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@´ |
³ z3 |
¡ z ´ |
= z : |
|
|
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|
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|
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|
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@z |
xy |
y |
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x |
|
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|||||||
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|
|
|
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’ ª ª ª y = ¡´z, x = |
» + z2 |
2 |
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-¨¥ ¯à¨¢¥¤ñâáï ª ¢¨¤ã |
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´(z2 ¡ ») @´@z
,â® ¯®á«¥ ¯®¤áâ -®¢ª¨ ãà ¢-¥-
=z(z2 + »):
• ¯¨á âì ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥ í⮣® ãà ¢-¥-¨ï -¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï- |
||||||||||||||||
¥âáï ¢®§¬®¦-ë¬, ¯®í⮬ã â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë ¨¬¥îâ ç¨áâ® â¥å-¨- |
||||||||||||||||
ç¥áª¨© å à ªâ¥à. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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“¯à ¦-¥-¨¥ 3.1. |
„®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥-æ¨- |
|||||||||||||||
à㥬ëå äã-ªæ¨© ¯à®¨§¢®«ì-®£® ç¨á« |
|
¯¥à¥¬¥--ëå: |
|
|
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) |
d(uv) = u dv + v du; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
¡) d(uv) = uv ln u du + vuv¡1 dv ¢ â®çª å, £¤¥ u > 0. |
||||||||||||||||
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.2. |
|
“¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥-¨¥: |
|
|
|
|||||||||||
) |
d(arcsin e¡u), ¥á«¨ u > 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¡) |
d(sin3(u2v) + ln(1 + arctg2 v)). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.3. |
‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨ |
|||||||||||||||
f(x; y) ¢ â®çª¥ (x0; y0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
) |
f(x; y) = arctg(x2 ¡ y2), (x0; y0) = (1; 1); |
|
|
|
|
|||||||||||
¡) |
f(x; y) = x cos x |
(x0; y0) = (¼; 2); |
|
|
|
|
|
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||||||||
|
|
|
|
y , |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
¢) |
f(x; y) = arcsin(xy), (x0; y0) = ³p |
|
; 21´. |
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.4. |
•à¥®¡à §®¢ âì ãà ¢-¥-¨¥, ¯¥à¥å®¤ï ª |
|||||||||||||||
-®¢ë¬ -¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥--ë¬. …᫨ 㤠áâáï, - ©â¨ ®¡é¥¥ |
||||||||||||||||
à¥è¥-¨¥ ãà ¢-¥-¨ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
) |
y @x@z |
¡ x |
@y@z |
= 0, » = x , ´ = x2 + y2; |
|
|
|
|
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¡) |
x @z |
+ y |
@z |
= z, » = x , ´ = y |
|
|
|
|
|
|
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@y |
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|
|
|
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x; |
|
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y = p |
||||
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x @z |
p |
|
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@z |
|
= 0 x = e |
|
|
|||||||
¢) |
+ |
1 + y2 |
|
= xy, » = ln x , ´ = ln(y + |
|
1 + y2 |
); |
|||||||||
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@x |
|
|
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@y |
|
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|
|
|
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|
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£) |
(x + y) @z |
(x |
¡ |
y) @z |
, |
|
» cos ´ , |
|
e» sin ´; |
|||||||
|
|
@x ¡ |
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
45
¤) (x + z) @x@z + (y + z) @y@z = x + y + z, » = x + z , ´ = y + z.
x 5. ˆáá«¥¤®¢ -¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥
…᫨ ä®à¬ã« , ª®â®à®© § ¤ ñâáï äã-ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥-- -ëå, ᮤ¥à¦¨â ¬®¤ã«¨, ª®à-¨ à §«¨ç-ëå á⥯¥-¥©, 䨣ãà-ë¥ áª®¡ª¨ (â.¥. ®¤- ä®à¬ã« ¯à¨ ®¤-¨å §- ç¥-¨ïå à£ã¬¥-⮢, ¤à㣠ï | ¯à¨ ¤à㣨å), â® ä®à¬ «ì-®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥, ª ª ¯à ¢¨«®, -¥¢®§¬®¦-®. ‚ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì -ã¦-® ¢ëïá-¨âì, ï¥âáï «¨ â ª ï äã-ªæ¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© ¢ â®çª å, £¤¥ ®¡à é îâáï ¢ -ã«ì ¯®¤ª®à¥--ë¥ ¢ëà ¦¥-¨ï ¨«¨ ¢ëà ¦¥-¨ï ¯®¤ §- ª®¬ ¬®¤ã«ï, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ý᪫¥©ª þ, â.¥. ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤-®© ä®à¬ã«ë ª ¤à㣮©. •à¨ í⮬ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ 㤮¡-® ¯à¨- ¤¥à¦¨¢ âìáï á«¥¤ãî饩 áå¥¬ë ¤¥©á⢨©.
1) ‚ëïá-¨¬ á- ç « , áãé¥áâ¢ãîâ «¨ ¢ ¨áá«¥¤ã¥¬®© â®çª¥ (x0; y0) ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥
A = |
@f |
(x0; y0); |
B = |
@f |
(x0; y0): |
(3.4) |
|
@x |
@y |
||||||
|
|
|
|
|
…᫨ å®âì ®¤- ¨§ -¨å -¥ áãé¥áâ¢ã¥â | -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥ç¨ ® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠¢ â®çª¥.
2) …᫨ ®¡¥ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ, â® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì ᢮¤¨âáï ª à ¢¥-áâ¢ã
lim |
f(x0 |
+ ¢x; y0 |
+ ¢y) ¡ f(x0; y0) ¡ A ¢ ¢x ¡ B ¢ ¢y |
: (3.5) |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
¢y!!0 |
|
|
p(¢x)2 + (¢y)2 |
|
||
¢x 0 |
|
|
|
|
|
|
…᫨ äã-ªæ¨ï -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0; y0), â® à - ¢¥-á⢮ (3.5) -¥ ¢ë¯®«-ï¥âáï -¨ ¯à¨ ª ª¨å A, B. …᫨ ¤¨ää¥-
à¥-æ¨à㥬 | ¢ë¯®«-ï¥âáï ¯à¨ A, B, ®¯à¥¤¥«ñ--ëå ¨§ (3.4).
•®í⮬ã, ¥á«¨ A ¨ B - ©¤¥-ë ¨§ (3.4), â® -ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì
¢ë¯®«-¥-¨¥ à ¢¥-á⢠(3.5).
‚ ¤ «ì-¥©è¥¬, ¥á«¨ -¥ ®£®¢®à¥-® ¯à®â¨¢-®¥, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨á- á«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì äã-ªæ¨¨ f(x; y) ¢ â®çª¥ (0; 0).
46
|
•à¨¬¥à |
3.13. |
|
f(x; y) |
|
|
= |
|
x2 |
+ xy + y2 |
. |
’ ª ª ª |
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@f |
(0; 0) = |
d |
f(x; 0) |
|
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= |
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d |
|
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xp |
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|
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|
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@x |
|
|
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dx |
|
|
|
|
|
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|
dx |
|
|
x=0 |
x=0 |
|
| -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® |
|||||||||||||
f(x; y) -¥ ï¥âáï ¤¨ää¯ |
¥à¥-æ¨àãj ¥j¬®©¯ |
¢ â®çª¥ (0; 0). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 3.14. |
|
|
¯ |
|
|
|
|
® |
|
|
¯¯, £¤¥ |
|
, |
|
. |
||||
|
|
|
|
f(x; y) = jxj |
|
jyj |
|
® > 0 ¯ > 0 |
|
|||||||||||
|
ˆ¬¥¥¬ @f (0; 0) = |
|
d |
f(x; 0) |
|
|
|
|
= 0, â ª ª ª f(x; 0) = 0 ¯à¨ |
|||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
@x |
|
|
|
|
|
¯x=0 |
|
|
|
|
|
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|
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
¢á¥å x. €- «®£¨ç-®, |
@y |
(0; 0) =¯ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
(3.5) ¯à¨ x0 = |
|||||
|
Žáâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«-¥-¨¥ à ¢¥-á⢠|
|||||||||||||||||||
= y0 = 0, f(0; 0) = 0, A = B = 0, â.¥. ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥- «¨ -ã«î
lim |
|
f(¢x; ¢y) |
= lim |
|
|
|
j¢xj®j¢yj¯ |
|
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p(¢x)2 + (¢y)2 |
|
|
|
|
||||||||||
¢x 0 |
¢x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
¢y!!0 |
¢y!!0¢p(¢x)2 + (¢y)2 |
|
||||||||||||
…᫨ ¢¢¥á⨠¯®«ïà-ë¥ ª®®à¤¨- âë |
|
x = ½ cos ', ¢y = ½ sin ', |
||||||||||||
â® ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
½®j cos 'j®½¯j sin 'j¯ |
|
= ½®+¯¡1 |
|
|
cos ' |
® |
sin ' |
¯ |
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p½2 cos2 ' + ½2 sin2 ' |
|
|
|
j |
j |
j |
j |
|
|
|||||
…᫨ ® + ¯ > 1, â® ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥, ¡ã¤ãç¨ -¥®âà¨- æ ⥫ì-ë¬, -¥ ¯à¥¢®á室¨â ½®+¯¡1. •®á«¥¤-ïï äã-ªæ¨ï ®â ½
áâ६¨âáï ª -ã«î ¯à¨ ½ ! +0. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« à ¢¥- 0, ¨ äã-ªæ¨ï f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥
(0; 0).
…᫨ ® + ¯ = 1, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥-¨¥ à ¢-® j cos 'j®j sin 'j¯, â.¥. -¥ § ¢¨á¨â ®â ½. •à¥¤¥«ë ¯® à §-ë¬ - -
¯à ¢«¥-¨ï¬ à §«¨ç-ë, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã-ª- æ¨ï f(x; y) -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0).
• ª®-¥æ, ¥á«¨ ® + ¯ < 1, â® ¯à¨ ' =6 ¼k2 , k 2 Z, ᮮ⢥â- áâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥-¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®-¥ç-ë© ¯à¥¤¥« ¯à¨ ½ ! +0.
’¥¬ ¡®«¥¥ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥«, ¨ äã-ªæ¨ï f(x; y) -¥
¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 |
¢ â®çª¥ (0; 0). |
|
|
||
— áâ-ë¥ á«ãç ¨ ¯à¨¬¥à 3.14 ¡ë«¨ à áᬮâà¥-ë ¢ëè¥. |
|||||
…᫨ ® = ¯ = |
1 |
â® |
f(x; y) -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ |
||
|
2, |
|
2 |
|
|
(0; 0) (¯à¨¬¥à 3.4), ¥á«¨ ® = ¯ = |
| ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 (¯à¨- |
||||
|
|
|
|
3 |
|
¬¥à 3.5). …᫨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.14 ® ¨ ¯ п¢«повбп а ж¨®- «м-л¬¨ з¨б« ¬¨, ¢ла ¦¥--л¬¨ ¤а®¡п¬¨ б -¥зсв-л¬ §- ¬¥- в¥«¥¬, в®
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
3), |
f(x;p |
|
|
||||||
¬®¤ã«¨ ¢ ãá«®¢¨¨ ¬®¦-® ®¯ãáâ¨âì. • ¯à¨¬¥à, f(x; y) = 3 |
|
x2y |
||||||||||||||||||||||||||||
-¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0) (® = 2 |
¯ = 1 |
|
|
|
y) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(® = 53, ¯ = 54). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 5 |
x3y4 | ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
•à¨¬¥à 3.15. |
|
|
f(x; |
p |
|
|
. ˆ¬¥¥¬: @f |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
f(x; y) = x + y |
|
|
|
|
|
@x (0; 0) = |
||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
f(x; 0) = 1, â ª ª ª |
|
|
|
0) = x ¯à¨ ¢á¥å x. €- «®£¨ç-®, |
|||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(0; 0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
@y |
•ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥« |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0) ¡ ¢x ¡ ¢y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
¢y!!0 |
|
|
|
|
p(¢x)2 + (¢y)2 |
|
|
3 (¢x)3 + (¢y)3 |
|
¢x ¢y |
|
||||||||||||||||||
|
¢x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
p |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
(¢x)2 + (¢y)2 |
|
|
|
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢y!0 p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
•®á«¥ ¢¢¥¤¥-¨ï ¯®«ïà-ëå ª®®à¤¨- â ¢x = ½ cos ', ¢y = |
||||||||||||||||||||||||||||
= ½ sin ', ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
½3 cos3 ' + ½3 sin3 |
' |
¡ ½ cos ' ¡ ½ sin ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
½2 cos2 ' + ½2 sin2 ' |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
=3 cos3 ' + sin3 ' ¡ cos ' ¡ sin ':
Š®-¥ç-®¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ -¥ § ¢¨á¨â ®â ½, ¯à¥¤¥«ë ¯® à §-ë¬ - -
¯à ¢«¥-¨ï¬ à §«¨ç-ë, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã-ª- æ¨ï f(x; y) -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0).
•à¨¬¥à 3.16. |
|
(x) = 3 |
x3 + y4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ˆ¬¥¥¬: @f@x (0; 0)f |
= |
d |
fp(x; 0) = 1, â ª ª ª f(x; 0) = x ¯à¨ |
||||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||||
¢á¥å x. |
„ «¥ |
|
f(0; y) = |
|
|
|
|
|
@y (0; 0) = |
|
f(0; y)¯y=0 |
= |
|||||||||||||
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 4 |
|
|
. |
|
|
|
4 ¨ |
@f |
|
|
|
d |
¯ |
|
|
|
|||||||
|
|
¥, |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|||||||||||
= lim |
|
(¢y) |
= 0 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¢y!0 |
p¢y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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¢y!0 |
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(¢x)2 + (¢y)2 |
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¢x 0 |
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48
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ˆ-®£¤ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠¯®«¥§-® ¯à¨¬¥-ïâì ⥮६㠮 ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠᫮¦p -®© äã-ªæ¨¨.
•à¨¬¥à 3.17. f(x; y) = ln(3 + cos(xy) + 4 x2jyj3). p
4 x2jyj3 ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥
(0; 0) (¯à¨¬¥à 3.14 ¯à¨ ® = |
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3 + cos(xy) § ¢¥¤®¬® -¥¯à¥àë¢-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ «î¡®©
p
â®çª¥, â® äã-ªæ¨ï u(x; y) = 3 + cos(xy) + 4 x2jyj3 ¤¨ää¥à¥-- æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0), ¯à¨çñ¬ u(0; 0) = 4. ’ ª ª ª ¢-¥è-ïï äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ln u ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u =
= 4, â® á«®¦- ï äã-ªæ¨ï f(x; y) = ln u(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬
¢ â®çª¥ (0; 0). |
x |
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p |
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(0; 0) |
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•à¨¬¥à 3.18. f(x; y) = sin(ex+y + 3 |
x3 |
+ y3 |
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p |
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¡ã¤¥¬ à áá㦤 âì ®â ¯à®â¨¢-®£®. •ãáâì f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨-
à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0), f(0; 0) = sin 1. ’®£¤ äã-ªæ¨ï g(x; y) =
p
= ex+y + 3 x3 + y3 = arcsin f(x; y) â ª¦¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0). ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢-¥è-ïï äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥- ¬¥--®© arcsin u ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u = sin 1, ¯®í⮬ã
á«®¦- ï äã-ªæ¨ï g(x; y) = arcsin f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ |
||||
æ¨à㥬 ï äã-ªæ¨ï ¢ |
p |
(0; 0) |
||
â®çª¥ (0; 0). •® ⮣¤ |
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= g(x; y) ¡ ex+y | ¤¨ää¥à¥-- |
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¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® äã-ªæ¨ï f(x; y) -¥ ¤¨ää¥à¥--
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¢ â®çª¥ (0; 0). |
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¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì ¨ ¯® ®¡é¥© á奬¥, |
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-® â ª¨¥ à áá㦤¥-¨ï ¤®áâ â®ç-® £à®¬®§¤ª¨ ¨ âॡãîâ -¥ª®- |
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xy |
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49
¬¥àã 3.18, ¬®¦-® ¤®ª § âì -¥¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì á«®¦-®© äã-ªæ¨¨ f(x; y). •® §¤¥áì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥-¨¥ -¥ ¯à®©¤ñâ,
¯®â®¬ã çâ® f(0; 0) = 1, äã-ªæ¨ï arccos u -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨- à㥬 ¢ â®çª¥ u = 1 (íâ äã-ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥- «¨èì - ®â१ª¥ [¡1; 1], ¢ ª®-æ å ¥£® ¨¬¥¥â ¡¥áª®-¥ç-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥). •à¨-
¤ñâáï ¯à¨¬¥-¨âì ®¡éãî á奬ã. |
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€- «®£¨ç-®, |
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(0¯; 0) = 0. ’ ª ª ª |
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f(0; 0) = 1, â® -ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥« |
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f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0) |
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(¢x) |
2 |
+ (¢y) |
2 |
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¢x!0 |
|
|
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(¢x)2 |
+ (¢y)2 |
||||||||||||||||||
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¢y |
! |
0 |
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(0; 0) |
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3 |
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-ã«î á®åà -¨âáï, ¨, ¯®å®¦¥, ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì ¡ã¤¥â ¨¬¥âì |
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¬¥áâ®. ’¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ íâ® |
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= 2 sin2 |
½2 cos ' sin ' |
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= 2 ½ |
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¨á¯®«ì§®¢ -ë ä®à¬ã« âਣ®-®¬¥âਨ 1 ¡ cos ® = 2 sin2 ®
2 ¨
-¥à ¢¥-á⢮ j sin ®j 6 j®j, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¯à¨ ¢á¥å §- ç¥-¨ïå ®).
‡- ç¨â, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.6) à ¢¥- 0, ¨ äã-ªæ¨ï f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0).
50
•®¯à®¡ã¥¬ ⥯¥àì à §®¡à âìáï ¢ ⮬, ¬®¦-® «¨ ¯à¨ - 宦- ¤¥-¨¨ í⮣® ¤¢®©-®£® ¯à¥¤¥« ¯à¨¬¥-ïâì à §«®¦¥-¨¥ ª®á¨-ãá ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à . ˆ§ à ¢¥-á⢠(1.2) ¨¬¥¥¬
£¤¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¡¥« |
äã-¢ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå. |
|||||||||||||||||||||||||||
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) = 1 |
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1 |
(p3 |
xy |
)2 |
+ o (p3 |
xy |
)2 |
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x |
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0; y |
! |
0; |
|||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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x2 + y2. •®í⮬ã |
(p3 |
|
)2 6 ½4=3, |
||||||||||||||||||||||||
xy |
||||||||||||||||||||||||||||
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|
)2)j j= ®(x; y)(p3 |
xyp)2 = ®(x; y) |
(p3 |
|
)2 |
j½4=3 |
= jo(½4=3), |
||||||||||||||||||||
|
|
xy |
||||||||||||||||||||||||||
xy |
||||||||||||||||||||||||||||
½4=3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
â ª ª ª äã-ªæ¨ï ¯(x; y) = ®(x; y) |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
½4=3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
®£à -¨ç¥--ãî. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
‡- ç¨â, cos(p3 |
|
|
) ¡ 1 = ¡ 21 (p3 |
|
)2 + o(½4=3), ¨ |
|
|||||||||||||||||
|
xy |
xy |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(¢x) |
+ (¢y) |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos(p3 |
¢x¢y |
) ¡ 1 |
= |
|
1 |
3 |
(¢x)2(¢y)2 |
|
+ o(½1=3); |
(3.7) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
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p |
2 |
¡ |
2 |
p |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x ¢x y |
¢y ½ = |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
(¢x)2 |
+ (¢y)2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
¯®á«¥¤-¥¬ à ¢¥-á⢥ |
§ ¬¥-¨«¨ |
- |
|
, |
- |
, |
|||||||||||||||||
= p |
|
). |
•¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.7) |
|||||||||||||||||||||
(¢x)2 + (¢y)2 |
||||||||||||||||||||||||
¨¬¥¥â ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ¢x ! 0, ¢y ! 0 (í⮠ᮮ⢥â-
p
áâ¢ã¥â ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠äã-ªæ¨¨ 3 x2y2 ¢ â®çª¥ (0; 0) |
á¬. ¯à¨¬¥àë 3.5 ¨ 3.14). ‚â®à®¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥«, à ¢-ë© -ã«î, â ª ª ª ½1=3 | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¯à¨ ¢x ! 0,
¢y ! 0. •â¨¬ ¤®ª § - ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì äã-ªæ¨¨ f(x; y)
¢â®çª¥ (0; 0).
’ª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ -¥ ¯à®é¥ ¯à¥¤ë¤ã饣®. •®í⮬ã, ¥á«¨ ¥áâì ¢®§¬®¦-®áâì ®¡®©â¨áì ¡¥§ à §«®¦¥-¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à , â® «ãçè¥ í⮩ ¢®§¬®¦-®áâìî ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï. ’¥¬ -¥ ¬¥-¥¥ ¡ë¢ îâ á«ãç ¨, ª®£¤ ¯à¨¬¥-¥-¨¥ ä®à¬ã«ë ’¥©«®à ï¥âáï ¥¤¨-á⢥--ë¬ à §ã¬-ë¬ á¯®á®¡®¬ ¢ëç¨á«¥-¨ï ¤¢®©- -®£® ¯à¥¤¥« . p p
•à¨¬¥à 3.20. f(x; y) = 5 xy ¡ sin( 5 xy).
‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x; 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, ¯®í⮬ã @f (0; 0) =
¯ @x
= d f(x; 0)¯¯ = 0. €- «®£¨ç-®, @f (0; 0) = 0. dx x=0 @y