задача №14
Период затухающих колебаний системы составляет 0,2с, а отношение амплитуд первого и шестого колебаний равно 13. Определите резонансную частоту данной колебательной системы.
Задача №15
При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период затухающих колебаний Т =0,5с. Определите: 1) коэффициент затухания δ ; 2) частоту vo незатухающих колебаний.