- •Основы научных исследований
- •Редактор е.Л.Михайлова
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Рекомендации по освоению программы учебной дисциплины «основы научных исследований»
- •1.1.Тема «Общие представления о науке»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.2. Тема «Общие представления о научных исследованиях»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.3. Тема «Состав прикладных научных исследований»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.4. Тема «Некоторые особенности количественных измерений»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.5. Тема «Планирование и анализ результатов эксперимента»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.6. Тема «Оформление результатов нир»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.7. Тема «Опытно-конструкторские работы»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •1.8. Тема «Охрана интеллектуальной собственности»
- •Вопросы и задания для проверки знаний по данной теме
- •2. Контрольные задания Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •3. Литература
- •4. Примерный перечень вопросов и тестовых заданий для самоконтроля
- •5. Табличные формы некоторых законов распределения
- •6. Примеры статистическиой оценки результатов наблюдений и экспериментов
- •6.1. Поиск грубых ошибок в выборках малого объема по критерию q
- •6.2. Сравнение двух дисперсий
- •6.3. Сравнение нескольких дисперсий выборок одинакового объема
- •6.4. Сравнение двух средних
- •6.5. Проверка нуль-гипотезы для рассчитанного выборочного коэффициента парной линейной корреляции
6.3. Сравнение нескольких дисперсий выборок одинакового объема
Задача сравнения нескольких дисперсий наиболее часто возникает при оценке равенства случайных ошибок в нескольких опытах, у нескольких исследователей или лабораторий.
Пусть имеется n независимых нормально распределенных выборок с объемами m1, m2, m3, ...., mj,...., mn и соответствующими им дисперсиями ,,, ....,, ....,.
Если объемы выборок одинаковы m1 = m2 = m3 = ....= mj = mn = m, то для сравнения дисперсий можно использовать критерий Кохрена G [5]. С этой целью сначала вычисляют расчетное значение Gp:
,
где - максимальная дисперсия.
Затем по распределению Кохрена в зависимости от значений Gp, числа сравниваемых дисперсий n и степени свободы f =m-1 рассчитывают соответствующую им доверительную вероятность (Р) вывода о равенстве дисперсий, либо для заданной вероятности и величины f, например из табл. 5.1, определяют значение критерия Кохрена (GТ). Если рассчитанное значение Gp превосходит определенное GТ (Gp > GТ), то с доверительной вероятностью можно считать дисперсии различными (неоднородными). В противном случае (Gp ≤ GТ) для заданной доверительной вероятности можно предположить, что дисперсии равны (однородны).
Пример. В задании 4 варианта 5 данных методических рекомендаций приведены результаты исследования влияния содержания пластификатора в резине на ее степень набухания. Влияет ли содержание пластификатора в резине на величину случайных ошибок измерения ее степени набухания?
Для ответа на этот вопрос рассчитаем выборочные дисперсии единичных значений степени набухания резины при различном содержании в ней пластификатора (для различных опытов с 1 по 5):
(% мас.)2; (% мас.)2;
(% мас.)2; (% мас.)2; (% мас.)2.
Поскольку в каждом опыте проводилось одинаковое число повторных измерений степени набухания резины (m = 3), то для сравнения дисперсий можно воспользоваться критерием Кохрена.
Максимальной по величине дисперсией является дисперсия четвертого опыта. Рассчитаем значение Gp:
Для вероятности Р = 0,95 и величины f =3-1 = 2 из табл. 5.1 определяем значение критерия Кохрена GТ = 0,6838. Так как Gp < GТ (0,5091 < 0,6838), то с вероятностью 0,95 можно считать, что все пять дисперсий равны друг другу (однородны). Исходя из этого вывода выборочная дисперсия единичных значений степени набухания резины всех опытов эксперимента () со степенью свободы fэксп. = n(m-1) = 10 будет равна среднему арифметическому значению всех дисперсий [5,6]:
(% мас.)2.
6.4. Сравнение двух средних
Для сравнения между собой средних арифметических значений (средних) двух нормально распределенных выборок с однородными дисперсиями можно использовать распределение Стьюдента. Сравнение средних – это довольно часто возникающая необходимость при арбитраже результатов измерений (например, при спорах о показателях продукции между производителем и потребителем), для подтверждения достоверности выводов об изменении свойств объекта.
Для статистической проверки равенства двух средних (например, ииз выборок ai и bi раздела 6.2) рассчитывают параметр t* по следующим формулам:
;.
Затем по распределению Стьюдента в зависимости от значений t* и степени свободы f* = n1 + n2 - 2 рассчитывают доверительную вероятность (Р) вывода о равенстве средних, либо для заданной вероятности, например из табл. 5.2, определяют значение критерия Стьюдента (tТ). При использовании табличной формы распределения Стьюдента в качестве f используют степень свободы f*.
Если рассчитанное значение t* превосходит определенное tТ (t* > tТ), то с доверительной вероятностью можно считать средние различными. В противном случае (t* ≤ tТ) для заданной доверительной вероятности можно предположить, что средние равны.
Пример [6]. Два аналитика (А и В), проводя анализ сплава на содержание бериллия одинаковым методом, получили следующие результаты.
Аналитики |
Статистические параметры измерений | ||
Число параллельных анализов, n |
Средний результат, , % |
Выборочное абсолютное стандартное отклонение единичных значений, Sх, % | |
А |
4 |
7,44 |
0,11 |
В |
5 |
7,32 |
0,13 |
Есть ли расхождение средних результатов у двух аналитиков для доверительной вероятности Р=0,95 ?
Для ответа на этот вопрос выполним следующие процедуры. Из-за небольшого объема выборок na и nb не будем определять закон их распределения, а сделаем допущение, что они подчиняются нормальному закону распределения.
Для проверки однородности дисперсий в этих выборках определим следующие параметры:
; FТ(Р=0,95; f1=4;f2 =3) = 9,1.
Так как FР < FТ (1,4 < 9,1), то следует считать сравниваемые дисперсии однородными и поэтому можно рассчитать значение выборочного средневзвешенного абсолютного стандартного отклонения Sab:
Вычислим параметр t*:
Из данных табл. 5.2 выбираем табличное значение квантиля распределения Стьюдента (tТ) для fab = na +nb -2 = 7 и заданной вероятности Р = 0,95 (β=0,05). Этот квантиль имеет значение tТ = 2,37. Так как t* < tТ (1,5 < 2,37), то средние результаты анализа сплава, полученные двумя аналитиками,следует считать одинаковыми.