Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов предполагается, что в каждом независи – мом контуре схемы течет свой контурный ток. Этот метод более экономичен при вычислениях, т.к. число неизвестных здесь равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по 2–му закону Кирхгофа. На рис.1.7 представлена схема, имеющая два независимых контура. В I контуре течет (условно) ток I₁₁, во II–м – ток I₂₂ (если бы был III контур – ток I₃₃ и т.д.)

Выбираем направление токов I11 и I22 по часовой стрелке. Для каждого контура составляются уравнения по 2–му закону Кирхгофа с учетом того, что по смежной ветви течет ток (I11–I22).

Рис. 1.7

Для I контура: (R₁+R₂)I₁₁+R₅(I₁₁–I₂₂) = E₁+E₅

Для II контура: –R₅(I₁₁–I₂₂)+(R₃+R₄)I₂₂ = –E₅–E₄

После преобразований получим систему уравнений:

R₁₁I₁₁+R₁₂I₁₂=E₁₁ где R₁₁=R₁+R₂+R₅–полное

(1.4б) сопротивление I контура

R₂₁I₁₁+R₂₂I₂₂=E₂₂ R₁₂(R₂₁)= –R₅ - сопротивление смежной ветви между I и II контурами

R₂₂=R₃+R₄+R₅ – полное сопротивление II контура;

E₁₁=E₁+E₅ – контурная ЭДС I–го контура;

E₂₂= –E₄ –E₅ – контурная ЭДС II–го контура.

Если в схеме 3 контура, то система уравнений выглядит следующим образом

R₁₁I₁₁+R₁₂I₂₂+R₁₃I₃₃=E₁₁

R₂₁I₁₁+R₂₂I₂₂+R₂₃I₃₃=E₂₂ (1.4в)

R₃₁I₁₁+R₃₂I₂₂+R₃₃I₃₃=E₃₃

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например, по часовой стрелке. Если в электрической цепи имеется n независимых контуров, то число уравнений тоже равно n.

Общее решение системы n уравнений относительно тока I_kk есть:

(1.5)

где – определитель системы (1.6)

Алгебраическое дополнение _km получено из определителя  путем вычеркивания k–ого столбца и m–й строки и умножения полученного определителя на (–1)^k+m

Метод наложения.

В основу метода наложения положен принцип наложения, характеризующийся в том, что ток в k–ой ветви равен алгебраической сумме токов,вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности.. При расчете цепей данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников. Затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

I_k = E₁g_k1 + E₂g_k2 + ... + E_kg_kk + E_ng_kn (1.7)

где – алгебраическое дополнение определителя системы без k–го столбца и m–й строки.

Коэффициенты g имеют размерность проводимости (1/Ом). Коэффициент g с одинаковым индексом (g_mm) называют входной проводимостью. ветви. Он численно равен току в ветви m, возникшему от действия ЭДС E_m=1 В (единичной ЭДС)

Коэффициент g с разными индексами называют взаимной проводимостью

( g_km – взаимная проводимость k– и m–ветвей). Взаимная проводимость g_km числен– но равна току в k–ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в m–ветви.

В более общем понятии входная проводимость. m–ветви – это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС этой ветви при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы, а взаимная проводимость. ветвей k и m – коэффициент пропорциональности между током k–ветви и ЭДС m–ветви при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы.