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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.2 (¯® ƒ¥©-¥). ”ã-ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ-- - ï ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨~a, ¨¬¥¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢-ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâ¨

~xk â ª®©, çâ® ~xk 6= ~a ¨ lim ~xk = ~a, ¢ë¯®«-ï¥âáï à ¢¥-á⢮

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lim f(~xk) = b.

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f(~x) ®£à -¨ç¥- ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ ~a, äã-ªæ¨ï ®(~x) ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¯à¨ ~x ! ~a, â® äã-ªæ¨ï ®(~x)f(~x) â ª¦¥ ï¥âáï ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨ ~x !~a.

ƒ®¢®àïâ, çâ® f(~x) = o(g(~x)) ¯à¨ ~x !~a (f(~x) ¥áâì o ¬ «®¥ ®â g(~x)), ¥á«¨ f(~x) = ®(~x)g(~x), £¤¥ ®(~x) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¯à¨ ~x ! ~a. …᫨ g(~x) -¥ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®- ⮩ ®ªà¥áâ-®á⨠~a, â® íâ® ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ à ¢-®á¨«ì-® à ¢¥-áâ¢ã

lim f(~x) = 0.

~x!~a g(~x)

•¥á¬®âàï - ®¡é-®áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï, ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ áãé¥áâ- ¢®¢ -¨ï ¯à¥¤¥« ¤«ï äã-ªæ¨© ¬-®£¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ¯à¨-樯¨- «ì-® á«®¦-¥¥, 祬 ¢ ®¤-®¬¥à-®¬ á«ãç ¥. • ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ¯®-à §-®¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ x >

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®£®¢®à¥-® ¯à®â¨¢-®¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® n = 2.

’®çª ~x ¯«®áª®á⨠§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ª®®à¤¨- â å: ~x = (x; y);

f(~x) = f(x; y). •à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå - §ë¢ ¥âáï ¤¢®©-ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨ ®¡®§- ç ¥âáï

7 ’®ç-¥¥, ¥á«¨ f(x; y) ®¯à¥¤¥«¥- ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®©

®ªà¥áâ-®á⨠(x0; y0), â® ®- ®¯à¥¤¥«¥- ¢ ª¢ ¤à ⥠¢¨¤ fx0 ¡ ¡ ± < x < x0 + ±, y0 ¡ ± < y < y0 + ±g á ¢ëª®«®â®© â®çª®©

(0; 0), ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®áâ -®¢ª ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ -

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x!0 y!0

¯®í⮬㠯®¢â®à-ë© ¯à¥¤¥« lim(lim f(x; y)) = 1. €- «®£¨ç-®,

’¥¬ -¥ ¬¥-¥¥ ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, f(x; x) = 2; f(x; ¡x) = 0. …᫨ ¡ë ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮-

¢ « ¨ à ¢-ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠(xk; yk) =6

6= (0; 0) â ª®©, çâ® lim (xk; yk) = (0; 0), ¢ë¯®«-ï«®áì ¡ë à -

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¯®¢â®à-ë© ¯à¥¤¥« lim(lim f(x; y)) -¥ áãé¥áâ¢ã¥â (-¥ áãé¥áâ-

«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ (x0; y0), â® ¥ñ ¯à¥¤¥«®¬ ¯à¨ x ! x0, y ! y0 ¯® - ¯à ¢«¥-¨î ¢¥ªâ®à ~l (¨«¨ ¯® - ¯à ¢«¥-¨î, ®¯à¥-

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”¨ªá¨à®¢ --®¥ §- ç¥-¨¥ ' £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® äã-ªæ¨ï à á-

ᬠâਢ ¥âáï «¨èì - «ãç¥, ¢ë室ï饬 ¨§ â®çª¨ (x0; y0) ¯®¤ 㣫®¬ ' ª ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ã «ãçã ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì-®© ®á¨

Ox.

‘â६«¥-¨¥ (x; y) ª (x0; y0) ¯à®¨á室¨â «¨èì ¯® í⮬㠫ãçã. •à¨ ' = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--

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“⢥ত¥-¨¥ 1.1. …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â lim f(x; y) = b, â®

x!x0 y!y0

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⥫ì-ëå ç¨á¥« â ªãî, çâ® lim ½k = 0. ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-

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-®áâì â®ç¥ª (xk; yk) = (x0 + ½k cos '; y0 + ½k sin ') áâ६¨âáï

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(¯à¨ ' = ¼4 ¨¬¥¥¬ 2; ¯à¨ ' = ¡ ¼4 ¨¬¥¥¬ 0). •® à §«¨ç-ë¬ - - ¯à ¢«¥-¨ï¬ à §«¨ç-ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §- ç¨â, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ x ! 0, y ! 0 -¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

‚®§-¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¬®¦¥â ¡ëâì, ¥á«¨ ¯® ª ¦¤®¬ã - ¯à ¢- «¥-¨î äã-ªæ¨ï f(x; y) ¨¬¥¥â ¯à¨ x ! x0, y ! y0 ®¤¨- ¨ â®â

¦¥ ¯à¥¤¥« b, â® ¨ ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« à ¢¥- b? Š ᮦ «¥-¨î, íâ®

-¥¢¥à-®.

•à¨¬¥à 1.2. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î

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•ãáâì x ! 0, y ! 0. •¥à¥å®¤¨¬ ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬.

½3 cos2 ' sin '

f(½ cos '; ½ sin ') = ½4 cos4 ' + ½2 sin2 ' = ½2 cos4 ' + sin2 ' :

…᫨ sin ' = 0, â® ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ à ¢-® 0 ¯à¨ «î¡®¬

ˆâ ª, ¯® «î¡®¬ã - ¯à ¢«¥-¨î ¯à¥¤¥« f(x; y) ¯à¨ x ! 0, y ! ! 0 à ¢¥- 0. •® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x; x2) = 12. €- «®£¨ç-®

‘®¢¥аи¥--® пб-®, зв® ¥б«¨ г¤ бвбп ¤®¡¨вмбп бва¥¬«¥-¨п ª -г«о ¯® «о¡®© ¯ а ¡®«¥, в® ¬®£гв - ©в¨бм ¡®«¥¥ б«®¦-л¥ ªа¨¢л¥ (- ¯а¨¬¥а, б¯¨а «¨), ¯® ª®в®ал¬ бва¥¬«¥-¨п ª -г«о -¥ ¡г¤¥в. Œ®¦¥в ᮧ¤ бвмбп ¢¯¥з в«¥-¨¥, зв® -¥¢®§¬®¦-® ¤®- ¡¨вмбп бгй¥бв¢®¢ -¨п ¤¢®©-®£® ¯а¥¤¥« . •® ¨ нв® -¥¢¥а-®.

•à®áâ® ¬ë - ¨¢-® áç¨â ¥¬, çâ® ¯®-ï⨥ ¤¢®©-®£® ¯à¥¤¥« ¬®¦-® ᢥá⨠¨áª«îç¨â¥«ì-® ª ¯à¥¤¥« ¬ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥- ६¥--®©. •â® ¤¥©á⢨⥫ì-® -¥¢®§¬®¦-®, ¨ -ã¦-ë ¤à㣨¥ ¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ -¨ï.