3.4. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов /12/.

Рассмотренные математические основы дуального вейвлет-преобразования показывают, что основную роль в реализации вейвлетных преобразований играют низкочастотные и высокочастотные фильтры декомпозиции и реконструкции сигналов.

Идеальные фильтры. Преобразование Фурье произвольной числовой последовательности

{s_k} является 2 - периодической функцией и определяется числовыми значениями на главном частотном диапазоне [-, . При этом полагается, что шаг дискретизации данных t=1, а частота Найквиста сигнала s_k равна _ t = .

Рис. 3.4.1.

Передаточная функция H() низкочастотного фильтра h_n, удовлетворяющего условию (3.2.7), концентрируется в интервале [-/2, /2]. При разделении сигнала на два частотных поддиапазона с полным сохранением исходной информации должно выполняться условие (рис. 3.4.2):

H() + G() = 1. (3.4.1)

Отсюда следует, что передаточная функция G() высокочастотного фильтра g_n, сосредоточена на [-, -/2] и [, ]. Соответственно, идеальные фильтры H() и G() в пределах главного частотного диапазона задаются выражениями:

H()=, G()=. (3.4.2)

Коэффициенты фильтров (обратное преобразование Фурье, рис. 3.4.2):

h₀ = 0.5; h₂_k = 0, k0; h₂_k₊₁ = (-1)^k/((2k+1)); k=0, ±1, ±2, ±3,… (3.4.3)

g₀ = 0.5; g₂_k = 0, k0; g₂_k₊₁ = (-1)^k⁺¹/((2k+1)); k=0, ±1, ±2, ±3,… (3.4.4)

Связь значений коэффициентов:

g_n = (-1)ⁿ h_n. (3.4.5)

Разложение сигнала s(k) на низкочастотную и высокочастотную части в спектральной и временной области:

S() = H()S() + G()S() = S_h() + S_g(). (3.4.6)

s(k) = h(n) ③ s(k-n) + h_g(n) ③ s(k-n) = s_h(k) + s_g(k). (3.4.7)

Так как носитель функции S_h() находится на интервале [-/2, /2], то S_h( можно разложить в ряд Фурье, как  - периодическую функцию с частотой Найквиста /2:

S_h₂_()  2s_h(2k) exp(-j 2k), [-/2, /2], (3.4.8)

т.е. функция s_h(k) избыточна по количеству отсчетов и может быть децимирована. Соответственно, не требуется вычислять свертку по всем нечетным значениям s(k). Двукратная децимация обычно обозначается индексом 2:

s_h2_(m) = s_h(2k) = h(n) ③ s(2k-n) = С(m),

где m – последовательная нумерация четных отсчетов s_h(2k) (m = int(k/2)).

Учитывая периодичность частотных функций, спектр S_g() можно рассматривать на интервале [0, 2], где ненулевые отсчеты S_g() находятся на интервале [/2, 3/2]. При аналогичном разложении S_g() в этом интервале, как  - периодической функции:

S_g₂_()  2s_g(2k) exp(-j 2k), [/2, 3/2], (3.4.9)

s_g2_(m) = s_g(2k) = g(n) ③ s(2k-n) = D(m).

Для обратного преобразования спектров S_h2_() и S_g₂_() в спектры S_h() и S_g() главный диапазон спектров нужно увеличить в 2 раза дополнением нулями. Во временной области эта операция может быть выполнена передискретизацией значений s_h(2k) и s_g(2k) с шага 2k на шаг k рядом Котельникова-Шеннона. Альтернативная более быстрая операция - обратная децимация массивов C(m)  C₂_(k) и D(m)  D₂_(k), которая выполняется дополнением массивов нулями между всеми отсчетами (обозначается индексом 2), с последующей фильтрацией фильтрами 2h(n) и 2g(n):

s_h(k) = 2h(n) ③ C₂_(k-n), s_g(k) = 2h(n) ③ D₂_(k-n), (3.4.10)

что обеспечивает восстановление исходного сигнала:

s(k) = s_h(k) + s_g(k). (3.4.11)

Реальные фильтры. Операторы идеальных фильтров, заданные в частотной области прямоугольными импульсами (3.4.2), имеют бесконечные импульсные характеристики (3.4.3, 3.4.4) и убывают достаточно медленно. При усечении таких операторов на частотной характеристике проявляется явление Гиббса, что увеличивает погрешности декомпозиции и реконструкции сигналов. С практической точки зрения целесообразно использовать фильтры с плавным переходом от полосы пропускания в полосу подавления, которые имеют конечное число ненулевых коэффициентов. При задании таких низкочастотных H() и высокочастотных G() фильтров, удовлетворяющих условию (3.4.1), разложение сигнала с децимацией остается без изменений. Добавляя к операторам фильтров декомпозиции индекс d, получаем:

s(k)  s_h(k) = h_d(n) ③ s(k-n)  2  C(m) = s_h(2k),

s(k)  s_g(k) = g_d(n) ③ s(k-n)  2  D(m) = s_g(2k). (3.4.12)

Однако точное восстановление сигналов по формулам (3.4.10, 3.4.11) возможно только для взаимно ортогональных фильтров. Для ограниченных перекрывающихся по спектру фильтров для постановления сигналов необходимы парные к ним фильтры реконструкции, компенсирующие возможные искажения восстановления. Для упрощения выражений для числовых рядов перейдем в z-область представления сигналов.

H_d(z) = h_d(n) zⁿ, G_d(z) = g_d(n) zⁿ, S(z) = s_d(n) zⁿ,