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11
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“⢥ত¥-¨¥ 1.2. •ãáâì äã-ªæ¨ï f(x; y) ®¯à¥¤¥«¥- ¢
¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ (x0; y0), ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨-
⥫ì-®¥ ç¨á«® ½0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ' ¨ ¯à¨ ¢á¥å ½ 2 (0; ½0) ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮
|
jf(x0 + ½ cos '; y0 + ½ sin ') ¡ bj 6 F (½); |
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¨ ' â ª, çâ® x = x0 + ½ cos ', y = y0 + ½ sin ' (â.¥. ¢¢¥¤ñ¬ ¯®«ïà-ë¥ ª®®à¤¨- âë á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ (x0; y0)). ’®£¤ ½ =
= |
(x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 |
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+ ½ sin ') |
¡ |
j |
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lim f(x; y) = b. |
|
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•à¨¬¥à 1.3. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î |
|
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|
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f(x; y) = |
x2y |
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; x2 + y2 > 0: |
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|
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x2 + y2 |
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= ½ cos ', |
y = ½ sin '. |
|
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½3 cos2 ' sin ' |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
= ½ cos2 ' sin '. |
|||||||||||||||||||||
|
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½2(cos2 ' + sin2 ') |
||||||||||||||||||||||||||||
’ ª ª ª |
jf(½ cos '; ½ sin ')j 6 ½ ! 0 |
, â® lim f(x; y) = |
b |
. |
||||||||||||||||||||||||||
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lim |
½ cos2 ' sin ' |
= 0, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, lim f(x; y) = |
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+0 |
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12
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樥© ⮫쪮 ®â ½, -¥ § ¢¨áï饩 ®â ' ¨ áâ६ï饩áï ª -ã«î ¢¬¥áâ¥ á ½.
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¡®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢠|
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||||||
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|||||||
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x2 + y2 |
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xy |
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2 |
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x2 + y2 |
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||||
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|
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|||||||||||||||||||
祬 ¯à¨¬¥-¥-¨¥ ª ª¨å-«¨¡® -¥à ¢¥-á⢠-¥¯®á।á⢥--® ¤«ï |
|||||||||||||||||||
äã-ªæ¨© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå, å®âï ¡ë¢ ¥â ¨ ¨- ç¥. |
|
|
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•à¨¬¥à 1.4. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î |
|
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|
|
|
|
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|
; x2 + y2 > 0: |
|
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|
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x4 + y4 |
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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½4(cos4 ' + sin4 ') |
|
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|
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|
|
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¯ |
|
|
|
|
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½ |
|
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|
|
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¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
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2 |
¯2 |
') |
2 |
|
¡ 2 cos |
2 |
2 |
¯ |
|
|
|
|
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sin2 2' 6 |
|||
|
|
1 |
|
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||||||||||||||
|
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' + sin |
|
|
|
' sin |
' |
¡ 2 |
|
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||||
|
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|
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|
6 |
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½ |
= 2½ ! 0; |
|||
|
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|
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|
|
|
|
|
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¯®í⮬ã lim f(x; y) = 0. |
|
|
|
|
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|
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|
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|
•à¨¬¥à 1.5. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î |
|
|
|||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
f(x; y) = ln(1 + 3 |
x2y2 |
) |
; x2 |
+ y2 |
> 0: |
||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 + y2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
13 |
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‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x; y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. ˆ¬¥¥¬ |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
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4 cos2 ' sin2 ') |
|
1 |
|
||||
f(½ cos '; ½ sin ') = |
ln(1 + p½ |
6 |
ln(1 + ½4=3): |
||||||
½ |
|
|
½ |
||||||
•à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© F (½) = 1 ln(1+½4=3) ¬®¦-® |
|||||||
¢ëç¨á«¨âì, ¯à¨¬¥-ïï ä®à¬ã«ã ’¥©«®à : |
½ |
|
|
||||
|
|
|
|||||
lim |
ln(1 + ½4=3) |
= |
lim |
½4=3 + o(½4=3) |
= 0; |
||
½ |
½ |
|
|
||||
½!+0 |
|
½!+0 |
|
|
|
||
¯®í⮬ã lim f(x; y) = 0.
x!0 y!0
ˆ-®£¤ ¯®«ãç¥-¨¥ -ã¦-®© ®æ¥-ª¨ ᢥàåã âॡã¥â §- ç¨- ⥫ì-ëå ãᨫ¨©.
•à¨¬¥à 1.6. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î
f(x; y) = |
3 |
x3 + y4 |
¡ x |
; x2 + y2 > 0: |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
p x2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ž¯ïâì-â ª¨ f(x; y) > 0 ¯à¨ x + y |
|
> 0. ˆ¬¥¥¬ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
' + ½ |
4 |
4 |
|
|
|
|
||||||
f(½ cos '; ½ sin ') = |
p½3 cos3 |
½sin ' ¡ ½ cos ' |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
= q3 cos3 ' + ½ sin4 ' ¡ cos ' 6 3 cos3 |
' + ½ ¡ cos ': |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
•ãáâì cos ' = t 2 [¡1; 1]. ’®£¤
p
0 6 f(½ cos '; ½ sin ') 6 g(t; ½) = 3 t3 + ½ ¡ t:
•à¨ 䨪á¨à®¢ --®¬ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ ½ - ©¤ñ¬ F (½) =
= max g(t; ½). •à®¨§¢®¤- ï äã-ªæ¨¨ g(t; ½) ª ª äã-ªæ¨¨ ®â
¡16t61
t ¯à¨ 䨪á¨à®¢ --®¬ ½ à ¢- 13 (t3 + ½)¡2=3 ¢ 3t2 ¡ 1. Ž- ®¡-
à é ¥âáï ¢ -ã«ì, ¥á«¨ t2 = (t3 + ½)2=3, â.¥. t6 = t6 + 2t3½ + ½2, |
|||||||||
¯à¨- ¤«¥¦¨â q |
|
[ |
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1; 1] |
|
F (½) |
|
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®âªã¤ t = ¡ 3 |
½2 |
. |
•à¨ ¤®áâ â®ç-® ¬ «ëå ½ íâ® §- ç¥-¨¥ t |
||||||
®â१ªã |
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¡ |
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, ¨ ¤«ï - 宦¤¥-¨ï |
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-ã¦-® |
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|
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|
|
|
14
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
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|
; ½¶ |
= r3 |
|
|
+ ½ + r3 |
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
g |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
4½ |
|
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
½ |
|
|
3 |
½ |
|
|
½ |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
½ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
g(1; ½) = p3 |
|
¡ 1 » |
|
|
|
|
½ ! +0; |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 + ½ |
|
|
½; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
•à¨ ¬ «ëå |
|
- |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
; §- ç¨â, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
g(¡1; ½) = ¡1 + ½ + 1 » 3 |
; ½ ! +0: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
½ |
|
|
¨¡®«ì訬 ¨§ íâ¨å ç¨á¥« ¡ã¤¥â |
p4½ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
- ©¤ñâáï ½0 > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ½ 2 (0; ½0) ¨¬¥îâ ¬¥áâ®
-¥à ¢¥-á⢠|
|
|
|
0 6 f(½ cos '; ½ sin ') 6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4½: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, lim f(x; y) = 0. |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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“¯à ¦-¥-¨¥ 1.4. „®ª § âì, çâ®: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
) |
lim |
|
x3y |
|
|
= 0; |
|
¡) |
lim |
arctg |
|
|
jxj5 + y6 |
|
= 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y!0 |
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
|
xp+ y |
|
|
|
|
|
||||||
|
! |
x sin y + y sin x |
|
|
|
! |
|
1 |
|
|
|
cos x |
|
|
|||||||||||
¢) |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; £) |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
x2 + y2 |
|
= 0 |
lim |
3 |
x4 |
¡ |
|
|
|
+ y4 |
= 0 |
|||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
x!0 |
|
¡ |
x2y2 |
|
|
||||||||||||||
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“¯à ¦-p¥-¨¥ 1.5. |
„®ª § âì, çâ® p-¥ áãé¥áâ¢ãîâ: |
|
|||||||||||||||||||||||
) |
lim |
|
|
x3y |
|
|
|
; |
|
¡) |
lim |
|
x3y |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
x4 + x2y2 |
+ y4 |
|
x6 + y4 |
|
|
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k |
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lim g(f(x; y)) = g(b). |
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®£à -¨ç¥--ãî; ¯®í⮬ã |
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¬-®£®ç«¥- ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå ¡¥§ ᢮¡®¤-®£® ç«¥- (¢ í⮬ á«ãç ¥ lim u(x; y) = 0). Œ®¦-® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ½ 6 1 ¨¬¥¥â
x!0
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¬¥áâ® -¥à ¢¥-á⢮ ju(x; y)j 6 C½m, £¤¥ C | á㬬 ¬®¤ã«¥© ª®-
íää¨æ¨¥-⮢ ¬-®£®ç«¥- , m | ¬¨-¨¬ «ì- ï á⥯¥-ì ®¤-®- ç«¥-®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¤ --ë© ¬-®£®ç«¥-; ¯à¨ í⮬ o((u(x; y))n) ¬®¦-® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(½mn). ‚ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮
|
|
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17 |
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¨ ¤«ï à §«®¦¥-¨ï f(x; y) ¤® o(½6) -ã¦-® ¢§ïâì à §«®¦¥-¨¥
arctg u ¤® o(u3):
arctg u = u ¡ u3 + o(u3): 3
’®£¤
arctg(xy + x2 ¡ y3) =
= xy+x2¡y3¡13 (xy+x2¡y3)3+o((xy¡x2¡y3)3); x ! 0; y ! 0:
‹¥£ª® |
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¢¨¤¥âì, |
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o((u(x; y))3) |
= ®(x; y)(u(x; y))3 = |
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= o(½6), â ª ª ª äã-ªæ¨ï ¯(x; y) = |
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x; y) |
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¢ |
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|
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ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© - |
®£à -¨ç¥--ãî. |
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Šà®¬¥ ⮣®, ¢ ¬-®£®ç«¥-¥ 31 (xy+x2 |
¡y3)3 -ã¦-® ¢ë¡à®á¨âì |
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¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå, ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ®è¨¡®ç-ë¬ ¢ë¢®¤ ¬.
‚ᯮ¬-¨¬, - ¯à¨¬¥à, çâ® äã-ªæ¨ï ¨§ ¯à¨¬¥à 1.3 -¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ x ! 0, y ! 0, ¨ à áᬮâਬ ®è¨¡®ç-®¥ ¤®ª § -
⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥- 0. |
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y 6= 0 |
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|
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2 |
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u |
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= u(1 |
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u2 + o(u2)) = u |
¡ |
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1 + u2 |
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½ |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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u3 + o(½3); lim f(x; y) = 0. |
|
|
|
|
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|
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|
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•à¨¬¥à 1.8. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î
f(x; y) = |
x sin y ¡ y sin x |
; x2 |
+ y2 > 0: |
||||
(x2 + y2)3=2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
’ ª ª ª sin y = y ¡ |
y3 |
+ o(y3) = y ¡ |
y3 |
|
+ o(½3); sin x = x ¡ |
||
6 |
6 |
||||||
¡ x63 + o(x3) = x ¡ x63 + o(½3) (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ -® â®, çâ® jxj 6 ½, jyj 6 ½, ¨ o(½3) ¯®-¨¬ ¥âáï ª ª o((x2 + y2)3=2) ¢ á¬ëá«¥
¯à¥¤¥« |
äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå). ’®£¤ |
x sin y |
¡3 |
y sin x = |
||||||||||||||||||||
= x y |
y |
3 |
+ o(½3) |
|
y x |
|
|
|
3 |
+ o(½3) = |
yx |
3 |
|
|
+ o(½4); |
|||||||||
|
¡ |
¡ |
x |
|
¡ xy |
|||||||||||||||||||
|
¡ 6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||
§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ |
-®´â®, |
çâ® |
|
|
|
|
3 |
|
®´(x; y) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4, |
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|
|
o(½ ) = x |
|
|
½ |
|
= ¯(x; y) |
|
½ |
|
||||||||||||||
³ |
|
|
|
³ x |
¢ |
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
£¤¥ ¯(x; y) = x½ ¢ ®(x; y) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¯à¨ x ! 0, y ! |
|||
! 0; - «®£¨ç-®, y ¢ o(½3) = o(½4). ’ ª ª ª |
¯¯yx3 |
¡6 xy3 ¯¯ |
6 ½34 , |
|
¯ |
¯ |
|
â® x sin y ¡ y sin x = o(½3) + o(½4) = o(½3) = o ¡(x2
lim f(x; y) = 0.
x!0 y!0
•à¨¬¥à 1.9. „®ª ¦¥¬, çâ® lim x sin y ¡ y sin x
x!0 (x2 + y2)2
y!0
19
+ y2)3=2¢, ¨
-¥ áãé¥áâ-
¢ã¥â. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, x sin y |
¡ |
y sin x = |
yx3 ¡ xy3 + o(½4), ¯®í⮬ã |
||||
|
|
|
|
6 |
|
||
|
x sin y ¡ y sin x |
= |
yx3 ¡ xy3 |
+ |
o((x2 + y2)2) |
: |
|
|
(x2 + y2)2 |
6(x2 + y2)2 |
(x2 + y2)2 |
||||
|
|
|
|
||||
‚â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, à ¢-ë© -ã«î; ¯®í⮬㠤®- áâ â®ç-® ¤®ª § âì, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ -¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ x ! 0, y ! 0. •¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬ x = ½ cos ',
y = ½ sin ', ¨¬¥¥¬
½4 sin ' ¢ cos3 ' ¡ ½4 cos ' ¢ sin3 ' |
= |
sin ' cos3 ' ¡ cos ' ¢ sin3 ' |
: |
6½4(cos2 ' + sin2 ')2 |
|
6 |
|
•® à §-ë¬ - ¯à ¢«¥-¨ï¬ | à §-ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §- ç¨â, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« ®â ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ x ! 0, y ! 0 -¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
“¯à ¦-¥-¨¥ 1.6. „®ª § âì, çâ® |
|
||||||||||||||||
) |
lim ln(1 + x3 + y3) |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!0 |
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡) |
lim sh x ¢ ln(y + |
|
1 + y2 |
) ¡ sin y ¢ arcsin x |
= 0. |
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
p(x |
2 |
|
2 |
) |
5=2 |
|
|
|
||
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“¯à ¦-¥-¨¥ 1.7. „®ª § âì, çâ® -¥ áãé¥áâ¢ãîâ: |
|||||||||||||||||
|
lim |
1 |
cos(x3 |
+ y3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
) |
|
¡ |
6 |
+ y |
6 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) sin y |
|
arcsin x |
|
||
|
lim sh x ¢ ln(y + |
1 |
+ y2 |
¢ |
|
||||||||||||
¡) |
2 |
|
|
2¡3 |
|
. |
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
p(x |
|
+ y ) |
|
|
|
|||||
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. •…••…•›‚•Ž‘’œ ”“•Š–ˆˆ •…‘ŠŽ‹œŠˆ• •…•…Œ…••›•
x 1. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®-ï⨥¬ ¯à¥¤¥«
•¥¯à¥àë¢-®áâì ¢ â®çª¥ äã-ªæ¨¨ -¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ®¤-®¬¥à-®¬ á«ãç ¥.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.1. ”ã-ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ-- ï ¢ -¥ª®- â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ ~a 2 Rn, - §ë¢ ¥âáï -¥¯à¥àë¢-®© ¢
â®çª¥ ~a, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â lim f(~x) = f(~a).
~x!~a |
|
…᫨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ ¯à¥¤¥« ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äã-ªæ¨ï |
|
®¯à¥¤¥«¥- ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®áâ¨~a, |
¢ á ¬®© â®çª¥ ¬®¦¥â |
¡ëâì -¥ ®¯à¥¤¥«¥- ¢®¢á¥, ⮠⥯¥àì ®- |
¤®«¦- ¡ëâì ®¯à¥¤¥- |
«¥- ¨ ¢ á ¬®© â®çª¥~a, ¯à¨çñ¬ ¯à¥¤¥« ¤®«¦¥- ¡ëâì à ¢¥- §- -
ç¥-¨î äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥. • ¯®¬-¨¬, çâ® ±-®ªà¥áâ-®áâì â®çª¨ ~a | íâ® ¬-®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® ½(x;~a) < ±; ¥á«¨ ¨§
í⮩ ±-®ªà¥áâ-®á⨠㤠«¨âì â®çªã ~a | ¯®«ã稬 ¯à®ª®«®âãî
®ªà¥áâ-®áâì. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ -¥¯à¥àë¢-®á⨠¬®¦-® à áè¨äà®- ¢ âì ª ª ¢ â¥à¬¨- å Š®è¨, â ª ¨ ¢ â¥à¬¨- å ƒ¥©-¥.
•® Š®è¨: äã-ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ-- ï ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ- -®á⨠â®çª¨ ~a, - §ë¢ ¥âáï -¥¯à¥àë¢-®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« " - ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì- -®¥ ç¨á«® ±, çâ® ¤«ï ¢á¥å ~x ¨§ ±-®ªà¥áâ-®á⨠~a ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮ jf(~x) ¡ f(~a)j < ".
• ï§ëª¥ ª¢ -â®à®¢:
8 " > 0 9 ± > 0 : 8 x; ½(x;~a) < ± ! jf(~x) ¡ f(~a)j < ":
•® ƒ¥©-¥: äã-ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ-- ï ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ- -®á⨠â®çª¨ ~a, - §ë¢ ¥âáï -¥¯à¥àë¢-®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï
«î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠~xk â ª®©, çâ® lim ~xk = ~a, ¢ë¯®«-
k!1
-ï¥âáï à ¢¥-á⢮ lim f(~xk) = f(~a).
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Ž£®¢®àª ~xk 6= ~a ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ -¥ -ã¦- .
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