глава3

Подобные модели и вытекающие из них пригодные для анализа соотношения могут быть получены для сепараторов с различным питанием и характером действующих на куски сил. При этом, если необходимо, можно учесть, вопервых, трение частиц о поверхность барабана или лотка, во-вторых, сопротивление среды (особенно в сепараторах мокрого магнитного обогащения). Из анализа подобных моделей имеется возможность определения требуемой длины зоны сепарации, минимального размера извлекаемой частицы при нижней подаче материала в сепаратор. Например, для сепаратора с нижней подачей при мокром обогащении тонких частиц в вязкой среде минимальный размер извлекаемой частицы находят по выражению:

где h – расстояние от днища лотка до барабана; L – длина зоны разделения; u – скорость подачи материала.

Необходимую длину зоны разделения для извлечения магнитных частиц с

Динамические модели позволяют решать и более сложные задачи. Силами взаимодействия между частицами можно пренебречь при малых удельных производительностях в аппаратах с плоскостным принципом разделения. Для таких аппаратов использование уравнений динамики дает информацию для оптимизации конструктивных и режимных параметров.

Рассмотрим пример моделирования разделения частиц в барабаннополочном фрикционном сепараторе. Он может использоваться для обогащения частиц, отличающихся формой, коэффициентами трения и упругости при отскоке.

11

12

Математическое моделирование этого процесса возможно, если будут составлены уравнения движения частицы на каждом этапе движения. При этом конечные условия каждого предыдущего этапа являют-

ся начальными условиями каждого последующего.

Таким образом, для математического моделиро-

Нет вания процесса сепарации необходимо установить зависимости, определяющие величину и направление конечной скорости движения частицы на каждом этапе и исследовать зако-

номерности изменения конечного положения частицы на горизонтальной плоскости от конструктивных и режимных параметров сепаратора и параметров частиц обогащаемого материала.

3.3. Модели процессов разделения

Основные этапы получения уравнений сепарации и сепарационных характеристик

Единый подход к моделированию различных обогатительных процессов предполагает использование однотипных этапов, единого математического аппарата при моделировании различных сепарационных процессов. В соответствии с теорией сепарационных процессов любой продукт обогащения характеризуется двумя видами функций: w(ξ) и β(ξ). Любой процесс обогащения про-

Единый подход к моделированию различных обогатительных процессов с позиции общих закономерностей движения минераль-

ных частиц в рабочих зонах обогатительных аппаратов разработан О. Н. Тихоновым. Данная глава составлена по материалам его работ.

13

текает в рабочей зоне обогатительного аппарата, внутри которого под действием сил происходит разделение материала на концентрат и хвосты. Материал в пространстве рабочей зоны неоднороден, т. е. его фракционный состав зависит от координат пространства и в нестационарном режиме – от времени.

Любая точка пространства характеризуется функцией фракционного состояния w(ξ, х, у, z, t) и усредненной скоростью движения частиц элементарных функций в точке. Для окрестности любой точки справедлив локальный закон сохранения любой элементарной фракции, выражение которого является первым уравнением сепарации. Второе уравнение сепарации вытекает из баланса статистически усредненных сил, действующих на частицы любой элементарной фракции. Совместное решение уравнений позволяет определить функцию фракционного состояния для любой точки по известным начальным и граничным условиям. Усреднение функции фракционного состояния для стационарного режима по зонам концентрата и хвостов дает средний фракционный состав продуктов. По известному фракционному состоянию в зонах разгрузки и питания wк(ξ) и wхв(ξ), wисх(ξ) могут быть аналитически найдены сепарационные характеристики аппарата по концентрату и хвостам, представляющие собой зависимости вероятности извлечения элементарных фракций материала в продукты от значения физического свойства элементарных фракций и характеризующие степень совершенства аппарата.

Сепарационная характеристика, например, для концентрата, вычисляется

поскольку в соответствии с уравнением баланса

Qисхwисх(ξ) = Qкwк(ξ)+ Qхwх(ξ),

Qисх, Qк, Qхв – производительность аппарата соответственно по исходному питанию, концентрату и хвостам;

wк(ξ) = Vк−1∫ ∫∫ w(ξ, x, y, z)dV ;

Vк

wх(ξ) = Vх−1∫ ∫∫ w(ξ, x, y, z)dV.

Vх

В разделе 2 введены основные понятия и в общем охарактеризованы подходы к получению уравнений сепарации. Остановимся на методах отыскания необходимой информации, конкретном составлении и решении уравнений сепарации, аналитическом получении формул сепарационных характеристик применительно к различным процессам обогащения.

Составление уравнений сепарации

Как уже отмечалось выше, чтобы полностью охарактеризовать сепарационный процесс, достаточно составить уравнения сепарации и решить их относительно w(ξ, х, у, z) для любой точки. Затем, усредняя интегрированием по зо-

14

нам исходного питания, концентрата и хвостов, получить характеристики

фракционного состояния в зонах wисх(ξ, х, у, z), wк(ξ, х, у, z), wхв(ξ, х, у, z) с учетом начальных и граничных условий при допущении стационарности.

Одно из уравнений сепарации – уравнение типа закона сохранения, второе – баланса сил.

Большинство аппаратов можно представить одномерной моделью, выделив основное направление расслоения частиц под действием сил х, и, следова-

Второе уравнение будет видоизменяться для конкретного аппарата и условий разделения в нем.

Заметим, что все силы отнесены к единице объема частицы с плотностью ρ. Составим уравнение сепарации на примере аппаратов с естественной разде-

ляющей средой переменной плотности (рис. 3.4), где действуют следующие

Для этого случая уравнения сепарации имеют вид:

ρmax

ρ = ∫ρw(ρ, x,t)dρ,

ρmin

где D=kα-1 – коэффициент макродиффузии, м2/с. Время сепарации t=y/vтр соответствует продвижению материала от загрузки к разгрузке.

15

Решение уравнений сепарации и получение сепарационных характеристик

Уравнения сепарации имеют различный вид и решаются по аналогии с типовыми уравнениями математической физики, а если они сложны и не подпадают под известные типы уравнений математической физики, то следует применять численные методы решения.

Чтобы определить фракционный состав материалов в зоне разгрузки концентрата и хвостов, требуется ввести граничные условия. В зоне разгрузки материал полностью расслоился и поэтому vx=0, t=tк=wраз/vтр, а функция фракционного состава может рассматриваться как предельная wпред, не зависящая от t

∂w/∂t=0. С учетом граничных условий основное уравнение сепарации решается

относительно w пред( ξ, x ) .

Общее решение w пред( ξ, x ) превращается в конкретное частное с учетом начальных условий, зависящих от фракционного исходного питания:

w ( ξ, x , t 0 )= w исх( ξ) .

Для нахождения w пред( ξ, x 0 ) через заданную функцию w исх( ξ) надо воспользоваться интегральным законом сохранения:

( ) ( )−1 xверх ( )

wисх ξ = xверх − xниж ∫ wпред ξ, x dx,

xниж

где xверх, xниж – координаты верхней и нижней частей слоя разделения. Сепарационную характеристику аппарата εк( ξ) находят по известным

wисх(ξ) и wпред(ξ).

xверх

где Qк/Qисх= (xниж – xгр)/(xниж – xверх); xгр – координата положения отсекателя концентрата.

Здесь средний фракционный состав концентрата получается усреднени-

ем:

xгр

Окончательный вид сепарационной характеристики получают, подстав-

ляя найденное ранее w пред( ξ, x ) в уравнение для εк(ξ).

Рассмотрим решение основного уравнения сепарации и получение сепарационной характеристики на примере тяжелосредного сепаратора. Заметим, что в отличие от общего случая разгрузка концентратора осуществляется верхним слоем, а ось x направлена вертикально вниз.

16

Основные уравнения баланса сил и закон сохранения пишутся следующим образом в предположении, что расслоение идет в одномерном простран-

Подставим (3.5) в (3.3) и запишем одно уравнение сепарации:

w= w(ρ, x, t).

Сучетом D=kα-1 и в предположении, что плотность разделения постоянна по объему и во времени и равна средней плотности кусков, уравнение (3.6) перепишем в виде:

где D – коэффициент диффузии; А = g(ρ-ρср)α-1 – коэффициент сноса.

Для любой узкой фракции уравнение (3.8) относится к типу уравнений Фоккера-Планка. Для стационарного режима (∂w/∂t=0) решение предельной задачи при условии полного расслоения в коне аппарата имеет вид:

w ( ρ, x 0 ) для какой-то точки x0 между верхней границей слоя расслоения с координатой xверх и нижней границей слоя с координатой xниж:

Используя (3.1) и учитывая:

17

Если h – высота слоя разделения, а за точку отчета принята координата xгр, то координаты xверх= –0,5h; xниж= 0,5h. Преобразуем выражение (3.16):

В последнем уравнении числитель и знаменатель правой части умножим на 2, к числителю прибавим и вычтем exp(AD-1h/2) и проведем ряд преобразований:

18

Это закон гиперболического тангенса.

Методы решения уравнений сепарации и получения сепарационных характеристик для других аппаратов специфичны, отличаются друг от друга, с ними подробней можно познакомиться в работах О.Н.Тихонова.

Сепарационная характеристика εк(ξ) любого аппарата имеет два важных элемента: положение границы разделения ξгр («рабочей» точки) и крутизну в «рабочей» точке:

Уравнение границы разделения εк(ξгр)=0,5.

Крутизна сепарационной характеристики – мера точности разделения сепаратора. Увеличение крутизны означает повышение точности разделения в сепараторе, т. е. уменьшение взаимного засорения фракций. Для идеального се-

паратора ε´(ξгр)→∞.

Крутизна связана со средним вероятным отклонением Еpm, еще одной характеристикой точности разделения в аппарате, – соотношением:

ε´(ξгр)≈0,25/Еpm

Сепарационные характеристики для типовых аппаратов, полученные теоретическим путем с экспериментальным подтверждением, приведены в таблице 3.3, а их графическое изображение дано на рис. 3.5.

Основное использование сепарационных характеристик – расчет и проектирование схем обогащения.

Рис. 3.5. Сепарационные характеристики различных обогатительных аппаратов:

а – отсадочные машины, тяжелосредные сепараторы, гидравлические классификаторы; б – радиометрический сепаратор; в – грохот; г – концентратор; д – флотомашина

19