Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неопр.ин-л лекции и практики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Практическая часть

«Техника интегрирования»

Интегрирование в отличие от дифференцирования требует от решающего известной изобретательности и смекалки, что вырабатывается в процессе решения.

Если хотите лучше усвоить интегрирование, решайте больше приме-

ров.

1. Непосредственное интегрирование

Примеры:

1. ∫(4x3 −3x2 − 2x + 5)dx = ∫4x3dx − ∫3x2dx − ∫2xdx + ∫5dx =

= 4

∫

x3dx −3 x

2dx − 2

∫

xdx + 5

∫

dx = 4

x3+1

−3

x2+1

− 2

x1+1

+ 5x + C =

∫

3 +1

2 +1

1 +1

= 4

−3

− 2

+ 5x + C = x4

− x3 − x2 + 5x + C .

2. ∫

−

dx = ∫

dx − ∫

dx +

∫

= ∫x−4dx − ∫x−3dx + ∫x−2dx =

x−4+1

−

x−3+1

x−2+1

+ C =

− 4 +1

− 2 +1

x−3

x−2

x−1

−3 +1

−

+ C = −

−3

−2

− x

−1

+ C = −

−

+ C .

−3

−

2x3

2x2

3x2

xdx

3x2 x1 / 2dx

= ∫3x2 x1 / 2 x−1 / 3dx = ∫

−

3. ∫

= ∫

3 dx =

1 / 3

x 6

x19 + C .

= ∫3x 6 dx = 3∫x 6 dx =

+ C =3

+ C

4. ∫(sin x +5x2 −ex )dx = ∫sin xdx +5∫x2dx − ∫exdx =

= −cos x + 5 x3

−ex

+C .

5. ∫

+5∫x−2 dx

dx =

3∫

= 3ln

−

+C .

6. ∫

2 −sin 2 x

dx = 2∫

− ∫dx = −ctg x − x + C .

sin 2 x

7. ∫(

x + 5)2 dx = ∫(x −10

x + 25)dx = ∫xdx −10∫x

dx + 25∫dx =

= x2

−

+ 25x + C .

8. ∫ x

+5x −1 dx = ∫ x

+5x

− x−

dx = ∫x

dx +5∫x

dx − ∫x

−

dx =

x 2

− 2x 2 +C .

9. ∫

2sin x −

dx = 2∫sin xdx −8∫

+ ∫

+ 4

−4

+ 4

−4

=−2cos x − 4arctg 2x + 14 ln xx +− 22 + C .

10.∫ctg2 xdx = ∫ sin12 x −1 dx = ∫sindx2 x − ∫dx = −ctg x − x + C .

11.

∫2x 32xdx = ∫(2 32 )x dx = ∫18x dx =

18x

+ C .

ln18

12.

∫

arctg

+ C .

+ x2

( 10 )2 + x2

13.

∫

= ∫

= 1

arcsin

+ C .

3 − x2

( 3)2

− x2

14.

∫

x2dx

= ∫

(x2 +1) −1

dx =

∫dx − ∫

dx =x − arctg x + C .

x2 +

15.

∫

x4dx

= ∫

(x4 −9) +9

dx = ∫

(x2 −3)(x2 +3) +

dx =

x2 +

x2 +3

= ∫(x2 −3)dx +9∫

3)2

= x3

−3x + 9

arctg

+ C .

x2 +(

e−x

−3

16.

= ∫exdx + ∫x 2 dx =

∫ex 1 +

= ∫ ex +

−

= ex

+C = ex

+ C

= ex −

+C .

−

2. Внесение под знак дифференциала

Примеры:

∫sin 3xdx =

∫sin 3xd(3x) = −1 cos3x + C .

d(3x)

∫

= −

ctg3x + C .

sin 2 3x

3. ∫

= 1

∫d(2x +3) =

1 ln | 2x +3 | +C .

2x +3

4.∫e2xdx = 12 ∫e2xd(2x) = 12 e2x + C .

5.∫cos(7x −5)dx = 17 ∫cos(7x −5)d(7x −5) = 17 sin(7x −5) + C .

6.∫ctg xdx = ∫cossin xx dx = ∫dsinsinxx = ln sin x + C .

7. ∫

= ∫

∫

d(x −3)

x −3 − 3

+C .

x2 −6x +6

(x −3)2 −3

2 3

x −3 + 3

8. ∫esin x cos xdx = ∫esin x d sin x = esin x + C .

d(1+ x

)

9. ∫

= ∫

∫

ln |1+ x

| +C .

+ x3

1+ x3

10. ∫

cos6x

dx = ∫

6cos6xdx =

∫(sin 6x)−4 d(sin 6x) =

sin 4 6x

6(sin 6x)4

(sin 6x)−4+1

+ C = (sin 6x)−3

+ C = −

+ C.

− 4 +1

6 (−3)

18sin3

cos3x

d(sin 3x − 4)

= 1

11. ∫

dx = ∫

∫(sin 3x − 4)− 15 d(sin 3x − 4) =

5 sin 3x − 4

= 1

(sin 3x − 4)−

+ C =

(sin 3x − 4)

−1+5

+ C =

(sin 3x − 4)

+ C =

−

−1 + 5

3 4

5 (sin 3x − 4)4

+ C.

12. ∫

arctg x

∫

arctg xd(arctg x) = 2

dx =

(arctg x)2 +C =

1 + x

= 2

(arctg x)3

+C .

13. ∫

∫ d(

5x)

1 ln

5x +

1 +5x2

+C .

1 +5x2

1 + ( 5x)2

14. ∫

= ∫

d (x / 2)

2sin(x / 2)cos(x / 2)

sin(x / 2)cos(x / 2)

sin x

sin 2

d(x / 2)

= ∫

cos2 (x / 2)

= ∫

d(tg(x / 2))

= ln

+ C .

sin(x / 2)

tg(x / 2)

cos(x / 2)

15. Не всегда первообразные от одной и той же подынтегральной функции совпадают, что зависит от метода интегрирования.

Вычислим ∫cosdxx .

cos

d tg

1 способ: ∫

= ∫

= 2∫

= −2∫

cos x

cos

−sin

1 − tg

2 x

−1

+С = ln

+С,

= −2

−1

d x +

c учетом

2 способ: ∫

= ∫

∫

cos x

задачи

sin x +

sin x

x + π

= ln

+C = ln

+ C .

16. ∫x

x 4

dx =

∫e

x 4

(dx

)

x 4

+ C .

arcsin xdx = ∫

17.

∫

arcsin x d (arcsin x) = 2 (arcsin x)

+ C .

1 − x2

1 ln(x2

1 + x4 )+ C .

∫

dx =∫

18.

1 + x4

+ (x2 )2

19.

3x2

dx = ∫

d (x3

+ x +

∫

dx = ln

+ x + 2

+ C .

x3 + x +

+ x + 2

20.

∫(ln x)

2 dx

∫(ln x)

d(ln x) =

(ln x)3

+ C .

21.

∫3 1 +3sin x cos xdx =

∫3 1

+ 3sin x d(1 + 3sin x) =

+ 3sin x) 3

+ C .

d(arccos x)

22.

∫

= −∫

+ C .

(arccos x)5

1 − x2

4arccos4 x

(arccos x)5

23.

∫

= ∫

d(x +1)

− x

2 − 2x +8

− x2 − 2x −1 + 9

9 − (x +1)2

= ∫

= arcsin t

+C = arcsin x +1

+C.

32 −t 2

24.

∫cos x −sin xdx = ∫d(sin x + cos x)

= ln

sin x + cos x

+ C .

sin x + cos x

3. Замена переменной в интеграле

Пример 1. Вычислить∫

1 − x2 dx .

Решение:

Подынтегральная функция определена при | x |≤1. Выполним замену

x =sin t , где		π	,	π	. Тогда	dx = (sin t)′dt = cos t dt ,	1 −sin	2	t = cos t .
	t −	2
				2

Следовательно,

∫	1 − x2 dx = ∫cos2 t dt =	1	∫(1 + cos 2t) dt =	1 t +	1 sin 2t + C .
		2		2	4

Возвращаясь к переменной x =sin t посредством равенства t = arcsin x , получим

∫ 1 − x2 dx = 12 arcsin x + 12 x 1 − x2 + C .

Пример 2. Вычислить интеграл J = ∫x x −5dx .

Решение:

Пусть x −5 = t , отсюда x −5 = t 2 , x = t 2 +5 , dx = 2tdt . Подставив в интеграл, получим

J = ∫(t 2 + 5)t 2tdt = 2∫(t 4 + 5t 2 )dt = 2 t5

+10 t3

+ C .

Возвратимся к прежней переменной x: J =

2(x −5)

10(x −5)

+C .

Пример 3. Вычислить интеграл J = ∫

1+ex

Решение:

Применим подстановку 1 + ex =t , отсюда ex = t −1,

x ln e = ln(t −1) ,

x = ln(t −1) ,

dx =

t −1

Тогда

J = ∫

= ∫

. Но

−

поэтому

+ex

t(t −1)

−

J = ∫

− ∫

= ln

t −1

−ln

+C , или окончательно

t −1

+C = x −ln(1 + ex )+C .

J = ln

+ ex

sin 2xdx

Пример 4. Вычислить интеграл J = ∫

Решение:

1+sin 2 x

1 +sin 2 x = t , 2sin x cos xdx = dt , sin 2xdx = dt . Тогда

J = ∫

= ln

+C = ln(1+sin 2 x)+C .

1 +ln x

Пример 5. Вычислить интеграл J = ∫

dx .

3 + x ln x

Решение:

3 + x ln x = t , (1 + ln x)dx = dt , тогда J = ∫

= ln

3 + x ln x

+C .

Пример 6. Вычислить интеграл J = ∫

x −5(1 + 3 x

−5)

Решение:

∫

= x −5 = t 6 ; t = 6 x −5; =

∫

6t5dt

x −5(1 +3 x −

t3 (1 + t 2 )

x = t 6 +5; dx = 6t5dt

6t5dt

t 2dt

(t 2 +1 −1)dt

∫dt − ∫

= 6(t − arctgt) + C =

= ∫

= 6∫

t3 (1 + t

2 )

t 2 +1

= 6(6 x − 5 − arctg 6 x −5 )+ C .

Пример 7. Вычислить интеграл ∫

x2 −1

dx .

Решение:

−1, x =

t =

= ∫

dt =

∫

−1dx =

dx =

+1 t2 +1

= ∫

t 2 +1 −1

dt = ∫dt − ∫

dt =t − arctgt + C =

x2 −1 − arctg x2 −1 + C .

t 2 +1

2 +1

cos 6x

Пример 8. Вычислить интеграл ∫

dx.

Решение:

sin4 6x

cos6x

t =sin6x

−4+1

∫t−4dt =

∫

dt =6cos6xdx

= ∫

+C =

sin4

−

4 +1

cos6xdx =

t−3

=−

+C =−

+C =[t =sin6x]=−

+C.

6 3

18 t3

sin 2x

18 sin3 6x

Пример 9. Вычислить интеграл ∫

dx .

Решение:

3 cos4 2x

sin 2x

t = cos 2x

−

∫

= ∫

3 dt =

dx = dt = −2sin 2xdx

= −

∫t

cos

= −

sin 2xdx

													−		4	+1
									−		1	t	−		3	+1		+C =
											1	t			3
											2			4
												−		4		+1
			−4+3				1					−	3			+1
													3
					−
	1	t			−										3		1				3			3
= −	1	t	3	+C = −	t	3				+C =					3		1		+ С	=	3	+ C =		3	+ C.
= −	2	−4 +3		+C = −				1		+C =					2			1	+ С	=	23	+ C =	23		+ C.
	2	−4 +3		2				1							2			1			23	t	23	cos 2x
			3			−											t	3
						−		3										3
								3

Пример 10. Вычислить интеграл

J = ∫

ln2 t +

ln t

dt .

Решение:

ln t = x

ln2 t + ln t

= ∫(x

+ x )dx =

J = ∫

dt =

∫x

dx + ∫ xdx =

= x3

+ 2

+ C = ln3 t + 2

( ln t )3

+ C.

4. Интегрирование по частям

4.1. Простейшие примеры

u = x −7;	du = dx
1. ∫(x −7) sin 5x dx =		1		=
dv = sin 5xdx;	v = ∫dv = ∫sin 5xdx = −		cos 5x
dv = sin 5xdx;	v = ∫dv = ∫sin 5xdx = −	5	cos 5x
		5

=−15 cos 5x (x −7) − ∫− 15 cos 5xdx = −15 cos 5x (x −7) + 15 ∫cos 5xdx =

=−15 cos5x (x −7) + 15 15 sin 5x +C = −15 cos 5x (x −7) + 251 sin 5x +C .

2.∫(x + 2)e

=13 e3x (x + 2) −

				u = x + 2;					du = dx
3x dx =
				dv = e3xdx; v = ∫e3x
	1				1					1
∫		e	3x	dx =		e	3x	(x + 2) −
	3				3					3

dx = 1 e3x =

13 e3x + C = 13 e3x (x + 2) − 19 e3x + C .

t =1 + x2

3. ∫arctgxdx =

= arctg x;

du =

= xarctg x − ∫

xdx

1 + x2

1 + x

dt = 2xdx

dv = dx;

v = x

= xarctg x −

1 ∫dt

= xarctg x

−

1 ln(1

+ x2 )

+ C .

− 4dx

− 4xdx

u = arccos4x;du =

1 −16x

∫

∫arccos4xdx =

= xarccos 4x −

v = x

1 −16x2

d (1 −

dv = dx;

16x2 )= −32xdx

−

d (1 −16x

= xarccos4x −

∫(1

−16x

) 2 d (1

−16x

− 4xdx =

)

= xarccos 4x − 1

(1 −16x2 )−

+ C = xarccos 4x −

1 −16x2 + C .

−

;

= x2ex − 2

xexdx =

∫

x2exdx = u = x

du = 2xdx

∫

dv = exdx; v = ex

u = x

dv = exdx

= x2ex − 2(xex − ∫exdx) = x2ex − 2xex + 2ex + C .

du = dx

v = ex

du =

u = ln x;

∫ln xdx =

= dx;

v = x

= xln x − ∫x x

= xln x − ∫dx = xln x − x + C .

u = log2 x;

du =

7. ∫log2 xdx =

ln 2

= xlog2 x −

∫dx

ln 2

v = x

dv = dx;

= xlog2 x −

+ C .

ln 2

du =

u = arcsin x;

1 − x2

= x

∫x arcsin x dx =

arcsin x − ∫

v = x

2 1 − x

dv = xdx;

= x =sin t; dx = costdt =

arcsin x −

1 ∫sin 2 tdt =

cost =

1 −t 2

∫(1 − cos 2t)dt

sin 2t

arcsin x −

arcsin x

−

t −

+ C

arcsin x −

sin t cost

+C =

arcsin x −

arcsin x

x 1 − x2

+C .

9. ∫ex x3dx = ∫x3 (ex dx) = ∫x3dex = x3ex − ∫ex dx3 =

= x3ex − ∫ex 3x2dx = x3ex −3∫x2 (exdx) =

= x3ex −3∫x2dex

= x3ex −3(x2ex −∫ex dx2 ) = x3ex −3(x2ex −∫ex 2xdx) =

= x3ex −3x2ex + 6∫xdex = x3ex −3x2ex + 6(xex − ∫exdx) =

=х3ex −3x2ex + 6xex − 6∫exdx =

=x3ex −3x2ex +6xex −6ex +C = ex (x3 −3x2 +6x −6) +C .

4.2.Возвратные интегралы

Пример 1. Вычислить интеграл I = ∫ a2 − x2 dx .

Решение:

u =

xdx

− x2

; du =

I = ∫

− x

a2 − x2

dx =

v = x

dv = dx;

= x a2 − x2 + ∫

x2dx

= x a2

− x2 − ∫

− x2dx

a2 − x2

= x a

− x

−∫

(a2

− x2 ) −a2

dx = x a

− x

−∫

− x2

∫

a2 − x2

dx +

dx =

− x2

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025542 Кб7наш вариант.doc
#
01.03.202586 Кб2Некрасов.doc
#
01.07.20255 Мб1нелинейная.docx
#
03.06.2015349 Кб1180Немецкий язык (технические тексты).pdf
#
03.06.20151 Мб7неопр.ин-л и индивид. задания.pdf
#
03.06.20152 Мб12неопр.ин-л лекции и практики.pdf
#
30.07.201988 Кб11Несчастный случай.doc
#
01.07.2025148 Кб0нефть.rtf
#
01.07.20252 Мб2нп Описание цепей упр-я (А4)..doc
#
01.03.2025146 Кб1Нт413СИЭ_Скутина_статистическая_практика.doc
#
03.06.201595 Кб25Облачные технологии.docx