320 Вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии,

ПОЛЕЗНЫХ К РАЗМЫШЛЕНИЮ ПЕРЕД ЭКЗАМЕНОМ

(ОСОБЕННО ДОСРОЧНЫМ). СЕМЕСТР 2.

(И особенно на потоке в.Т.Петровой)

1. Пусть – матрица фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений. Можно ли через выразить любую из матриц ФСР? Каким образом? Почему?

2. Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений . Какова фундаментальная матрица системы линейных однородных уравнений ? Почему?

3. Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений . Какова фундаментальная матрица системы линейных однородных уравнений ? Почему?

4. Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений с переменными и – столбец такой, что произведение определено. Докажите, что есть также решение этой системы уравнений.

5. Сколько решений может иметь система линейных уравнений , если столбцы ее матрицы линейно независимы? Почему?

6. Сколько решений может иметь система линейных уравнений , если строки ее матрицы линейно независимы? Почему

7. В каком случае линейная неоднородная система уравнений из уравнений с переменными имеет единственное решение?

8. Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений с переменными . Определите ранг матрицы

9. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений некоторой системы линейных однородных уравнений? Почему?

10. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений? Почему?

11. Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений некоторой системы линейных однородных уравнений? Почему?

12. Определите, какова размерность пространства решений системы линейных уравнений: ? Почему?

13. Определите, какова размерность пространства решений линейного уравнения: ? Почему?

14. Докажите «альтернативу Фредгольма»: система линейных уравнений либо совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение.

15. Докажите, что если две совместные системы линейных уравнений эквивалентны, то их ранги равны.

16. Пусть присоединение одного уравнения к системе линейных уравнений не меняет множества решений. Докажите, что в этом случае присоединяемое уравнение есть линейная комбинация уравнений исходной системы уравнений.

17. Для совместной системы линейных уравнений составлена система линейных уравнений: . Будет ли она совместна? Почему?

18. Для несовместной системы линейных уравнений составлена система линейных уравнений: . Будет ли она совместна? Почему?

19. Сравните ранги матриц и , где M .

20. Пусть M , верно ли, что всегда матрица – квадратная и невырожденная? Почему?

21. Докажите, что в линейном пространстве нейтральный элемент и элемент, противоположный данному элементу, определяются единственным образом.

22. Докажите, что если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

23. Докажите, что если система векторов линейно содержит линейно зависимую подсистему векторов, то эта система линейно зависима.и любая ее подсистема линейно независима.

24. Докажите, что все базисы линейного пространства состоят из одного количества векторов.

25. Является ли подпространством линейного пространства пересечение двух его подпространств? Почему?

26. Является ли подпространством линейного пространства объединение двух его любых подпространств? Почему?

27. Может ли быть объединение двух подпространств линейного пространства быть его подпространством? Почему?

28. Всякое ли подпространство линейного пространства (не обязательно конечномерного) имеет в нем дополнительное подпространство? Почему?

29. Всякое ли подпространство конечномерного линейного пространства имеет в нем дополнительное подпространство? Почему?

30. Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из одного элемента? Почему?

31. Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из двух элементов? Почему?

32. Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из конечного числа элементов? Почему?

33. Подпространство конечномерного линейного пространства задано некоторой системой линейных уравнений. Как найти какой-либо базис этого подпространства?

34. Пусть – линейная оболочка системы векторов , координаты которых в некотором базисе –мерного линейного пространства известны. Как задать это подпространство системой линейных уравнений?

35. Каждое из двух подпространств линейного пространства задано системой линейных уравнений, как задать системой пересечение этих подпространств?

36. Каждое из двух подпространств линейного пространства задано системой линейных уравнений, как задать системой сумму этих подпространств?

37. В координатном линейном пространстве рассматривается подмножество всех векторов-столбцов таких, что сумма всех элементов столбца – нулевая. Является ли это подмножество подпространством в линейном пространстве столбцов? Почему?

38. В координатном линейном пространстве рассматривается подмножество всех векторов-столбцов таких, что имеется сумма двух элементов столбца равная единице. Является ли это подмножество подпространством в линейном пространстве столбцов? Почему?

39. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка рассматривается подмножество всех вырожденных матриц. Является ли это подмножество подпространством этого линейного пространства? Почему?

40. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка рассматривается подмножество всех невырожденных матриц. Является ли это подмножество подпространством этого линейного пространства? Почему?

41. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка рассматривается подмножество всех диагональных матриц. Является ли это подмножество подпространством этого линейного пространства? Почему?

42. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка рас-сматривается подмножество всех матриц с нулевой суммой элементов главной диагонали. Является ли это подмножество подпространством этого линейного пространства? Почему?

43. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка рассматривается подмножество всех матриц со всеми нулевыми элементами главной диагонали. Является ли это подмножество подпространством линейного пространства квадратных матриц одного порядка? Почему?

44. В множестве квадратных матриц третьего порядка рассматривается два отображения: M M M (умножения матриц) и M M . Определяют ли они на M структуру линейного пространства? Почему?

45. Является ли множество всех функций, непрерывных на заданном отрезке относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством? Почему?

46. Является ли множество всех функций, непрерывных на заданном отрезке и таких, что для всякой , относительно операций умножения функций и умножения функции на число линейным пространством? Почему?

47. Является ли множество всех функций, непрерывных и ограниченных на заданном отрезке относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством? Почему?

48. Является ли множество всех функций, непрерывных и неограниченных на заданном интервале относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством? Почему?

49. Является ли множество всех функций, дифференцируемых на множестве относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством? Почему?

50. Докажите, что пересечение подпространств любого линейного пространства есть его подпространство.

51. Докажите, что сумма подпространств любого линейного пространства есть его подпространство.

52. В линейном пространстве имеется вектор , где и , причем и , следует ли из этого , что сумма подпространств и прямая? Почему?

53. В линейном пространстве имеется вектор , где и , причем , может ли сумма подпространств быть прямой? Почему?

54. Верно ли, что линейное пространство , если существует вектор такой, что его разложение такое, что и единственно? Почему?

55. Верно ли, что если в линейном пространстве , если для одного вектора единственно разложение такое, что и , то каждый вектор этого пространства имеет единственное разложение на векторные слагаемые, принадлежащие подпространствам и ? Почему?

56. Линейное пространство имеет размерность , тогда всякая его система векторов, содержащая более векторов, линейно зависима. Почему?

57. Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве? Почему?

58. Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве? Почему?

59. – почему?

60. – почему?

61. Известно, что в линейном пространстве его всякая система векторов, содержащая более векторов, линейно зависима. Является ли это пространство конечномерным? Почему?

62. Известно, что в линейном пространстве его всякая система векторов, содержащая более векторов, линейно зависима. Является ли это пространство конечномерным? Можно ли определить размерность этого пространства? Почему?

63. Всякое подпространство конечномерного линейного пространства также конечномерно, причем, если подпространство , то ≤ . Почему?

64. Размерность подпространства линейного пространства равна , тогда . Почему?

65. Линейное пространство имеет размерность , тогда всякая его система векторов, содержащая более векторов, линейно зависима. Почему?

66. В девятимерном линейном пространстве заданы два подпространства размерности 6 и 5. Каковы наибольшие и наименьшие значения размерностей суммы и пересечения этих подпространств? Почему?

67. Какова размерность линейного пространства квадратных матриц M ? Почему?

68. Какова размерность подпространства линейного пространства квадратных матриц M , состоящего из всех симметрических матриц? Почему?

69. Какова размерность подпространства линейного пространства квадратных матриц M , состоящего из всех кососимметрических матриц? Почему?

70. Может ли при гомоморфизме линейных пространств нулевой вектор отображаться в ненулевой? Почему?

71. Может ли при гомоморфизме линейных пространств ненулевой вектор отображаться в нулевой? Почему?

72. Может ли при линейном отображении система линейно независимых векторов отображаться в линейно зависимую систему? Почему?

73. Может ли при линейном отображении система линейно зависимых векторов отображаться в линейно независимую систему? Почему?

74. Известно, что некоторая система векторов линейного пространства линейно независима и при линейном отображении отображается в линейно независимую систему векторов. Следует ли из этого свойства, что – изоморфизм? Почему?

75. Если линейное пространство изоморфно линейному пространству , то линейное пространство изоморфно линейному пространству . Почему?

76. Если линейное пространство изоморфно линейному пространству , а линейное пространство изоморфно линейному пространству , то линейное пространство изоморфно линейному пространству . Почему?

77. , верно ли, что ? Почему?

78. , верно ли, что ? Почему?

79. , верно ли, что ? Почему?

80. , верно ли, что ? Почему?

81. , верно ли, что ? Почему?

82. , верно ли, что ? Почему?

83. , тогда является подпространством линейного пространства . Почему?

84. , тогда является подпространством линейного пространства . Почему?

85. Если , то . Почему?

86. , причем , тогда инъективно. Почему? Верно ли обратное? Почему?

87. Как связаны ранг и дефект линейного отображения и свойство сюръективности этого отображения? Почему?

88. Как связаны ранг и дефект линейного отображения и свойство инъективности этого отображения? Почему?

89. и имеет нулевое ядро. Означает ли это, что сюръективно? Почему?

90. , сравните размерности: с и .

91. и является изоморфизмом этих линейных пространств, укажите и .

92. Когда имеет обратное отображение? Почему?

93. Когда имеет обратное отображение? Почему?

94. Если имеет обратное отображение, определите, является ли . Почему?

95. Известно, что ранг матрицы линейного отображения равен 3. Можно ли определить размерность ядра этого отображения? Почему?

96. и имеет нулевое ядро. Является ли отображение изоморфизмом? Почему?

97. и имеет нулевое ядро. Является ли отображение сюръективным? Почему?

98. и dim . Является ли отображение инъективным? Почему?

99. и . Означает ли это инъективность отображения ? Почему?

100. Является ли ортогональное проектирование линейного пространства всех свободных (геометрических) векторов на его одномерное подпространство (свободных векторов, параллельных некоторой прямой) линейным отображением? Почему? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

101. Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства всех дифференцируемых функций на отрезке ? Почему? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

102. Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов? Почему? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

103. Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов? Почему? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

104. Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов степени не выше ? Почему? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

105. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше в стандартном базисе в этом линейном пространстве?

106. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше в базисе этого линейного пространства?

107. Какова матрица дифференцирования многочленов степени не выше в базисе этого линейного пространства?

108. Может ли матрица быть матрицей изоморфизма некоторых линейных пространств? Почему?

109. Может ли матрица быть матрицей изоморфизма некоторых линейных пространств? Почему?

110. Может ли матрица быть матрицей изоморфизма некоторых линейных пространств? Почему?

111. Верно ли, что для всякого найдется диагональная матрица порядка такая, что ее левый верхний блок – единичная матрица, а правый нижний – нулевая? Почему? При каких и это возможно? Почему?

112. Докажите, что для любого существуют базисы и , относительно которых матрица имеет вид , если – ненулевое отображение.

113. Матрица линейного оператора симметрическая в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в другом базисе этого линейного пространства? Почему?

114. Матрица линейного оператора кососимметрическая в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в другом базисе этого линейного пространства? Почему?

115. , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если в базисе изменить порядок векторов на противоположный? Почему?

116. , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если в базисе изменить порядок векторов на противоположный? Почему?

117. , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если в каждом из базисов и изменить порядок векторов на противоположный? Почему?

118. , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если все векторы базисов и умножить на 2? Почему?

119. , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если все векторы базиса умножить на 2, а все векторы базиса поделить на 2? Почему?

120. , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если все векторы базиса умножить на 2, а все векторы базиса умножить на 4? Почему?

121. , как изменится матрица этого линейного оператора, если в базисе , относительно которого она задана, изменить порядок векторов на противоположный? Почему? векторов на противоположный? Почему?

122. , как изменится матрица этого линейного оператора, если каждый вектор базиса , относительно которого она задана, умножить на число ? Почему?

123. Если отображения , то ⊞ . Почему?

124. Если отображение , то ⊡ при любом . Почему?

125. Является ли проектирование в линейном пространстве на плоскость параллельно векторной прямой линейным отображением? Почему? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

126. Является ли проектирование в линейном пространстве на плоскость параллельно векторной прямой обратимым отображением? Почему?

127. Является ли симметрия относительно подпространства в линейном пространстве (т.е. любому вектору , где , а сопоставляется вектор ) линейным отображением? Почему?

128. Верно ли, что, если , то ядро эндоморфизма – подпространство, инвариантное относительно . Почему?

129. Верно ли, что, если , то образ эндоморфизма – подпространство, инвариантное относительно . Почему?

130. Верно ли для любого имеет место равенство ? Почему?

131. Верно ли, что для любого имеет место равенство: ? Почему?

132. Может ли для пересечение ? Почему?

133. Пусть . Докажите, что тогда и только тогда, когда .

134. Найдите ядро линейного отображения , где – пространство многочленов степени не выше от переменной , а .

135. Найдите ядро линейного отображения , где – пространство интегрируемых по Риману функций на отрезке , а .

136. Является ли линейное отображение , где – пространство интегрируемых по Риману функций на отрезке , а невырожденным (обратимым)? Почему?

137. Пусть и базис линейного пространства таков, что , а . , укажите особенности матрицы относительно базиса . Ответ следует обосновать.

138. Укажите все собственные подпространства M , если . Ответ следует обосновать.

139. и обратим. Верно ли, что если – подпространство , инвариантное относительно , то подпространство инвариантно относительно . Почему?

140. Если и обратимо, т.е. существует , то и имеют одни и те же инвариантные подпространства в . Почему?

141. Верно ли, что, если и подпространства и инвариантны относительно , то подпространство также инвариантно относительно . Почему?

142. Верно ли, что, если и подпространства и инвариантны относительно , то подпространство также инвариантно относительно . Почему?

143. Если отображения , то . Почему?

144. Как меняется с изменением базиса линейного пространства характеристический многочлен и характеристическое уравнение эндоморфизма ? Почему?

145. . Может ли быть сума двух собственных векторов с различными собственными значениями быть собственным вектором того же эндоморфизма . Почему?

146. имеет одно из собственных значений, равное 0. Может ли это отображение быть изоморфизмом? Почему?

147. Какие собственные векторы имеет линейный эндоморфизм , если относительно некоторого базиса матрица ?

148. Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все собственные значения, равными 0. Означает ли это, что он является нулевым эндоморфизмом? Почему?

149. Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все собственные значения, равными 1. Означает ли это, что он является тождественным эндоморфизмом? Почему?

150. Может ли быть сумма двух собственных векторов с различными собственными значениями быть собственным вектором того же линейного эндоморфизма . Почему?

151. Пусть векторы и – собственные с собственными значениями и, соответственно, . Могут ли быть коллинеарными ли эти векторы, если ? Почему?

152. Зависят ли собственные значения от выбора базиса в линейном пространстве ? Почему?

153. имеет одно собственное значение, равное 0. Может ли это отображение быть биективным? Почему?

154. Линейный оператор, действующий в –мерном линейном пространстве может иметь не более собственных значений – почему?

155. Собственные векторы эндоморфизма с различными собственными значениями линейно независимы. Почему?

156. имеет различных собственных значений. Можно ли из собственных векторов с этими собственными значениями составить базис ? Почему? В случае положительного ответа укажите матрицу .

157. Верно ли, что всякий эндоморфизм вещественного линейного пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)? Почему?

158. Верно ли, что всякий эндоморфизм комплексного линейного пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)? Почему?

159. Всякий ли эндоморфизм линейного пространства имеет собственные значения (хотя бы одно)? Почему?

160. Можно ли указать возможное наибольшее число собственных значений линейного оператора ? Почему?

161. Можно ли указать возможное наибольшее число линейно независимых собственных векторов линейного оператора ? Почему?

162. Всякий ли эндоморфизм линейного пространства имеет собственные векторы (хотя бы один)? Почему?

163. Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства , инвариантного относительно , имеется хотя бы один собственный вектор? Почему?

164. Верно ли, что, если линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств и подпространство инвариантно относительно эндоморфизма , то подпространство также инвариантно относительно ? Почему?

165. Известно, что ранг матрицы линейного отображения равен 3. Можно ли определить размерность ядра этого отображения? Почему?

166. с матрицей . Найдите и .

167. Докажите, что, если для в некотором базисе матрица диагональна, то есть линейная оболочка всех собственных векторов с ненулевыми собственными значениями и .

168. Верно ли, что, если для имеет место , то найдется базис из собственных векторов , в котором матрица эндоморфизма диагональна? Почему?

169. с матрицей . Найдите и .

170. Докажите, что является изоморфизмом тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение не имеет нулевых корней.

171. Существует ли , для которого нет базиса, в котором его матрица диагональна?

172. и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства на прямую, заданную уравнениями: относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Найдите его матрицу относительно базиса данной системы координат. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

173. и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства на прямую, заданную уравнениями: относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства .

174. и является поворотом векторов линейного пространства на угол вокруг прямой, заданной уравнениями: относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Найдите его матрицу относительно базиса данной системы координат. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

175. и является поворотом векторов линейного пространства на угол вокруг прямой, заданной уравнениями: относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства .

176. и является поворотом векторов линейного пространства на угол вокруг прямой, заданной уравнениями: относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Найдите его матрицу относительно базиса данной системы координат. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

177. и является поворотом векторов линейного пространства на угол вокруг прямой, заданной уравнениями: относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства .

178. Какие собственные векторы имеет , если относительно некоторого базиса матрица ?

179. ? , где – вещественное линейного пространство. Верно ли, что в любом инвариантном относительно подпространстве этот оператор всегда имеет собственный вектор? Почему?

180. , причем относительно некоторого базиса имеют матрицы и, соответственно, , причем . Тогда характеристические многочлены эндоморфизмов и совпадают. Верно ли это? Почему?

181. . Верно ли, что если имеет собственным вектором вектор , то этот вектор – собственный вектор линейного оператора ? Почему?

182. и обратим. Верно ли, что если имеет собственным вектором вектор , то этот вектор – собственный вектор линейного оператора ? Почему?

183. и обратим. Верно ли, что если вектор – собственный вектор , то этот вектор – собственный вектор и для линейного оператора ? Почему?

184. Пусть – множество всех собственных векторов линейного оператора с собственным значением , причем . Является ли подпространством линейного пространства ? Почему?

185. Линейное пространство четырехмерно, какова размерность его сопряженного (двойственного) пространства ? Почему?

186. Пусть P – линейное пространство многочленов от одной переменной степени не выше , а P – его сопряженное пространство, . Является ли линейным отображение, сопоставляющее каждому многочлену P его значение в точке ? Почему?

187. Пусть – попарно различные точки вещественной прямой, – линейное пространство многочленов от одной переменной степени не выше , а – его сопряженное пространство. , , причем для любого многочлена , по определению, . Образуют ли линейные формы базис в пространстве P ? Почему?

188. Каждой билинейной форме на конечномерном линейном пространстве сопоставляется ее матрица относительно базиса , таким образом определено отображение B M . Докажите, что это отображение биективно.

189. Определим сумму билинейных форм и произведение скаляра на билинейную форму, положив для любых , , и . Является ли множество всех билинейных форм на линейном пространстве также линейным пространством? Почему?

190. Каждой билинейной форме на конечномерном линейном пространстве сопоставляется ее матрица относительно базиса , и таким образом определено отображение B M . Является ли отображение изоморфизмом линейных пространств? Почему?

191. Матрица билинейной формы на некотором линейном пространстве симметрическая в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в другом базисе этого линейного пространства? Почему?

192. Изменится ли матрица билинейной формы на двумерном линейном пространстве, если от базиса перейти к базису ? Почему?

193. Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе поменять местами первый и последний векторы? Почему?

194. Как изменится матрица билинейной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе сделать циклическую перестановку векторов? Почему?

195. Как изменится матрица билинейной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если все векторы его базиса умножить на число ? Почему?

196. Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве такова имеет в некотором базисе матрицу диагональной. Можно ли утверждать, что в любом другом базисе ее матрица также диагональная? Симметрическая? Почему?

197. Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы отрицательные. Можно ли утверждать, что эта квадратичная форма является отрицательно определенной? Почему?

198. Является ли отображение такое, что , на множестве всех непрерывных на отрезке функций билинейным? Почему?

199. Является ли отображение такое, что на множестве всех интегрируемых на отрезке функций билинейным? Почему?

200. Может ли квадратичная форма порождаться разными билинейными формами? Почему?

201. Может ли квадратичная форма порождаться разными симметрическими билинейными формами? Почему?

202. Изменится ли и каким образом матрица квадратичной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе поменять местами первый и последний векторы? Почему?

203. Как изменится матрица квадратичной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе сделать циклическую перестановку векторов? Почему?

204. Как изменится матрица квадратичной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если все векторы его базиса умножить на число ? Почему?

205. Какой положительный индекс инерции имеет квадратичная форма: ? Почему?

206. Является ли квадратичная форма на линейном пространстве положительно определенной? Почему?

207. Является ли квадратичная форма положительно определенной на трехмерном линейном пространстве? Почему?

208. Является ли квадратичная форма отрицательно определенной на трехмерном линейном пространстве? Почему?

209. Является ли квадратичная форма отрицательно определенной на трехмерном линейном пространстве? Почему?

210. Матрица квадратичной формы на линейном пространстве относительно некоторого базиса имеет все главные миноры нулевыми. Означает ли это, что данная квадратичная форма вырожденная? Нулевая? Почему?

211. Матрица невырожденной квадратичной формы на конечномерном линейном пространстве имеет определитель, равный 1. Может ли она в другом базисе иметь отрицательный определитель? Почему?

212. Квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве отрицательно определена и имеет определитель, равный –1. Может ли при переходе к другому базису в качестве матрицы данной квадратичной формы получить матрицу с положительным определителем? Почему?

213. Квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве отрицательно определена, может ли в некотором базисе ее матрица иметь все главные миноры отрицательными? Почему?

214. Квадратичная форма отрицательно определена на конечномерном линейном пространстве и приведена к каноническому виду. Может ли ее матрица в каноническом базисе иметь положительные диагональные элементы? Почему

215. Квадратичная форма положительно определена на конечномерном линейном пространстве и приведена к каноническому виду. Может ли ее матрица в каноническом базисе иметь отрицательные диагональные элементы? Почему

216. Сколько канонических базисов может иметь квадратичная форма, определенная на трехмерном линейном пространстве (базисов, в которых квадратичная форма имеет канонический вид)? Почему?

217. Можно ли для произвольной квадратичной формы выбрать ортонормированный базис, в котором ее матрица диагональна? Почему?

218. Как меняется ранг квадратичной формы при замене базиса линейного пространства, на котором она определена? Почему?

219. Квадратичная форма определена на линейном пространстве . Является ли подпространством множество всех векторов, на котором квадратичная форма принимает нулевое значение? Почему?

220. Квадратичная форма определена на линейном пространстве . Является ли подпространством множество всех векторов, , на котором квадратичная форма принимает неотрицательные значения? Почему?

221. Квадратичная форма на –мерном линейном пространстве отрицательно определена. Укажите ее положительный и отрицательный индексы, ранг и сигнатуру. Объясните их значения.

222. Квадратичная форма на –мерном линейном пространстве положительно определена. Укажите ее положительный и отрицательный индексы, ранг и сигнатуру. Объясните их значения.

223. Является ли билинейная форма на множестве всех непрерывных на отрезке функций скалярным произведением? Почему?

224. Является ли билинейная форма на множестве всех интегрируемых на отрезке функций скалярным произведением? Почему?

225. Определить, является ли скалярным произведением на трехмерном линейном пространстве функционал вида: где векторы и заданы своими координатами и, соответственно, относительно некоторого базиса этого пространства. Почему?

226. Определить, является ли скалярным произведением на двумерном линейном пространстве функционал вида: где векторы и заданы своими координатами и, соответственно, относительно некоторого базиса этого пространства.

227. Определить, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных вещественных матриц одного порядка функционал , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц .

228. Определить, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц .

229. Определить, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц ( – матрица, комплексно сопряженная к матрице ).

230. Определите, является ли скалярным произведением отображение , заданное на линейном пространстве дифференцируемых и интегрируемых на отрезке функций формулой: .

231. На линейном пространстве дифференцируемых и интегрируемых на отрезке функций со скалярное произведение заданно формулой: . Найдите эндоморфизм, сопряженный дифференцированию функций.

232. Напишите неравенство Коши-Буняковского-Шварца для линейного пространства со скалярным произведением: .

233. Докажите, что любая ортогональная система векторов евклидова линейного пространства линейно независима.

234. Докажите, что, если два подпространства евклидова линейного пространства ортогональны, то их пересечение состоит только из нулевого вектора.

235. Верно ли, что, если пересечение двух подпространств евклидова линейного пространства состоит только из нулевого вектора, то эти подпространства ортогональны? Почему?

236. Укажите какое-либо скалярное произведение на линейном пространстве матриц M .

237. Докажите, что для любых векторов и евклидова линейного пространства имеет место неравенство: .

238. Определите для каких векторов и евклидова линейного пространства имеет место равенство: .. Почему?

239. Образует ли множество всех унитарных матриц одного порядка относительно операции умножения группу? Почему?

240. ( – поворот плоскости на угол ) и рассматривается со стандартным скалярным произведением. Найдите сопряженный эндоморфизм.

241. Пусть – евклидово линейное пространство, а . Подпространство инвариантно относительно . Будет ли инвариантно относительно сопряженного эндоморфизма ? Почему?

242. Пусть – евклидово линейное пространство, а . Подпространство инвариантно относительно . Будет ли ортогональное дополнение инвариантно относительно ? Почему?

243. Пусть – евклидово линейное пространство, а . Подпространство инвариантно относительно . Будет ли ортогональное дополнение инвариантно относительно сопряженного эндоморфизма ? Почему?

244. Пусть – евклидово линейное пространство, и является самосопряженным эндоморфизмом с простым спектром. Сколько можно составить базисов из его собственных векторов? Почему?

245. Пусть – евклидово линейное пространство, , а – его сопряженный эндоморфизм. Найдите и сравните их характеристические многочлены и .

246. Может ли самосопряженный эндоморфизм линейного пространства быть ортогональным? В случае положительного ответа приведите примеры.

247. Может ли самосопряженный эндоморфизм линейного пространства быть вырожденным? Почему?

248. Может ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства быть вырожденным? Почему?

249. Верно ли что множество всех ортогональных эндоморфизмов Евклидова линейного пространства относительно операции их композиции является группой? Почему?

250. Докажите, что система векторов евклидова линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы Грама положителен.

251. Докажите, что ортогональное дополнение любого непустого подмножества евклидова линейного пространства есть подпространство .

252. Каким должен быть базис евклидова линейного пространства , чтобы скалярное произведение а нем имело стандартный вид? Почему?

253. Векторы и евклидова линейного пространства коллинеарны тогда и только тогда, когда . Почему?

254. Определите, для каких векторов и евклидова линейного пространства имеет место равенство: . Почему?

255. Почему матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе евклидова линейного пространства ортогональная?

256. Почему матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе евклидова линейного пространства симметрическая?

257. – ортогональный оператор евклидова линейного пространства . Будет ли его матрица ортогональной относительно любого базиса этого пространства? Почему?

258. Может ли собственное значение ортогонального линейного оператора евклидова линейного пространства быть равным 2? Почему?

259. Является ли ортогональное проектирование на подпространство евклидова линейного пространства ортогональным линейным оператором? Почему?

260. Является ли ортогональное проектирование на подпространство евклидова линейного пространства самосопряженным линейным оператором? Почему?

261. – ортогональное проектирование на подпространство евклидова линейного пространства . Укажите сопряженный ему линейный оператор. Ответ обосновать.

262. Обратим ли ортогональный эндоморфизм евклидова линейного пространства ? Почему?

263. – матрица линейного оператора евклидова линейного пространства в произвольном базисе. Можно ли определить матрицу сопряженного ему оператора? Почему?

264. – матрица линейного оператора евклидова линейного пространства в ортонормированном базисе. Как определить матрицу сопряженного ему линейного оператора? Почему?

265. Как изменится матрица на евклидовом линейном пространстве , если от его ортонормированного базиса перейти к базису ? Будет ли матрица ортогональной, если базис не ортонормирован относительно ? Почему?

266. , где – двумерное евклидово линейное пространство, его матрица ортогональна в ортонормированном относительно базисе . Будет ли она ортогональной в базисе ? Почему?

267. Является ли поворот двумерного евклидова линейного пространства на угол ортогональным линейным оператором этого пространства? Почему?

268. Является ли поворот двумерного евклидова линейного пространства на угол самосопряженным линейным оператором этого пространства? Почему?

269. Может ли , где –двумерное евклидово линейное пространство, быть одновременно и ортогональным и самосопряженным? Почему?

270. Центральная симметрия двумерного евклидова линейного пространства обозначается . Какой линейный оператор этого пространства ему сопряжен? Почему?

271. Поворот двумерного евклидова линейного пространства на угол обозначается . Какой линейный оператор этого пространства ему сопряжен? Почему?

272. Является ли симметрия двумерного евклидова линейного пространства относительно его одномерного подпространства ортогональным линейным оператором этого пространства? Почему?

273. Симметрия двумерного евклидова линейного пространства относительно его одномерного подпространства обозначается . Какой линейный оператор этого пространства ему сопряжен? Почему?

274. Является ли центральная симметрия двумерного евклидова линейного пространства (всякому вектору этого пространства сопоставляется вектор ) ортогональным линейным оператором этого пространства? Почему?

275. Может ли линейный оператор евклидова линейного пространства быть ортогональным и самосопряженным? Почему?

276. Опишите все линейные операторы конечномерного евклидова линейного пространства, которые являются одновременно и ортогональными, и самосопряженными. Дайте их геометрическую интерпретацию. Ответ необходимо обосновать.

277. Верно ли, что, если – ортогональный оператор евклидова линейного пространства имеет инвариантное подпространство , то ортогональное дополнение также инвариантно относительно . Почему?

278. Известно, что и все элементы его матрицы равны по модулю. Можно ли указать значение этой абсолютной величины?

279. Верно ли для , что ? Почему?

280. Верно ли, что для любого , то ? Почему?

281. Верно ли, что для любого , то ? Почему?

282. Верно ли, что если – самосопряженный оператор евклидова линейного пространства имеет инвариантное подпространство , то его ортогональное дополнение также инвариантно относительно . Почему?

283. Докажите, что операция сопряжения линейного оператора в евклидовом линейном пространстве обладает свойством: .

284. Верно ли для линейного оператора евклидова линейного пространства утверждение ? Почему?

285. Верно ли для линейного оператора евклидова линейного пространства утверждение ? Почему?

286. Верно ли для линейного оператора евклидова линейного пространства утверждение ? Почему?

287. Верно ли для линейного оператора евклидова линейного пространства утверждение ? Почему?

288. , где – евклидово линейное пространство, является ли самосопряженным линейным оператором? Почему?

289. , где – евклидово линейное пространство, является ли ортогональным линейным оператором? Почему?

290. , где – евклидово линейное пространство, является ли самосопряженным линейным оператором? Почему?

291. , где – евклидово линейное пространство, является ли ортогональным линейным оператором? Почему?

292. Верно ли для линейного оператора евклидова линейного пространства утверждение: если уравнение имеет решение, то всякое его решение удовлетворяет уравнению: ? Почему?

293. Можно ли по характеристическому уравнению линейного оператора найти собственные значения сопряженного ему линейного оператора? Почему?

294. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и , если эти операторы действуют в евклидовом линейном пространстве?

295. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и , если эти операторы действуют в унитарном линейном пространстве?

296. , где – евклидово линейное пространство. Верно ли, что этот оператор всегда имеет инвариантное гиперподпространство (подпространство размерности )? Почему?

297. , где – унитарное линейное пространство. Верно ли, что этот оператор всегда имеет инвариантное гиперподпространство (подпространство размерности )? Почему?

298. Верно ли, что для любого линейного оператора –мерного евклидова линейного пространства всегда найдется базис, в котором матрица этого оператора треугольная (верхняя треугольная)?

299. Верно ли, что для любого линейного оператора –мерного унитарного линейного пространства всегда найдется базис, в котором матрица этого оператора треугольная (верхняя треугольная)?

300. Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора в конечномерном евклидовом линейном пространстве имеет место равенство: ? Почему?

301. Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора в евклидовом линейном пространстве имеет место равенство: ? Почему?

302. Пусть евклидово линейное пространство . Докажите, что проектирование этого пространства на подпространство параллельно подпространству является самосопряженным тогда и только тогда, когда эти подпространства ортогональные.

303. Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов? Почему?

304. Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов при условии, что все его собственные значения различные? Почему?

305. Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства иметь в некотором ортонормированном базисе иметь вид: ? Почему?

306. Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства иметь в некотором ортонормированном базисе иметь вид: ? Почему?

307. Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства иметь в некотором базисе иметь вид: ? Почему?

308. Пусть линейный оператор таков, что в есть базис из собственных векторов с вещественными собственными значениями. Можно ли в этом линейном пространстве задать скалярное произведение так, что относительно этого базиса оператор – самосопряженный? Почему?

309. Докажите, что всякое линейный оператор на унитарном линейном пространстве можно представить в виде суммы: , где и – эрмитовы операторы на этом пространстве.

310. Может ли линейный оператор унитарного линейного пространства быть одновременно и унитарным, и эрмитовым?

311. Укажите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: ? Ответ следует обосновать.

312. Укажите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: ? Ответ следует обосновать.

313. Билинейная форма задана на линейном пространстве . Определите, является ли подпространством этого линейного пространства множество . Ответ следует обосновать.

314. Квадратичная форма задана на вещественном линейном пространстве . Найдите условия (необходимые и достаточные), при которых найдется ненулевой вектор .

315. Можно ли привести одновременно к нормальному виду пару квадратичных форм, если известно, что одна из них отрицательно определена? Почему?

316. В каких случаях две квадратичных формы можно привести одновременно к каноническому виду? Почему?

317. Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм есть положительно определенная. Можно ли эти две квадратичные формы одновременно привести к каноническому виду?

318. Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм есть положительно определенная. Можно ли указать такой базис, в котором все такие линейные комбинации одновременно имеют канонический вид?

319. Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм есть отрицательно определенная. Можно ли эти квадратичные формы одновременно привести к каноническому виду?

320. Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм есть отрицательно определенная. Можно ли указать такой базис, в котором все такие линейные комбинации одновременно имеют канонический вид?