3.3. Быстрое вейвлет-преобразование /2, 5, 13/.

Принцип преобразования. Любую функцию s(t) можно рассматривать на любом m' - уровне разрешения. Для разделения функции на этом уровне между ее усредненными значениями и флюктуациями вокруг средних значений преобразуем формулу 3.3.1 к следующему виду:

s(t) =C_m',k _m',k(t) +D_m,k _m,k(t). (3.3.1)

При бесконечных пределах первая сумма в этом выражении стремится к нулю и может быть опущена, давая "чистое" вейвлет-преобразование. В общем случае коэффициенты C_m,k и D_m,k можно вычислять непосредственно по формулам (3.2.19) и (3.2.20). На практике мы обычно имеем дело с цифровыми данными в виде конечного набора отсчетов, а, соответственно, наилучший уровень разрешения определен интервалом, содержащим один отсчет, и суммирование выполняется в конечных пределах. Значение m=0 обычно принимается для этого наилучшего уровня разрешения. Для принятой нами формы вейвлетов _m,k = 2^m/2 (2^mt-k) усреднение отсчетов (расширение размеров вейвлетов) происходит при уменьшении значений m, т.е. при m = 0, -1, -2, .... Для исключения использования отрицательных индексов масштабирования знак "минус" обычно вводится непосредственно в функции вейвлетов, т.е. _m,k = 2^-m/2 (2^-mt-k), при этом вейвлет-коэффициенты вычисляются для m>0.

Алгоритм Малла. Кратномасштабный анализ при последовательном увеличении значений m приводит к естественной форме быстрых итерационных вычислений:

C_m+1,k = h_n C_m,2k+n, (3.3.2)

D_m+1,k = g_n C_m,2k+n, (3.3.3)

C_0,k = s(t)(t-k) dt. (3.3.4)

Рис. 3.3.1.

Уравнения обеспечивают пирамидальный алгоритм вычисления вейвлет-коэффициентов (алгоритм Малла), приведенный на рис. 3.3.1. Явный вид вейвлета требуется только для расчета коэффициентов h_n и g_n, при самом преобразовании используются значения коэффициентов h_n и g_n. Уравнение (3.3.4) применяется при известной аналитической форме функции s(t). Для цифровых данных в качестве значений C_0,k принимаются исходные значения данных, т.е. C_0,k = s(k).

Сущность операций, выполняемых формулами (3.3.2) и (3.3.3), заключается в следующем. На первом этапе преобразования цифровой фильтр h_n из сигнала s_k = C_0,k выделяет низкие частоты || ≤ /2, а октавный фильтр g_n выделяет верхние частоты /2 ≤ || ≤ . Поскольку на выходе фильтра h_n отсутствует верхняя половина частот, то частота дискретизации выходного сигнала может быть уменьшена в 2 раза, т.е. выполнена децимация выходного сигнала, что производится в формуле (3.3.2) сдвигами (2k+n) через 2 отсчета по входному сигналу. На выходе фильтра g_n освобождается место в области низких частот, и аналогичное прореживание выходного сигнала приводит к транспонированию верхних частот на освободившееся место. Таким образом, каждый из выходных сигналов несет информацию о своей половине частот, при этом выходная информация представлена таким же количеством отсчетов, что и входная.

Реконструкция сигналов. Поскольку в формулах (3.3.2, 3.3.3) вместо базисных функций используются фильтры, то обратные преобразования, т.е. последовательную сборку сигнала от больших m к малым и реконструкцию сигналов по значениям его вейвлет-коэффициентов с любого уровня разрешения, имеет смысл также выразить через фильтры реконструкции:

С_m-1 =C_m,n h^r_k-2n +D_m,n g^r_k-2n, (3.3.5)

Алгоритм вычислений по (3.3.5) обратен алгоритму декомпозиции, т.е. представляет собой аппроксимацию коэффициентов C_m и D_m на новый, в 2 раза меньший, шаг дискретизации с двукратным увеличением частоты Найквиста и восстановлением спектра коэффициентов C_m в низкочастотную часть нового главного диапазона спектра C_m-1, а спектра коэффициентов D_m в высокочастотную часть спектра C_m-1. Это выполняется расстановкой нулевых значений между коэффициентами C_m и D_m (увеличение в 2 раза числа отсчетов), фильтрацией полученных массивов низкочастотным h^r(k) и высокочастотным g^r(k) фильтрами реконструкции, и сложением результатов фильтрации. Модули частотных характеристик фильтров h^r(k) и g^r(k) должны повторять модули частотных характеристик фильтров h(k) и g(k). Но фильтры декомпозиции h(k) и g(k) являются односторонними и фазосдвигающими, и при реконструкции коэффициентов C_m-1 этот сдвиг фазы должен ликвидироваться. Последнее достигается реверсом значений коэффициентов фильтров декомпозиции, т.е.:

h^r(k) = reverse(h(k)), g^r(k) = reverse(g(k)). (3.3.6)

Точность реконструкции сигналов зависит от потерь информации при выполнении прореживания спектров, причем эти потери наблюдаются на срезах полос пропускания фильтров низких и высоких частот, крутизна которых зависит от порядка фильтров, их согласованности, и типа вейвлетных функций.

Обязательным условием преобразования сигнала является его задание количеством точек (отсчетов), равном N=2^m, где значение m≥1 определяет максимально возможное число уровней декомпозиции сигнала при целочисленных значениях кратности сдвигов операторов фильтров количеству отсчетов вейвлетных коэффициентов на каждом уровне декомпозиции. Для выполнения этого условия количество отсчетов сигнала, как правило, дополняется до ближайшего большего значения N методами, известными из практики задания начальных/конечных условий свертки (нулями, концевыми значениями сигналов, четными или нечетными значениями относительно концевых отсчетов, периодическим продолжением и т.п.). Может применяться также передискретизация исходного сигнала до необходимого количества отсчетов.

Пакетные вейвлеты. Основная информация обычно заключена в низкочастотной части сигнала, разложение которой может быть продолжено вплоть до нулевого уровня. Но аналогичная операция может применяться и к любой высокочастотной части разложения. Это соответствует замене вейвлета (t) на два новых вейвлета

₁(t) = h_n(t-n), ₂(t) = g_n(t-n),

которые тоже локализованы в пространстве, но на вдвое более широком интервале, чем исходный вейвлет. Бинарное дерево разложения (рис. 3.3.1) "расщепляется" и для коэффициентов 'D' любого уровня. Такое расщепление является адаптивным и легко приспосабливается к индивидуальным особенностям сигналов. Функции адаптивного преобразования называют вейвлет-пакетом.