16

Вейвлетные преобразования сигналов

Тема 25. Вейвлетный кратномасштабный анализ

Кто-то ради насмешки спросил философа: "Если я сожгу тысячу мин дерева, сколько получится мин дыма?". "Взвесь, - сказал Демонакт, - золу, все остальное - дым".

Лукиан из Самосаты. Греческий писатель, II в.д.н.э.

Математики – мутация философов, утратившая способность отвечать на вопросы просто и понятно. Особый шик – ответить так, чтобы у тебя отвисла челюсть. И скрыться в теоретическом тумане от практического вопроса: почему же все-таки дыма получается больше дров?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.

Содержание

Введение.

1. Принцип кратномасштабного анализа. Дискретные ортогональные преобразования. Вейвлет Хаара. Свойства преобразования.

2. Математические основы кратномасштабного анализа. Исходные условия. Масштабирующая функция. Базисный вейвлет. Разложение функций на вейвлетные ряды. Вычисление вейвлетных рядов.

3. Быстрое вейвлет-преобразование. Принцип преобразования. Алгоритм Малла. Реконструкция сигналов. Пакетные вейвлеты.

4. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов. Идеальные фильтры. Реальные фильтры.

5. Ортогональные и биортогональные вейвлеты. Коэффициенты вейвлета. Пример расчета. Вейвлет Добеши. Биортогональные вейвлеты.

Введение

В практике передачи информации часто требуется представить сигнал в виде совокупности его последовательных приближений. Например, при просмотре и передаче изображений с выборкой из некоторой базы данных можно сначала передать грубую его версию, а затем (при необходимости) последовательно ее уточнять. При сжатии изображений часто без потери качества можно убирать из изображения незначимые мелкомасштабные детали.

Произвольный информационный сигнал обычно рассматривается в виде суммы разнотипных составляющих: региональной функции тренда, циклических компонент с определенным периодом повторения, локальных особенностей (аномалий) разного порядка и флюктуаций (шумов) вокруг всех вышеперечисленных составляющих сигнала. Инструментом разделения (декомпозиции) сигналов на такие составляющие, анализа их порядка и реконструкции сигналов из определенных составляющих (или с исключением определенных составляющих, например шумов или малозначимых деталей) является кратномасштабный (многомасштабный) анализ (КМА).

КМА позволяет получить хорошее разрешение по времени (плохое по частоте) на высоких частотах и хорошее разрешение по частоте (плохое по времени) на низких частотах. Этот подход становится эффективным, если сигнал имеет короткие высокочастотные компоненты и протяженные низкочастотные компоненты. Именно такие сигналы и встречаются чаще всего.

Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов, причем, чем больший масштаб имеет вейвлет, тем более широкая область сигнала будет оказывать влияние на результат свертки.

Понятие кратномасштабного анализа (Multiresolution analyses) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.