неопр.ин-л лекции и практики
.pdfРешение: |
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
|
Cx + D |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
(x2 + 2)(x2 +1)= (x2 + 2) |
+ |
|
(x2 +1) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +3 =( Ax + B)(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 +1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Находим неизвестные коэффициенты методом неопределенных коэф- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
фициентов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
0 = A +C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A =1, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
= B |
+ D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
B |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 = 2A +C, |
|
|
|
|
C |
= −1, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 = 2B + D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = −3. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
( |
x |
+ 2 |
)( |
x |
+1 |
|
|
|
( |
x |
+ 2 |
) |
|
( |
x |
2 |
+1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||
Пример 4. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a) ∫ |
3x5 |
−4x |
dx , b) ∫ |
|
x3 +3x +1 |
dx , c) ∫ |
|
x4 + 2 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
x2 |
+1 |
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
x2 −4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Во всех примерах подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, т. к. степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь.
a)
3x5 − 4x x2 +1 3x5 + 3x3 3x3 −3x
|
|
|
|
|
|
−3x3 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3x3 −3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, 3x5 −4x = 3x3 −3x − |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
||||
Разбиваем исходный интеграл на три интеграла. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3x5 −4x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
dx = |
3x3 −3x − |
|
|
dx |
= |
3 |
x3dx−3 xdx− |
|
|
|
|
dx = |
|||
∫ |
x2 +1 |
|
∫x2 |
+1 |
||||||||||||||
|
∫ |
|
x2 +1 |
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
51
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
x |
4 |
− |
3 |
x |
2 |
|
− |
1 |
∫ |
|
d(x2 +1) |
|
= |
3 |
x |
4 |
− |
3 |
x |
2 |
− |
1 |
ln |
|
x |
2 |
+1 |
|
+C. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
+1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b) ∫ |
|
|
+3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
dx |
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
x + |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
∫xdx +∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +2 |
|
|
x2 + |
|
|
|
x2 |
|
+ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∫ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
x |
|
|
|
+∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 +2 |
|
x2 + |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
1 |
∫ |
d(x2 |
+2) |
+ |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
1 |
x |
2 |
+ |
|
1 |
ln x |
2 |
+2 |
|
+ |
|
1 |
|
arctg |
|
x |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
x2 + |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
c) ∫ |
|
x4 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ x |
|
|
+ 4 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= ∫x |
|
|
dx |
|
+ 4∫dx +18∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
− 4 |
|
|
x2 |
− |
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
1 |
x |
3 |
+ 4x +18∫ |
|
|
|
dx |
|
|
= |
1 |
|
x |
3 |
+ 4x +18 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
x − 2 |
|
+ C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
x |
2 − 22 |
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
x + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
x |
3 |
+ |
4x + |
|
9 |
ln |
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
x |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 5. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) ∫ |
|
|
|
|
7x − x2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
b) ∫ |
2x4 −3x3 −21x2 −26 |
dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
2 −5x |
+6)(x |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 −5x + 4)(x +3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a) ∫ |
|
|
|
|
7x − x2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x |
2 −5x |
+6)(x |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, т. к. степень многочлена, стоящего в числителе, ( n = 2 ) меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, ( n = 3 ).
Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения
x2 −5x + 6 = 0; D = 25 − 4 6 =1; x = |
5 ±1 |
; x =3; x |
2 |
= 2. |
|
||||
1,2 |
2 |
1 |
|
|
Тогда (x2 −5x +6)(x +1)= (x −2)(x −3)(x +1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
В разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида x −a соответствует слагаемое x −Aa . Поэтому в данном случае имеем
52
|
7x − x2 − 4 |
= |
|
7x − x2 − 4 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
|
C |
|
= |
|||
(x2 |
−5x + 6)(x +1) |
(x |
+1)(x − 2)(x −3) |
x + |
1 |
x − 2 |
x −3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
A(x − 2)(x −3) |
+ B(x +1)(x −3) + C(x +1)(x − 2) |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(x +1)(x − 2)(x −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведя правую часть разложения на сумму простейших дробей к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество
7x − x2 −4 = A(x −2)(x −3) + B(x +1)(x −3) +C(x +1)(x −2) .
Коэффициенты A, B, C определим, например, с помощью метода частных значений (подставим одни и те же значения x в правую и левую часть тождества):
x = 2 |
|
6 = −3B, |
|
|
|||
|
|
|
−12 =12A, |
x = −1 |
|
|
|
|
|
|
8 = 4C, |
x =3 |
|
|
A = −1,
откуда B = −2,
C = 2.
Подставим найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим
|
|
|
|
7x − x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dx = |
|
||||||||
|
(x2 −5x + 6)(x |
+1) |
|
|
x +1 |
x − 2 |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= −∫ |
dx |
|
|
− 2∫ |
dx |
|
+ 2∫ |
dx |
|
|
= −∫d(x +1) |
− 2∫d(x − 2) |
+ 2∫d(x −3) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
x +1 |
x − |
2 |
x − |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
x −3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −ln |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
− 2ln |
|
x − 2 |
|
+ 2ln |
|
x −3 |
|
+ C = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
= ln(x −3)2 − (ln |
|
x +1 |
|
+ ln(x − 2)2 )+ C = ln |
|
(x −3)2 |
+ C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
(x − 2)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: результат интегрирования можно оставить в виде суммы логарифмических функций.
b) ∫ 2x4 −3x3 −21x2 −26 dx . (x2 −5x + 4)(x +3)
Так как подынтегральная функция является неправильной дробью (степень многочлена в числителе ( n = 4 ) больше, чем степень многочлена знаменателя ( n = 3 )), то путем деления числителя на знаменатель можно представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Удобно раскрыть скобки в знаменателе и поделить «уголком» числитель на знаменатель.
53
Так как
(x +3)(x2 −5x + 4)= x3 −2x2 −11x +12 и x2 −5x + 4 = (x −1)(x −4) ,
то |
|
|
2x4 −3x3 −21x2 −26 |
|
|
|
3x2 |
−13x −38 |
|
|
|
|||
|
|
|
= 2x +1 |
+ |
|
|
= |
|
||||||
|
|
|
(x2 −5x + 4)(x +3) |
|
(x2 −5x + 4)(x + |
3) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= 2x +1 + |
|
3x2 −13x −38 |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
(x −1)(x |
−4)(x +3) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда исходный интеграл примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x4 −3x3 − 21x2 − 26 |
|
|
|
|
|
3x2 −13x −38 |
|
|
|||||
∫ |
|
2 |
|
dx |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
−5x + 4)(x + 3) |
= ∫ 2x + |
(x −1)(x − 4)(x + 3) |
dx = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= x2 + x + ∫ |
|
3x2 −13x −38 |
|
dx . |
|
|
|
||||
|
|
|
(x −1)(x − 4)(x + |
3) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим отдельно оставшийся интеграл. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которая может быть разложена на сумму трех простейших дробей (аналогично тому, как это было сделано в пункте a):
|
3x2 |
−13x −38 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
∫ |
|
|
dx = ∫ |
|
|
+ |
|
|
− |
|
dx = ∫ |
|
|
+ |
(x −1)(x − 4)(x + 3) |
|
|
x −1 |
|
x + |
3 |
||||||||
|
x + 3 |
|
|
x − 4 |
|
|
+ 4∫ |
dx |
|
|
−2∫ |
dx |
|
|
|
= ln |
|
|
|
x + 3 |
|
+ 4ln |
|
x −1 |
|
− 2ln |
|
|
|
x − 4 |
|
+C . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − |
1 |
x − |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
2x4 −3x3 − 21x2 − 26 |
dx = x2 + x + |
∫ |
|
3x2 −13x −38 |
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x −1)(x − 4)(x + |
3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 −5x + 4)(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= x2 + x + ln |
|
x + 3 |
|
+ 4ln |
|
x −1 |
|
− 2ln |
|
x − 4 |
|
+C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Найти интеграл |
J = ∫ |
x5 |
|
|
+ x4 −8 |
dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
− 4x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
Решение:
Подынтегральная дробь – неправильная, поэтому выделим ее целую часть:
_ |
x5 |
+ x4 |
−8 |
|
|
x3 −4x |
|
|
|||||||
x5 −4x3 |
|
|
x2 + x + 4 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ x4 + 4x3 −8 x4 −4x2
_ 4x3 + 4x2 −8 4x3 −16x
|
|
|
|
|
|
|
4x2 +16x −8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
т. е. |
x5 + x4 −8 |
= x2 + x + 4 + |
4x2 +16x −8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x3 − 4x |
|
|
|
|
x3 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проинтегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
4x2 +16x |
−8 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
4x2 +16x −8 |
|
|||||
|
|
+ x + 4 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x |
|
|
|
dx. |
|||
J = ∫ x |
|
x |
3 |
− 4x |
dx = |
3 |
|
+ |
2 |
|
|
+ ∫ |
x(x − 2)(x + 2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Правильную дробь |
4x2 +16x −8 |
разложим на простейшие дроби и |
||||||||||||||||||||||||||
x(x − 2)(x |
+ 2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
найдем коэффициенты A, B, C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4x2 +16x −8 |
= |
A |
|
+ |
|
|
B |
|
+ |
C |
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x(x − 2)(x + 2) |
x |
|
x |
− 2 |
x + |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведя правую часть равенства к общему знаменателю и отбросив последний, имеем
4x2 +16x −8 = A(x − 2)(x + 2) + Bx(x + 2) +Cx(x − 2) , 4x2 +16x −8 = x2 ( A + B +C) + x(2B − 2C) − 4A.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C:
x2 |
4 = A + B +C, |
A = 2, |
|
x1 |
16 = 2B −2C, |
|
|
откуда B =5, |
|||
x |
0 |
−8 = −4A, |
|
|
C = −3. |
55
Таким образом, |
|
|
|
|
|
4x2 +16x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
+ |
|
|
|
5 |
|
|
|
− |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 4x |
|
x |
|
|
x − |
2 |
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
J = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x + |
∫ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x − |
2 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x + 2ln(x) + 5ln(x − 2) − 3ln(x + 2) + C = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cx2 (x − 2) |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
−3ln(x + 2) + C = |
|
+ |
|
+ |
4x + ln |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(x + 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 7. Найти интеграл J = |
∫ |
|
|
x2 dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 − |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Правильную дробь |
|
|
x |
|
|
|
|
разложим на простейшие дроби. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
A |
|
+ |
|
Bx +C |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
− |
8 |
|
(x − 2)(x2 + 2x + 4) |
|
x |
|
− 2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x + 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
= |
|
|
A(x2 + 2x + 4) + (Bx +C)(x − 2) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
− |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
− 2)(x2 + 2x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = A(x2 + 2x + 4) + (Bx +C)(x − 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 = ( A + B)x2 + (2A +C − 2B)x + 4x − 2C ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = A + B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 2A −2B +C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда B |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 4A −2C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J = ∫ |
x2 |
|
dx = |
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
+ |
|
2 |
|
∫ |
|
|
|
2x + 2 |
|
|
|
|
dx = |
|
1 |
ln(x −2) + |
1 |
|
∫ |
|
d(x2 + 2x + 4) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 − |
8 |
3 |
|
x |
− |
2 |
|
3 |
|
|
x2 + 2x + 4 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
x2 |
+ 2x + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
1 ln(x − 2) + |
1 ln(x2 + 2x + 4) + |
|
1 ln C = ln 3 C(x3 −8). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 8. Найти интеграл J = ∫ |
|
|
|
|
|
|
x2 −5x + 9 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −1)2 (x2 + 2x + |
2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
Решение:
Разложим правильную дробь на сумму простых:
x2 −5x + 9 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
Cx + D |
. |
|||
(x −1)2 (x2 |
+ 2x + 2) |
x −1 |
(x −1)2 |
x2 |
+ 2x + 2 |
||||||
|
|
|
|
Умножая обе части полученного разложения на знаменатель
Q(x) = (x −1)2 (x2 + 2x + 2) , имеем
x2 −5x + 9 = A(x −1)(x2 + 2x + 2) + B(x2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x −1)2 ,
или
x2 −5x +9 = ( A +C)x3 +( A + B −2C + D)x2 +(2B +C − 2D)x − 2 A + 2B + D.
Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях многочленов слева и справа в последнем равенстве, получаем систему линейных уравнений (относительно A, B,C, D ):
x3 |
|
A + C = 0 |
|
|
|
||
x2 |
|
A + B − 2C + D =1 |
. |
x |
|
2B + C − 2D = −5 |
|
|
|
||
1 |
|
− 2A + 2B + D =9 |
|
Решая полученную систему (например, методом Гаусса), найдем
A = −75 , B =1, C = 75 , D = 215 .
Вернемся к вычислению интеграла:
J = − |
7 |
∫ |
dx |
|
+ |
∫ |
|
dx |
|
|
|
+ |
7 |
∫ |
|
x dx |
|
+ |
|
21 |
∫ |
dx |
= |
||||
|
x − |
1 |
(x −1)2 |
|
x2 + 2x + 2 |
5 |
|
x2 + 2x + 2 |
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= −7 ln | x −1| − |
|
1 |
|
|
+ |
|
7 |
ln(x2 + 2x + 2) +14 arctg (x +1) + C . |
|||||||||||||||||||
x −1 |
10 |
||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
Пример 9. Найти интеграл J = ∫ |
x + 9 |
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||
x3 − 6x2 + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
Решение:
Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь, разложим ее на простейшие дроби и проинтегрируем:
x +9 |
= |
x +9 |
|
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
C |
= |
|
|
|
x − |
3 |
(x −3)2 |
x |
|||||
x3 −6x2 +9x x(x −3)2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ax(x −3) + Bx +C(x −3)2 |
= |
Ax2 |
−3Ax + Bx +Cx2 −6Cx +9C |
= |
|||
x(x −3)2 |
|
|
x(x −3)2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
= |
( A +C)x2 |
+ (B −3A −6C)x +9C |
, |
|
|||
|
|
x(x − |
3)2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
откуда
x + 9 = ( A + C)x2 + (B −3A − 6C)x + 9C .
Для нахождения A, B,C воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, т. е. приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x :
x2 |
0 |
= A +C, |
A = −1, |
|
|
1 |
|
= B −3A −6C, |
|
x |
1 |
B = 4, . |
||
x |
0 |
|
=9C |
|
|
9 |
C =1. |
Следовательно, |
x +9 |
|
|
|
|
−1 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x3 −6x2 +9x |
|
x −3 |
(x −3)2 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и |
|
|
|
x +9 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
4 |
|
|
|
|
1)dx = |
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx = ∫ |
( |
+ |
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
(x −3)2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x3 −6x2 +9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−ln |
|
x −3 |
|
+ |
|
4 |
|
+ ln |
|
x |
|
+C = ln |
|
Cx |
|
|
|
− |
4 |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(−1)(x −3) |
x −3 |
|
x −3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 10. Найти интеграл |
|
|
J = ∫ |
|
|
(x5 + 4x3 )dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(x +1)2 (x2 + 2x + 3). |
|
Решение:
Так как степень полинома в числителе больше степени полинома в знаменателе, то выделим целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель, предварительно перемножив сомножители в знаменателе.
В результате интеграл J перепишется в виде
J = ∫(x − 4)dx + ∫12x3 + 24(x2 + 29x +12) dx .
(x +1)2 x2 + 2x + 3
Первый интеграл легко вычисляется: он равен 12 x2 − 4x . Прежде чем вычислять второй интеграл (обозначим его J2 ), необходимо выяснить, ве-
58
щественны или комплексны корни уравнения x 2 +2x +3 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так |
как |
корни |
|
|
|
|
|
уравнения |
|
|
|
комплексные |
(дискриминант |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D = 22 −4 3 = −8 < 0 ), то разложение подынтегральной функции в J2 име- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ет вид |
12x3 + 24x2 + 29x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B x |
+ C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x +1)2 (x2 + 2x + 3) = |
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
(x +1)2 |
|
|
x2 + 2x + 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
После приведения правой части равенства к общему знаменателю по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12x3 + 24x2 + 29x +12 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= A (x +1)(x2 + 2x + 3)+ A |
|
|
(x2 |
+ 2x + 3)+ A (B x + C )(x +1)2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12x3 + 24x2 + 29x +12 = x3 (A + B )+ x2 (3A + A + 2B + C )+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ x(5A1 + 2A2 + B1 + 2C1 )+ 3A1 + 3A2 + C1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
правой части равенства, получим систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
+ B |
=12, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3A1 + A2 + 2B1 +C1 = 24, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2C1 = 29, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5A1 + 2A2 + B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3A |
+3A |
|
|
+C |
=12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решая эту систему, найдем A = |
17 |
|
, A |
|
= − |
5 |
, B = |
7 |
, C = −6 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=17 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
J2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
2 |
(x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
d (x2 + 2x + 3)− |
|
|
7 |
dx − 6dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
ln |
|
x +1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
17 |
ln |
|
x |
+1 |
|
+ |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
7 |
ln |
|
x2 |
+2x |
|
+3 |
|
− |
19 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +2x +3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
В последнем интеграле знаменатель приводим к полному квадрату:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 +2x +3 = (x +1)2 +2 = |
|
x +1 |
|
+1 . В результате получаем |
арктан- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
генс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
J = |
|
1 |
x |
2 |
− 4x + |
17 |
ln x +1 |
+ |
5 |
|
x |
1 |
|
+ |
7 |
ln x |
2 |
+ 2x + 3 − |
19 |
arctg |
x +1 |
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
+ |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание 1. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) ∫ |
|
x 6 |
|
−2x 4 +3x 3 −9x 2 + 4 |
dx |
; |
2) ∫ |
|
|
|
x 2 −3x +2 |
dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
5 |
− |
5x |
3 |
|
+ 4x |
|
|
|
|
|
x (x |
2 |
+2x +1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) ∫ |
|
|
|
|
2x 2 −3x −3 |
|
dx ; |
4) |
∫ |
x 3 |
|
+ x −1 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
−1)(x |
2 |
|
−2x + |
5) |
(x |
2 |
+ |
2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5) ∫ |
|
x5 + x4 −8 |
|
dx ; |
|
|
|
6) ∫ |
|
|
3x2 |
+8 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 −4x |
|
|
|
|
|
|
x3 + 4x2 + |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7) ∫ |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
8) |
∫ |
|
2x2 |
+ 2x +13 |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(x −1)(x + 3) |
(x |
− 2)(x2 |
|
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9) ∫ |
|
6x2 + 46x + 95 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x + 4)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задание 2. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) ∫ |
x 4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ∫ |
|
|
|
|
|
x11dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x 6 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 8 +3x 4 +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) ∫ |
|
|
|
|
|
|
x 4 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; 4) |
|
|
|
|
4) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 −1 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||||||||||
x (x |
8 |
+3x |
4 |
|
+2) |
|
|
|
|
x |
4 |
+ x |
3 |
+ x |
2 |
+ x +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60