ЛАБ.РАБ / lab_46

Лабораторная работа №46 (2006)

Исследование вынужденных электромагнитных колебаний

Составитель: ст. пр. Чернова А.Н.

Цель работы: Изучение теории электромагнитных колебаний, построение резонансных кривых, определение параметров колебательного контура.

I. Теоретическая часть.

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются периодически (по синусоидальному или косинусоидальному закону).

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора C и индуктивности L .

+(-) C

-(+)

Вконтуре происходят периодические процессы перетекания заряда с одной обкладки на другую через катушку. Изменяющийся ток в катушке приводит к возникновению в ней ЭДС самоиндукции, препятствующей или поддерживающей изменение тока. Кроме перетекания заряда происходят процессы перекачки энергии. Вначале энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора

WC = CU2max 2 , когда заряд конденсатора уменьшается до 0, ток в катушке

максимальный и энергия сосредоточена в магнитном поле катушки WL = LImax2 2 ,

затем энергия катушки снова переходит в энергию конденсатора. Эти процессы происходят в идеальном контуре бесконечно долго и называются незатухающими электромагнитными колебаниями.

Уравнение, описывающее незатухающие электромагнитные колебания:

q′′+ LC1 q = 0

или U ′′+ LC1 U = 0 ,

1

U

t

В реальном контуре всегда имеется активное сопротивление R и первоначальная энергия контура расходуется на выделение тепла на активном

сопротивлении и в конце концов колебания прекращаются.

R

C

L

В дифференциальном уравнении затухающих колебаний появляется член, описывающий затухание:

q′′+2αq′+ LC1 q = 0

или U ′′+2αU ′+ LC1 U = 0 ,

где α = 2RL - коэффициент затухания.

Решение этого уравнения имеет вид: q = q0e−αt cos(ωt +ϕ0 )

или U =U0e−αt cos(ωt +ϕ0 ) ,

где ω = ω02 −β2 - частота колебаний.

2

Амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону

U0e−αt .

Чтобы электромагнитные колебания были незатухающими, в контур включается периодически изменяющаяся ε = ε0 sinωt , где ω - циклическая частота

переменной ε .

При этом к контуру подводится энергия, которая необходима для восстановления потерь энергии в контуре из-за наличия сопротивления.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

С течением времени роль первого слагаемого уменьшается и им можно пренебречь. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени будет иметь вид:

UC =U0C cos(ωt +ϕ0 ) ,

где ω - частота переменной ε

Таким образом, вынужденные колебания – это гармонические колебания с частотой, равной частоте переменной ε , и амплитудой, зависящей от частоты.

3

Резонанс в контуре с последовательно соединенными R , L , C называется резонансом напряжений.

В цепи переменного тока напряжения на элементах L и C сдвинуты по фазе

на π и векторная диаграмма имеет вид:

UL O

сопротивление,

т.е. xL = xC . Напряжение U L0 = I0 xL , UC0 = I0 xC , т.е. U L0 =UC0 .

Во время резонанса на емкости и индуктивности амплитуда колебаний в Q раз больше, чем ε0 , но так как они сдвинуты по фазе на π , то суммарное

напряжение U L0 +UC0 = 0 .

Энергия поступает от источника только на восстановление потерь энергии на сопротивлении R , U R = ε0 .

В электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных конденсатора C и катушки L наблюдается резонанс токов.

5

C

L

При малых активных сопротивлениях векторная диаграмма имеет вид:

Резкое уменьшение силы тока в цепи при ω →ω0 называется резонансом

токов.

В самом контуре при резонансе возникают сильные колебания, при этом ток внутри контура во много раз больше, чем во внешней цепи. Так как ток I0 мал, то

сопротивление контура велико.

Основное применение резонанса токов в радиоэлектронике – создание большого сопротивления для тока определенной частоты.

II. Методика измерений.

На стенде собрана схема:

6

6. Увеличивая частоту от резонансной по схеме 2070, 2080, 2090, 2100, 2110, 2120, 2150, 2200, 2250, 2300, 2350, 2400 Гц измерить напряжение на

UC .Результаты записать в таблицу.

7.Уменьшая частоту от резонансной по схеме 2050, 2040, 2030, 2020, 2010, 2000, 1980, 1960, 1940, 1920, 1900, 1850, 1800, 1700 Гц измерить напряжение на UC .Результаты записать в таблицу.

8.Включить сопротивление R2 =166 Ом. Повторить пункты 6-8.

9.Включить емкость C2 =8800 пФ, R1 =64 Ом. Изменяя частоту генератора от 2000 до 2500 Гц определить резонансную частоту ν p по максимальному

значению UC .

10. Увеличивая частоту от резонансной по схеме 2412, 2425, 2450, 2475, 2500, 2525, 2550, 2575, 2600, 2650, 2700 Гц измерить напряжение на

UC .Результаты записать в таблицу.

11.Уменьшая частоту от резонансной по схеме 2388, 2375, 2350, 2325, 2300, 2275, 2250, 2250, 2225, 2200, 2150, 2100, 2050, 2000 Гц измерить напряжение на UC .Результаты записать в таблицу.

12.Включить сопротивление R2 =166 Ом. Повторить пункты 10-12.

13.Включить емкость C1 =12100 пФ, R3 =1000 Ом. Определить резонансную частоту ν p и напряжение на UC .

14.Включить емкость C2 =8800 пФ, R3 =1000 Ом. Определить резонансную частоту ν p и напряжение на UC .

Таблица результатов

C1 =12100 пФ (тоже для C2 =8800 пФ)

15.Для емкостей C1 и C2 построить семейство резонансных кривых для сопротивлений R1 =64 Ом и R2 =166 Ом

начало отсчета соответствует 0.75)

16.По графикам резонансных кривых вычислить добротность контура для

R =64 Ом.

8

Контрольные вопросы

1.Электромагнитные колебания: свободные (незатухающие, затухающие), вынужденные. Описание, дифференциальные уравнения и их решения, графики зависимости UC (t) .

2.Явление резонанса. Резонансные кривые.

3.Добротность контура и ее зависимость от параметров контура.

4.Резонанс токов и напряжений.

5.Почему при резонансе напряжение на емкости и индуктивности может быть больше напряжения задающего генератора.

Задача №1

Определите логарифмический декремент, при котором энергия колебательного контура за N =5 полных колебаний уменьшается в n =8 .

Задача №2

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C = 2,22нФ и катушки длиной l = 20см из медной проволоки диаметром d =0,5мм. Найти логарифмический декремент затухания χ колебаний.

Задача №3

Колебательный контур имеет емкость C =1,1нФ и индуктивность L =5мГн. Логарифмический декремент затухания χ =0,005. За какое время вследствие затухания потеряется 99% энергии контура?

емкость С контура, максимальную энергию Wм магнитного, поля и максимальную энергию Wэл электрического поля.

Задача №7

9

конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля.

Задача №8

Найти отношение энергии Wм Wэл магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени Т/8.

Задача №9

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C = 25нФ и катушки с индуктивностью L =1,015Гн. Обкладки конденсатора имеют заряд q = 2,5мкКл. Написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения со временем t энергии электрического поля Wэл , энергии магнитного поля Wм и полной энергии поля W. Найти энергию электрического поля, энергию магнитного поля и полную энергию поля в моменты времени Т/8, Т/4 и Т/2. Построить графики этих зависимостей в пределах одного периода.

Задача №10

При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период затухающих колебаний Т =0,5с. Определите: 1) коэффициент затухания δ ; 2) частоту vo незатухающих колебаний.

Задача №11

Тело массой m =100г, совершая затухающие колебания, за время t =1минпотеряло 40% своей энергии. Определите коэффициент сопротивления r.

Задача №12

Дифференциальное уравнение для заряда в электрическом колебательном контуре

2) циклическую частоту w; 3) коэффициент затухания δ .

Задача №13

Гиря массой m =500г, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k =50 Нм, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r =0,5кгс. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F =0,1cos wt, H. Определите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания δ; 2) резонансную амплитуду Арез.

10