3.2. Математичские Основы кратномасштабного анализа /2, 3, 5, 14/.

Разложение сигнала на сумму аппроксимирующих и детализирующих составляющих производится с использованием ортогональных и биортогональных вейвлетов. На таких вейвлетах выполняется быстрое вейвлет-преобразование. При выполнении КМА пространство сигналов L²(R) представляется в виде системы вложенных подпространств V_m, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной.

Исходные условия ортогонального кратномасштабного анализа.

В качестве пространства сигналов будем рассматривать L²(R) – пространство функций s(t) с конечной энергией. В этом пространстве определено скалярное произведение и норма функций:

s(t), g(t) = s(t) g*(t), ||s(t)|| = _.

Базисом в пространстве V  L²(R) называется такая система функций {v_n(t)}, что любая функция v(t)  V единственным образом записывается в виде v(t) = c_nv_n(t). Базис называется ортонормированным, если v_i(t), v_j(t) = _ij. В этом случае c_n = v(t), v_n(t).

Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L²(R) через иерархические вложенные подпространства V_m  L²(R), m = 0, ±1, ±2, …, которые не пересекаются и объединение которых в пределе дает L²(R). Система подпространств должна удовлетворять следующим условиям.

1. Условие вложенности: V_m  V_m+1.

Все пространство сигналов L²(R) в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней m декомпозиции сигнала:

… V_-1  V₀  V₁  V₂ … V_m  V_m+1 ….

"Размеры" подпространств непрерывно расширяются по мере роста значения m, а объединение всех подпространств в пределе дает пространство L²(R).

2. Условие полноты и плотности разбиения:

V_m = L²(R). (3.2.1)

3. Условие ортогональности подпространств:

V_m = {0}. (3.2.2)

4. Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

v(t)  V_m  v(t+1)  V_m.

5. Для любой функции v(t)V_m ее масштабное преобразование по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

v(t) Î V_m  v(2t) Î V_m+1, v(t) Î V_m  v(t/2) Î V_m-1 (3.2.3)

6. Для пространства V₀ существует phi-функция (t) Î V₀, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства V₀:

_0,k = (t-k), k Î I (k=0, ±1, ±2, ...). (3.2.4)

Функция (t) называется скейлинг-функцией (scaling function). Условие нормирования скейлинг-функции:

(t) dt = 1.

Из этих условий следует, что если подпространство V₀ имеет ортонормированный базис _0,k, то и все остальные подпространства также имеют ортонормированные базисы, которые образуются масштабным преобразованием базиса _0,k:

_m,k(t) = а^m/2 (а^mt-k), m, k Î I. (3.2.5)

Стандартное значение параметра 'а' в кратномасштабном анализе равно 2. Так, например, если _0,k(t)=1 на интервале [0,1) и _0,k(t)=0 вне этого интервала, то целочисленные сдвиги этой функции попарно ортогональны, и пространство V₀ состоит из функций, имеющих постоянные значения на интервалах вида [k, k+1), V₁ – из функций, постоянных на интервалах [k/2, (k+1)/2), – из функций, постоянных на интервалах [2k, 2k+1), и т.д.

Все условия в совокупности позволяют разложить произвольный сигнал s(t) Î L²(R) по подпространствам V_m, т.е. на множество последовательных разномасштабных и ортогональных друг другу функций v_m(t) Î V_m, объединение которых дает исходный сигнал s(t), или аппроксимирует сигнал с определенной точностью в зависимости от ограничения количества значений масштабирующего коэффициента m (и, соответственно, количества подпространств V_m). Функции v_m(t) являются ортогональными проекциями сигнала s(t) на подпространства V_m. Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m мало, то функция v_m(t) есть грубая аппроксимация s(t), в которой отсутствуют детали. При увеличении значений m точность аппроксимации повышается.

Кратность КМА, равную 2, в принципе, можно заменить любым целым числом, большим 1, но использование двоичной кратности оптимально и позволяет использовать быстрое вейвлет-преобразование.

Масштабирующая функция. Для того чтобы задать КМА, достаточно знать только одно из подпространств V_m, остальные определятся уравнением (3.2.5). Допустим, что это подпространство V₀, состоящее из сигналов, заданных "с разрешением 1". Тогда в пространстве V_m задаются сигналы с разрешением 2^m, и оно отличается от V₀ только перемасштабированием базисной функции в соответствии с (3.2.5). Так, если пространство V₀ имеет скейлинг-функцию ₀(t), то соответствующее уравнение для скейлинг-функции ₁(t) пространства V₁ определяется выражением (2t-k).

Поскольку V₀ Ì V₁, то функцию ₀(t) можно представить линейной комбинацией сдвигов функции ₁(t) (c учетом ее более компактного носителя) с определенными весовыми коэффициентами перемасштабирования h_k. Так, для скейлинг-функции Хаара, имеющей прямоугольное окно, каждая функция _m-1(t) образуется суммой двух последовательных функций _m(t) с соответствующим коэффициентом для сохранения единичной нормы. В общем случае, носитель функции может иметь произвольный размер с числом отсчетов 2М (в единицах k), при этом уравнение линейной связи базисных функций пространств, которое обычно называют функциональным уравнением масштабирования (уравнение рескейлинга), записывается в следующем виде:

(t/2) = h_k(t-k), (3.2.6)

или, в эквивалентной форме:

(t) = h_k(2t-k). (3.2.6')

Это уравнение называется масштабирующим. Решение этого уравнения и дает скейлинг-функцию, которую иногда называют "отцовским" вейвлетом.

Значения h_k определяются из условия для ортонормальных базисов:

h_k =(t) *(2t-k) dt. (3.2.7)

При дискретных значениях параметров сдвига масштабирующий вейвлет также дискретен и при задании функции (t) на конечном интервале имеет конечное число коэффициентов h_k, отличных от нуля. Условие нормировки масштабирующих коэффициентов:

(t) dt = 1, (3.2.8)

откуда следует:

(h_k)² = 1. (3.2.9)

Простейший и самый короткий вейвлет соответствует M=1. Так, для скейлинг-функции Наара при определении коэффициентов h_k уравнение рескейлинга (3.2.6) отображает растяжение вдвое исходного интервала более высокого уровня, число ненулевых коэффициентов h_k равно 2М = 2, при этом, с учетом коэффициента нормировки , значения коэффициентов h₀ = h₁ = 1/. Подставляя значения коэффициентов в (3.2.6), получаем:

(t/2) =(t) + (t-1).

Решение этого функционального уравнения:

ttt

где (t) – функция Хевисайда: (t) = 1 при t ≥ 0, (t) = 0 при t < 0.

Из совокупности исходных условий кратномасштабного анализа и уравнения (3.2.5) следует, что перевод сигнала из пространства V_m+1 с более высоким разрешением в пространство V_m, по существу, представляет собой нормированную децимацию сигнала - двукратное прореживание, с соответствующим уменьшением в 2 раза числа отсчетов сигнала. Это эквивалентно низкочастотной фильтрации сигналов v_m+1(k)V_m+1 оператором h_k с частотой среза, равной половине частоты Найквиста сигналов v_m+1(k), с автоматическим сокращением (за счет прореживания) главного частотного диапазона децимированного сигнала v_m(k) в 2 раза.

Рис. 3.2.2.

На рис. 3.2.2 приведено отображение такой операции в частотной области представления пространств V_m(), которое, в отличие от рис. 3.2.1, имеет вполне конкретный физический смысл разделения спектров сигналов (и самих сигналов при их восстановлении из спектров) на низкочастотную V_m-1() и высокочастотную W_m-1 части.

Для исключения потерь высокочастотной информации, которая может потребоваться при восстановлении сигнала, она должна "переводиться" и сохраняться в новые подпространства W_m, ортогональные подпространствам V_m, такие, что

V_m+1 = V_m  W_m. (3.2.10)

Подпространства W_m называются детализирующими в том смысле, что именно они содержат ту дополнительную информацию (не пересекающуюся с пространством V_m), необходимую для повышения уровня разрешения сигнала с V_m на V_m+1 при его восстановлении.

Рис. 3.2.3.

Этот процесс нагляднее рассматривать в обратном порядке, как это показано на рис. 3.2.3. Так как наиболее детальный уровень разрешения сигнала соответствует максимальным значениям m (при m  ∞ сигнал становится непрерывным), то разложение сигнала по подпространствам начинается с максимальных значений m. На каждом цикле разделения, при переходе из пространства V_m+1 в пространство V_m, от пространства V_m+1 отделяется подпространство W_m, в которое отфильтровывается высокочастотная информация пространства V_m+1, а остающаяся информация более "грубого" разрешения перемещается в пространство V_m и представляет собой аппроксимацию данных пространства V_m+1. В пределе, с учетом свойства ортогональности пространств:

V_m+1 =W_m, W_m = L²(R). (3.2.11)

Таким образом, физический смысл процесса разложения пространств достаточно прост. Исходное пространство (V_m+1 на рисунке) является пространством сигналов и функций с определенным частотным диапазоном. При разложении сигнала в пространство W_m отделяются высокочастотные составляющие пространства V_m+1, а в пространстве V_m остаются его низкочастотные составляющие.

Базисный вейвлет. Детализирующие подпространства W_m в совокупности также образуют взаимно ортогональный набор и имеют свой ортонормальный базис при любом заданном значении m. Если скейлинг-функция установлена, то базисная функция детализирующего пространства, которую называют вейвлетом ("материнским"), должна иметь определенную связь со скейлинг-функцией.

Уравнение (3.2.6), по существу, представляет собой нормированное уравнение свертки, где h_k представляет собой оператор низкочастотного фильтра:

(t/2) =h_k ③ (t-k). (3.2.12)

При переходе в частотную область:

(2) = H() (). (3.2.13)

Уравнение (3.2.13) является масштабирующим уравнением в частотной области и полностью определяется 2 периодической функцией H(). Отсюда следует, что в пространстве W_m должна сохраняться высокочастотная часть информации сигнала, что может выполняться квадратурным обращением низкочастотного фильтра:

G() = -exp(-j H*(

Фурье-образ искомого вейвлета:

(2) = G() (). (3.2.15)

При переходе во временную область:

(t/2) =g_k ③ (t-k) = g_k(t-k). (3.2.16)

При этом значения g_k могут быть вычислены и непосредственно во временной области соответствующим квадратурным обращением оператора h_k:

g_k = (-1)^k h_2M-1-k.  (-1)^k (h_k)_rev. (3.2.17)

где (h_k)_rev – реверсированный массив оператора h_k, записанный в обратном порядке. Соответственно, для вейвлета Наара эти коэффициенты равны: g₀ = 1/, g₁ = -1/. Именно этот вейвлет и известен, как вейвлет Хаара (рис. 3.1.1). В функциональном анализе он применяется с 1910 года. Масштабированные и смещенные версии скейлинг-функции и вейвлета:

_m,k = 2^m/2 (2^mt-k).

_m,k = 2^m/2 (2^mt-k).

Вейвлет Хаара знакопеременен, при этом

(t) dt = 0.

Условие знакопеременности является общим условием для всех "материнских" вейвлетов, которое обеспечивает безусловную устойчивость базиса при восстановлении исходного сигнала.

Разложение функций на вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения m выполняется по формуле:

s(t) =C_m,k _m,k +D_m,k _m,k. (3.2.18)

Значения коэффициентов (которые обычно называют суммами и разностями):

C_m,k =s(t) _m,k(t) dt. (3.2.19)

D_m,k =s(t) _m,k(t) dt. (3.2.20)

На практике значения коэффициентов определяются с помощью быстрого вейвлет-преобразования, которое будет рассмотрено ниже.

Первая сумма в (3.2.18) содержит усредненные (с весовыми функциями _m,k) значения функции s(t) по диадным интервалам [k·2^-m, (k+1)·2^-m], вторая – значения флюктуаций на данных интервалах. По мере возрастания значения m длина интервалов уменьшается и уровень детализации (разрешения) функции s(t) увеличивается. На самом детальном уровне m = m_max = M ряд представлен только скейлинг-функцией и, в пределах точности разложения, практически совпадает с исходной функцией:

s(t) =C_M,k _,k.

На низшем уровне разрешения (на наиболее широких интервалах) первая сумма ряда (3.2.18) содержит всего одно усредненное взвешенное значение сигнала, а вторая сумма показывает флюктуации на всех без исключения уровнях. Числовой ряд на каждом из уровней является "истинным" представлением сигнала с тем же объемом информации, но только в другом (вейвлетном) математическом представлении. Вейвлет-преобразованием сигнала очень часто называют полную комбинацию рядов только второй суммы (3.2.18), дающей представление о локальных особенностях и флюктуациях сигнала на всех уровнях разрешения, которые обычно и являются предметом изучения.

Таким образом, выражение (3.2.18) показывает возможность аппроксимации любой произвольной функции s(t) набором простых локальных функций _m,k(t) и _m,k(t), ортогональных на разных уровнях значений m и полностью покрывающих пространство L²(R) за счет смещений k. Первая сумма выражения (3.2.18) дает "сглаженные средние" значения функции s(t) на разных масштабных уровнях, вторая сумма вейвлетных функций добавляет к "грубой" аппроксимации сигнала все более подробные детали на все меньших масштабных интервалах.

Вычисление вейвлетных рядов. Допустим, что сигнал s(t) известен с разрешением 1, т.е. задан числовым рядом s_n  C_m,n в пространстве V₀ с масштабом m=0, который можно рассматривать, как результат его разложения по сдвигам скейлинг-функции:

s(t) =s_n (t-n).

Версия масштаба m-1 ортогональной проекции s(t) на подпространство V_-1 будет задаваться набором скалярных произведений s(t) с функциями из базиса V_-1:

C_m-1,n = s(t), (1/)(t/2-n).

Из уравнения (3.2.6) и условий ортогональности следует:

C_m-1,n =h_s C_m,2n-s.

Другими словами, вычисление вейвлетных коэффициентов аппроксимации масштаба m-1 может осуществляться путем свертки коэффициентов предыдущего масштаба (m) с низкочастотным фильтром h_s и прореживания вдвое, которое «встроено» в эту формулу через индекс 2n-s.

В качестве деталей сигнала s(t), исчезающих при переходе к новому масштабу m-1, следует взять компоненту s(t), ортогональную к сигналам масштаба m-1пространства V_-1, и спроецировать ее на базис пространства детализирующих коэффициентов W_-1:

D_m-1,n = s(t), (1/)(t/2-n).

Или, с использованием уравнения (3.2.16):

D_m-1,n =g_s C_m,2n-s.

Т.е. действует та же схема свертки аппроксимационных коэффициентов предыдущего масштаба с оператором высокочастотного фильтра и прореживания вдвое.

Схемы последовательного масштабного разложения сигналов действуют на любых масштабах. Эту процедуру вычисления вейвлетных рядов называют быстрым вейвлет-преобразованием (БВП) или алгоритмом Малла по фамилии его автора.