petrovic
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61 ¯à®¨§¢®¤-ë¥ (f(x; y) = 2xy ¢ I ç¥â¢¥àâ¨, f(x; y) = ¡2xy ¢ III
ç¥â¢¥àâ¨, f(x; y) = 0 ¢® II ¨ IV ç¥â¢¥àâïå). |
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f(x; 0)¯x=0 = 0, - «®£¨ç-® |
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¢x!0 |
(¢x)2 |
+ (¢y)2 |
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) f(x; y) = x2 + y2; |
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¡) f(x; y) = p5 x5 |
¡ |
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x3y2); |
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f(x; y) = sin(2xy |
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p |
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) f(x; y) = x4 + y4; |
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¡) f(x; y) = p3 x4 |
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y4; |
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|
¡ x2 + y2 |
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4 |
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4 |
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+ x y |
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f(x; y) = p |
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2 |
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2 |
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|
2 |
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£) |
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3 |
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) f(x; y) = ( |
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(x3 + y3)2 |
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; x2 + y2 > 0, |
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x = y = 0; |
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|
x5 + y5 |
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2 |
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|
2 |
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¡) f(x; y) = |
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|
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2 |
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|
2 |
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4 |
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|
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0; |
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+ x |
y |
|
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|
+ y |
|
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|
x = y = 0; |
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¢) f(x; y) = ( |
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x3y2 |
|
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|
; x2 + y2 >;0, |
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x6 |
+ y6 |
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3 2 |
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x = y = 0 |
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0; |
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||
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|
x y |
|
|
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2 |
|
|
|
|
2 |
|
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£) f(x; y) = |
|
|
|
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|
; x + y |
|
|
> 0, |
|
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|
(x6 + y6)2=3 |
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|
|
0; |
|
|
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x3 |
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|
x = y = 0; |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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1=4 ; x2 + y2 > 0, |
|
|
|
|
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|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
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|
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|
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3 |
|
|
|
|
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´ |
|
|
|
|
|
|
|
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f(x; y) = |
8 |
|
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|
6 |
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
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|
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|
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|||||||
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|
x + y |
|
|
¡ 2 x |
y |
|
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x = y = 0; |
|
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
0; |
|
|
|
(y2 |
|
¡ xy)2 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
1=3 ; x2 + y2 > 0, |
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|
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|
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|
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|
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³ |
|
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|
|
|
|
|
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4 |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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¥) |
f(x; y) = |
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
|
|
|
x + y |
|
|
¡ 3 x |
y |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y = 0. |
|
|
|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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) f(x; y) = epxy |
|
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p3 xy; |
|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||
|
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3 |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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f(x; y) = sh p7 |
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
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8 |
|
|
|
|
y |
¡ x |
|
+ y ¡ x + |
xy |
|
(x ¡ y) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
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xe ¡ ye |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
¢) f(x; y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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; x + y |
|
> 0, |
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|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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(x2 + y2)3=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x = y = 0; |
|
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|
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: xey ¡ yex |
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+ y ¡ x + |
xy |
|
(x ¡ y) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
£) f(x; y) = |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; x + y |
|
> 0 |
|
|||||||||
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y = 0; |
|
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|
|
ch |
|
p |
|
|
|
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|
|
|
|
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p |
|
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3 |
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2 |
|
2 |
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¤) |
f(x; y) = |
6 |
|
jxyj + cos |
6 |
|
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|
|
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|
0; |
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jxyj |
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xy |
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2 |
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2 |
x = y = 0. |
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y arctg x + |
|
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(y |
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x ) |
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x arctg y |
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¡ |
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¥) f(x; y) = |
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¡ |
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; x + y > 0, |
||||||||||||||||||||||||
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(x2 + y2)5=2 |
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) |
f(x; y) = x4=5(cos(p5 |
|
) ¡ 1); |
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63 |
|
f(x; y) = y + cos |
|
p |
|
|
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¡) |
f(x; y) = y2=3 arctg |
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jxj; |
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¢) |
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3 |
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x2 + y2 |
|
y = 0; |
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x3 arctg |
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y |
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2 ; |
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£) f(x; y) = |
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y |
p |
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
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|
|
|
|
x + y |
|
|
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|
6 |
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|
||||||||
|
f(x; y) = |
p |
|
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|
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x2 |
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|
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, |
|
|
|
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5 |
sin x(1 ¡ cos xy); |
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|
|
|
|
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0; |
r |
j |
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j |
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y = 0. |
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|
|
|
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¥) f(x; y) = |
8y sin |
|
|
|
|
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; |
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y 6= 0 |
|
|
|
|
|
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y |
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|
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|
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x = y = 0, |
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|
f(x; y) = ½A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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(3x2 + y2)® ln(2 + x |
|
3y): |
x2 |
+ y2 > 0, |
|||||||||||||||||
¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0), ¨ ¯à¨ íâ¨å ® ¨ A - ©â¨ ¤¨ä- ä¥à¥-æ¨ « df(0; 0).
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.11. ˆáá«¥¤®¢ âì äã-ªæ¨î f(x; y) - ¤¨ä-
ä¥à¥-æ¨à㥬®áâì ¢ ¤ --®© â®çª¥: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
) f(x; y) = arctg(3 + jx + 3j2=5jy ¡ 1j3=4) ¢ â®çª¥ (¡3; 1); |
||||||||||||||
¡) f(x; y) = cos µ¼4 + |
¯x ¡ ¼2 |
¯2=7 jyj4=5¶ |
¢ â®çª¥ ³¼2 ; 0´; |
|||||||||||
¢) f(x; y) = |
(xy + 3)¯ |
|
2x2 |
¯+ y2 + xy |
¡ |
2x + 3y + 4 |
¢ â®çª¥ |
|||||||
(1; 2); |
|
|
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¯p |
|
|
¯ |
|
|
|
|
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¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£) f(x; y) = (x2 + xy |
¡ |
4) |
|
x2 + y2 |
+ xy ¡ 4x ¡ 2y + 4 |
¢ â®çª¥ |
||||||||
(2; 0). |
|
|
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p |
|
|
||||||||
“¯à ¦-¥-¨¥ 3.12. • ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®- |
||||||||||||||
á⨠äã-ªæ¨¨: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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) f(x; y) = jx2 ¡ y2j; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¡) f(x; y) = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + jxyj |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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¢) f(x; y) = (y ¡ jxj)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Žâ¢¥âë ª ã¯à ¦-¥-¨ï¬
2.1. ) • §àë¢- |
¢ â®çª¥ (0; 0), -¥¯à¥àë¢- ¢ ®áâ «ì-ëå â®ç- |
ª å; ¡) à §àë¢- |
¢ â®çª å (0; y0), £¤¥ y0 6= 0, -¥¯à¥àë¢- ¢ |
®áâ «ì-ëå â®çª å; ¢) à §àë¢- ¢ â®çª å (x0; x0), £¤¥ x0 =6 0,
64
-¥¯à¥àë¢- |
¢ ®áâ «ì-ëå â®çª å; £) -¥¯à¥àë¢- ¢ â®çª¥ (0; 0), |
||||||||||||
à §àë¢- ¢ ®áâ «ì-ëå â®çª å. |
¼2 |
|
dy; ¢) dx + 2p |
|
|
|
|||||||
3.3. |
) 2 dx ¡ 2 dy; ¡) ¡ ¼2 dx + |
|
|
dy. |
|
||||||||
|
3 |
|
|||||||||||
4 |
|
||||||||||||
3.4. |
) z = f(x2 + y2); ¡) z = xf |
xy |
; ¢) |
@z@» + @´@z = e» sh ´; £) |
|||||||||
@z |
@z |
@z |
³ |
|
´ |
@z |
= » + ´ ¡ z |
. |
|||||
@» = |
@´ ; ¤) (2» + ´ ¡ z) @» |
+ (» + 2´ ¡ z) |
@´ |
|
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‚ ®â¢¥â å ª ®áâ «ì-ë¬ ã¯à ¦-¥-¨ï¬ ý¤ þ ®§- ç ¥â, çâ® |
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3.7. |
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¡) -¥â; |
¢) ¤ ; |
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£) -¥â; |
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¤) ¤ ; |
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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3.8. |
|
|
|
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|
|
|
|
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) ¤ ; |
|
¡) ¤ ; |
¢) ¤ ; |
|
|
£) -¥â; |
|
||||||
¤) ¤ ; |
|
¥) -¥â. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ¤ ; |
|
¡) ¤ ; |
¢) ¤ ; |
|
|
£) -¥â; |
|
||||||
¤) -¥â; |
¥) ¤ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3.10. |
•à¨ ® = 0, A = ln 2 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0; 0) = dx ¡ 3 dy |
||||||||||||
¯à¨ ® > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ); |
||
A = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0; 0) = 0). |
|
||||||||||||
3.11. |
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ¤ ; |
|
¡) ¤ ; |
¢) -¥â; |
|
£) ¤ . |
|
|||||||
3.12. |
|
) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª å (x; y) â ª¨å, çâ® y 6= §x, |
|||||||||||
â ª¦¥ ¢ â®çª¥ (0; 0). •¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 |
¢ ®áâ «ì-ëå â®ç- |
||||||||||||
ª å; ¡) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 |
¢ â®çª å (x; y) â ª¨å, çâ® xy 6= 0, |
||||||||||||
â ª¦¥ ¢ â®çª¥ (0; 0). •¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 |
¢ ®áâ «ì-ëå â®ç- |
||||||||||||
ª å; ¢) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 |
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|
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