Сводная таблица переводов целых чисел

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

 в кружках записаны основания систем счисления;

 стрелки указывают направление перевода;

 номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице:

Представление дробных чисел в различных системах дробные числа в двоичной системе счисления

В любой системе счисления нужно уметь представлять не только целые числа, но и дробные. С математической точки зрения это ординарная задача, которая давно решена. Однако с точки зрения компьютерной техники это далеко не тривиальная проблема, во многом связанная с архитектурой компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и основной трудностью является представление периодических и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби следует округлять, задавать класс точности участвующих (и могущих появиться в результате вычислений!) чисел без потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы потеря точности не произошла при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно производить вычисления при операциях с плавающей точкой.

Запишем формулу представления дробного числа в позиционной системе счисления:

A_p = a_n-1·p^n-1+a_n-2·p^n-2 + ... + a₁·p¹+a₀·p⁰ +a_-1·p^-1+a_-2·p^-2 + ... + a_-m·p^-m,       [4.1]

В случае десятичной системы счисления получим:

24,73₂ = 2·10¹+4·10⁰+7·10^-1+3·10^-2

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную производится по следующей схеме:

101101,101₂ = 1·2⁵+0·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1+0·2^-2+1·2^-3=45,625

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

1. Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;

2. Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;

3. В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;

4. Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

.116 • 2 = 0.232

.232 • 2 = 0.464

.464 • 2 = 0.928

.928 • 2 = 1.856

.856 • 2 = 1.712

.712 • 2 = 1.424

.424 • 2 = 0.848

.848 • 2 = 1.696

.696 • 2 = 1.392

.784 • 2 = 0.784

и т.д.

Получим: 206₁₀=11001110,0001110110₂

Таблицу степеней первых восьми отрицательных степеней двойки можно посмотреть в Приложении.