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21 ¯à¨ n = 2, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì-¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì
äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå f(x; y).
Ž¡êñ¬ - áâ®ï饣® ¯®á®¡¨ï -¥ ¯®§¢®«ï¥â - ¬ -¥áª®«ìª® ãá«®¦-¨âì ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.1 ¨ à áᬮâà¥âì ¯®-ï⨥ -¥¯à¥àë¢- -®á⨠äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¯® ¬-®¦¥áâ¢ã (â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯®-ï- ⨥ ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¯® ¬-®¦¥áâ¢ã); ¬ë ¡ã¤¥¬ à á- ᬠâਢ âì ⮫쪮 äã-ªæ¨¨, ®¯à¥¤¥«ñ--ë¥ ¢ -¥ª®â®à®© ±-
®ªà¥áâ-®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¨ ~a (¢ ¤¢ã¬¥à-®¬ á«ãç ¥ | â®çª¨ (x0; y0)).
€- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«¥-¨î 1.3, ¢¢¥¤ñ¬ ¯®-ï⨥ -¥¯à¥àë¢- -®á⨠äã-ªæ¨¨ ¯® ¤ --®¬ã - ¯à ¢«¥-¨î.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.2. •ãáâì ~l = (cos '; sin ') | ¥¤¨-¨ç-ë© ¢¥ªâ®à. ”ã-ªæ¨ï f(x; y), ®¯à¥¤¥«ñ-- ï ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-
-®á⨠â®çª¨ (x0; y0), - §ë¢ ¥âáï -¥¯à¥àë¢-®© ¢ í⮩ â®çª¥ ¯® - ¯à ¢«¥-¨î ¢¥ªâ®à ~l, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ½
f(x0 + ½ cos '; y0 + ½ sin ')
-¥¯à¥àë¢- á¯à ¢ ¢ â®çª¥ 0, â.¥.
lim f(x0 + ½ cos '; y0 + ½ sin ') = f(x0; y0):
½!+0
•¥¯à¥àë¢-®áâì ¯® - ¯à ¢«¥-¨î ¢¥ªâ®à |
(1; 0) ®§- ç ¥â, çâ® |
|
lim f(x0 + ½; y0) = f(x0; y0), â.¥. |
lim |
f(x; y0) = f(x0; y0). |
½!+0 |
x!x0+0 |
|
‚®®¡é¥, ¥á«¨ lim f(x; y0) = f(x0; y0), â® £®¢®àïâ ® -¥¯à¥àë¢-
x!x0
-®á⨠äã-ªæ¨¨ f(x; y) ¯® x ¢ â®çª¥ (x0; y0) (-¥¯à¥àë¢-®áâì ¯® - ¯à ¢«¥-¨î ¢¥ªâ®à (1; 0) | íâ® -¥¯à¥àë¢-®áâì ¯® x á¯à ¢ ).
€- «®£¨ç-®, -¥¯à¥àë¢-®áâì ¯® - ¯à ¢«¥-¨î ¢¥ªâ®à (0; 1) | íâ® -¥¯à¥àë¢-®áâì ¯® y á¯à ¢ .
”ã-ªæ¨ï f(x; y) = |
( |
(x + y)2 |
; |
x2 + y2 > 0; |
-¥¯à¥àë¢- |
||
1x;2 |
+ y2 |
||||||
|
x = y = 0 |
||||||
ª ª ¯® x, â ª ¨ ¯® y ¢ â®çª¥ (0; 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.1). •â® §- ç¨â, çâ® ®- -¥¯à¥àë¢- ¢ â®çª¥ (0; 0) ¯® - ¯à ¢«¥-¨ï¬ ¢¥ªâ®à®¢ (1; 0), (¡1; 0), (0; 1), (0; ¡1). •® ¢á¥¬ ®áâ «ì-ë¬ - ¯à ¢«¥-¨ï¬
®- -¥ ¡ã¤¥â -¥¯à¥àë¢-®©, â ª ª ª f(½ cos '; ½ sin ') = (cos ' +
+ sin ')2, íâ® ¢ëà ¦¥-¨¥ à ¢-® 1 ⮫쪮 ¯à¨ ' = ¼2 k ,k 2 Z, зв® б®®в¢¥вбв¢г¥в - ¯а ¢«¥-¨п¬ з¥власе гª § --ле ¢¥ªв®а®¢.
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0; |
|
+ y |
|
x = y = 0 |
-¥¯à¥àë¢- ¯® |
|||
|
”ã-ªæ¨ï f(x; y) = |
|
|
x2y |
|
; x2 |
+ y2 |
> 0; |
|
|
|
x4 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
«î¡®¬ã - ¯à ¢«¥-¨î ¢ â®çª¥ (0; 0), -® -¥ ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-
-®© ¢ í⮩ â®çª¥ (á¬. ¯à¨¬¥à 1.2). |
|
|
x = y = 0 ï¥âáï |
|||||
( |
0; |
+ y |
|
|
||||
|
|
x2y |
|
|
2 |
2 |
|
|
€ ¢®â äã-ªæ¨ï f(x; y) = |
|
x2 |
|
2 |
; |
x + y |
|
> 0; |
-¥¯à¥àë¢-®© ¢ â®çª¥ (0; 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.3).
…᫨ äã-ªæ¨¨ f(x; y) ¨ g(x; y) -¥¯à¥àë¢-ë ¢ â®çª¥ (x0; y0),
â® ¨å á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¨ ç áâ-®¥ â ª¦¥ -¥¯à¥àë¢-ë ¢ í⮩ â®çª¥ (¢ ¯®á«¥¤-¥¬ á«ãç ¥ - ¤® âॡ®¢ âì, ç⮡ë g(x0; y0) 6=
=6 0). •®í⮬ã äã-ªæ¨¨ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.1{1.3 -¥¯à¥àë¢-ë ¢ ª ¦¤®© â®çª¥, ®â«¨ç-®© ®â (0; 0); ¯®á«¥¤-ïï ¯®á«¥ ¤®®¯à¥¤¥«¥- -¨ï f(0; 0) = 0 áâ -¥â -¥¯à¥àë¢-®© ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®áâ¨;
¯¥à¢ë¥ ¤¢¥, ª ª ¨å -¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®çª¥ (0; 0), ¢áñ à ¢-® ¡ã- ¤ãâ ¨¬¥âì ¢ í⮩ â®çª¥ à §àë¢.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.3. ’®çª (x0; y0) - §ë¢ ¥âáï â®çª®© à §- àë¢ äã-ªæ¨¨ f(x; y), ¥á«¨ f(x; y) ®¯à¥¤¥«¥- ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®-
ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ (x0; y0), -® -¥ ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-
-®© ¢ í⮩ â®çª¥. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ˆ§ ªãàá |
¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® |
- «¨§ ¨§¢¥áâ- |
⥮६ |
® -¥- |
||||||
¯à¥àë¢-®á⨠᫮¦-®© äã-ªæ¨¨. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
•ãáâì äã-ªæ¨ï |
f(x1; : : : ; xn) |
-¥¯à¥àë¢- |
¢ |
â®çª¥ |
||||||
(x0 |
; : : : ; x0 ), |
äã-ªæ¨¨ x1(t1; : : : ; tk), |
. . . , |
xn(t1; : : : ; |
tk) |
||||||
1 |
n |
|
(t0; : : : ; t0). |
|
|
|
|
x0 |
= |
||
-¥¯à¥àë¢-ë |
¢ â®çª¥ |
’®£¤ , |
¥á«¨ |
||||||||
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
1 |
|
= |
x1(t0; : : : ; t0), . . . , x0 |
= |
xn(t0 |
; : : : ; t0), |
â® |
á«®¦- ï |
|||||
|
1 |
k |
n |
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
äã-ªæ¨ï f(x1(t1; : : : ; tk); : : : ; |
xn(t1; : : : ; |
tk)) |
-¥¯à¥àë¢- |
¢ |
|||||||
â®çª¥ (t0; : : : ; t0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢-ãâà¥--¨¥ äã-ªæ¨¨ x1, |
. . . , xn ¬®£ãâ ¡ëâì |
|||||||||
äã-ªæ¨ï¬¨ ®â à §-®£® ç¨á« |
|
¯¥à¥¬¥--ëå; - ¯à¨¬¥à, x1 |
= |
||||||||
= x1(t1; t2), x2 = x2(t1; t2; t3), x3 = x3(t1; t2; : : : ; t10). ’®£¤
¢ ª ç¥á⢥ k ¬®¦-® ¢§ïâì - ¨¡®«ì襥 ¨§ íâ¨å ç¨á¥«; ¢ - 襬 á«ãç ¥ k = 10.
Žâáî¤ ¨ ¨§ -¥¯à¥àë¢-®áâ¨ í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨© ®¤- -®© ¯¥à¥¬¥--®© á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï á㯥௮§¨æ¨ï í«¥¬¥-â à-
23
-ëå äã-ªæ¨© ®â -¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ï¥âáï -¥¯à¥àë¢- -®© ¢ «î¡®© â®çª¥, ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠ª®â®à®© ®- ¢ë- à ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®©2 ç¥à¥§ í«¥¬¥-â à-ë¥ äã-ªæ¨¨. • ¯à¨¬¥à,
f(x; y) = ln(1 + sin (exy ¡ 3) ¡ x5 ¡ y4) -¥¯à¥àë¢- ¢ «î¡®©
â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª®â®à®© ¢ëà ¦¥-¨¥ ¯®¤ §- ª®¬ «®£ à¨ä¬ ¯®«®¦¨â¥«ì-®.
x 2. ˆáá«¥¤®¢ -¨¥ -¥¯à¥àë¢-®á⨠äã-ªæ¨©
‚б¥ ¯а¨¬¥ал нв®£® ¯ а £а д д®а¬г«¨аговбп ®¤¨- ª®¢®: - ©в¨ ¢б¥ в®зª¨ -¥¯а¥ал¢-®бв¨ ¤ --®© дг-ªж¨¨. •в® §- з¨в, зв® ¤«п «о¡®© в®зª¨ (x0; y0) â ª®©, çâ® f(x; y) ®¯à¥¤¥«¥- ¢
-¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨, -ã¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨ f(x; y) -¥¯à¥àë¢-®© ¢ í⮩ â®çª¥ (â.¥. ®¯¨á âì ¢á¥ â®çª¨ -¥-
¯à¥àë¢-®á⨠¨ â®çª¨ à §àë¢ ). |
+ y2)xy; x2 + y2 > 0; |
|||||
•à¨¬¥à 2.1. f(x; y) = |
(x2 |
|||||
1; |
x = y = 0. |
|||||
|
|
|
|
|||
2 |
+ y |
2 |
|
½ |
xy ln(x2+y2), â® ¢ ª ¦- |
|
’ ª ª ª ¯à¨ x |
|
> 0 f(x; y) = e |
||||
¤®© â ª®© â®çª¥ äã-ªæ¨ï f(x; y) -¥¯à¥àë¢- ª ª á㯥௮§¨æ¨ï
í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨©. Žáâ ñâáï ¨áá«¥¤®¢ âì ¯à¥¤¥« äã-ª- 樨 ¢ â®çª¥ (0; 0).
•ãáâì g(x; y) = xy ln(x2 + y2). •¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à- ¤¨- â ¬.
jg(½ cos '; ½ sin ')j = j½2 cos ' ¢ sin ' ¢ ln ½2j 6 2½2j ln ½j
(§¤¥áì ¬ë ã竨, çâ® ln ½ < 0 ¯à¨ 0 < ½ < 1). |
|
Š ª ¨§¢¥áâ-®, lim ½2 ln ½ = 0, ¯®í⮬ã |
lim g(x; y) = 0. |
½ +0 |
x!0 |
! |
y 0 |
|
! |
•® ⥮६¥ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ §- ª®¬ -¥¯à¥àë¢-®© äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© (ã⢥ত¥-¨¥ 1.3), lim f(x; y) =
x!0 y!0
= exp(lim g(x; y)) = e0 = 1. ‡- ç¨â, f(x; y) -¥¯à¥àë¢- ¢ â®çª¥
x!0 y!0
(0; 0). ˆâ ª, f(x; y) -¥¯à¥àë¢-
½
•à¨¬¥à 2.2. f(x; y) =
-¨¥ 1.2).
¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨.
x sin y1 ; |
y 6= 0; |
0; |
y = 0 (á¬. ã¯à ¦-¥- |
24
) ”ã-ªæ¨ï f(x; y) -¥¯à¥àë¢- ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0; y0), £¤¥ y0 6= 0 (ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨© ®¤-®© ¯¥à¥-
¬¥--®©). |
|
|
|
|
|
|
||
¡) |
„ «¥¥, lim x sin 1 |
= |
0 (¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ |
¡¥áª®-¥ç-® |
||||
|
|
x!0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
|
®£à -¨ç¥--ãî äã-ªæ¨î '(y) = |
|||
¬ «®© |
äã-ªæ¨¨ x |
- |
|
|||||
½ |
0; |
y = 0 ). |
‡- ç¨â, |
y!!0 |
|
|||
= |
sin y1 ; y 6= 0; |
|
|
|
lim f(x; y) = f(0; 0), ¨ äã-ªæ¨ï |
|||
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
f(x; y) -¥¯à¥àë¢- ¢ â®çª¥ (0; 0). |
|
|||||||
¢) • áᬮâਬ, - ª®-¥æ, â®çªã (x0; 0), £¤¥ x0 |
6= 0. 㨻 - |
|||||||
¦¥¬, çâ® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â |
lim |
f(x; y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áã- |
||||||
|
|
|
|
x!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
|
|
|
é¥á⢮¢ « ¨ à ¢-ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠â®-
祪 (xk; yk) â ª®©, çâ® klim (xk; yk) = (x0; 0) ¨ (xk; yk) 6= (x0; 0), |
||||||||||
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
¢ë¯®«-ï«®áì ¡ë à ¢¥-á⢮ |
lim (xk; yk) = b. •® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k!1 |
|
1 |
|
|
-®á⨠(xk0 ; yk0 ) ¨ (xk00; yk00), £¤¥ xk0 = x0, yk0 = |
|
|
; xk00 = x0, |
|||||||
2¼k + |
¼ |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
yk00 = |
|
|
, k = 1, 2, |
. . . , 㤮¢«¥â¢®àïîâ -ã¦-ë¬ ãá«®¢¨ï¬, |
||||||
2¼k ¡ |
¼ |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x0 |
; y0 ) = x0, f(x00; y00) = x0, â.¥. b = x0 = |
¡ |
x0. ’ ª ª ª |
|||||||
|
k |
k |
|
k |
k |
¡ |
|
|
|
|
x0 =6 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â,
çâ® f(x; y) à §àë¢- |
¢ â®çª¥ (x0; 0). |
|
|
|
||||||||
•à¨¬¥à 2.3. f(x; y) = |
x arctg x ¡ arctg y ; |
x = y; |
||||||||||
0; |
|
|
x |
¡ |
y |
6 |
||||||
|
|
|
½ |
|
|
|
|
x = y. |
||||
|
) ”ã-ªæ¨ï f(x; y) -¥¯à¥àë¢- |
¢ «î¡®© â®çª¥ (x0; y0), £¤¥ |
||||||||||
y0 6= x0 (ª ª १ã«ìâ ⠯ਬ¥-¥-¨ï |
à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権 |
|||||||||||
ª í«¥¬¥-â à-ë¬ äã-ªæ¨ï¬ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©). |
|
|||||||||||
¡) •® ⥮६¥ ‹ £à -¦ |
¤«ï «î¡ëå x, y ¢ë¯®«-ï¥âáï à - |
|||||||||||
¢¥-á⢮ arctg x ¡ arctg y = |
|
1 |
(x ¡ y), £¤¥ â®çª » «¥¦¨â |
|||||||||
1 + »2 |
||||||||||||
¬¥¦¤ã x ¨ y. ’ ª ª ª 0 < |
1 |
|
6 1, â® j arctg x¡arctg yj 6 jx¡ |
|||||||||
1 + |
»2 |
|||||||||||
¡ yj ¤«ï «î¡ëå x ¨ y. ’®£¤ |
f(x; y) = x ¢ '(x; y), £¤¥ '(x; y) = |
|||||||||||
= |
arctg x ¡ arctg y ; |
x = y; |
|
|
|
|
lim f(x; y) = 0 (¯à®¨§¢¥- |
|||||
x |
y |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
½ |
0; |
¡ |
x = y. ‡- ç¨â, |
x 0 |
|
|||||||
y!0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
¤¥-¨¥ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨ x - |
®£à -¨ç¥--ãî äã-ªæ¨î |
|||||||||||
25 '(x; y); ¨§ ¯à¨¢¥¤ñ--®© ¢ëè¥ ®æ¥-ª¨ á«¥¤ã¥â, çâ® j'(x; y)j 6 1 ¯à¨ ¢á¥å x, y).
ˆâ ª, lim f(x; y) = f(0; 0), ¨ äã-ªæ¨ï f(x; y) -¥¯à¥àë¢- ¢
x!0 y!0
â®çª¥ (0; 0).
¢) • áᬮâਬ, - ª®-¥æ, â®çªã (x0; x0), £¤¥ x0 6= 0. „®-
ª ¦¥¬, çâ® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â lim f(x; y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥«
x!x0 y!x0
áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢-ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâ¨
â®ç¥ª (xk; yk) â ª®©, çâ® klim (xk; yk) |
= (x0; x0) ¨ (xk; yk) 6= |
|||||
|
|
!1 |
|
|
|
|
6= (x0; x0) ¢ë¯®«-ï«®áì ¡ë à ¢¥-á⢮ klim f(xk; yk) = b. |
||||||
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
y |
|
|
¡x0; x0 + k1 ¢ |
||
|
|
|||||
y0 = x0 |
|
|
(xk; xk) |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x0 |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
•¨á. 2.3
•® (á¬. |
à¨á. 2.3), ¥á«¨ ¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠(xk; xk), |
|||||||||||||||
xk = x0 + |
1 |
|
|
x0 |
; x0 + 1 |
, k = 1, 2, |
. . . , â® ®-¨ 㤮¢«¥â- |
|||||||||
|
|
|
k , ¨ |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
¢®àïîâ -ã¦-묳ãá«®¢¨ï¬.´ |
Žâ¬¥â¨¬, çâ® f(xk; xk) = 0, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
arctg x0 + |
1 |
|
arctg x0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
³ |
k |
´ ¡ |
|
|
. |
|
|||
lim f |
x0; x0 |
+ k |
= x0 lim |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
k!1 |
³ |
|
|
|
|
´ |
|
k!1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
•®á«¥¤-¨© ¯à¥¤¥« à ¢¥- ¯à®¨§¢®¤-®© äã-ªæ¨¨ arctg x ¢ |
||||||||||||||||
â®çª¥ x |
, â.¥. |
|
1 |
|
. •®í⮬ã b = 0 = |
|
x0 |
|
. ’ ª ª ª x |
= 0, |
||||||
1 + x02 |
1 + x02 |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
|||||||
â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f(x; y) à §àë¢- ¢ â®çª¥ (x0; x0).
•à¨¬¥à 2.4. f(x; y) = |
xy; |
x 2 Q, y 2 Q; |
½ |
0; |
x 62Q ¨«¨ y 62Q. |
26 |
|
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®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© |
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¢ à §«¨ç-ëå ª®-âà¯à¨¬¥à å ¢áâà¥ç ¥âáï äã-ªæ¨ï „¨à¨å«¥: |
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½ |
0; x 62Q. • áᬠâਢ ¥¬ ï |
äã-ªæ¨ï |
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D(x) = |
1; x 2 Q, |
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f(x; y) |
= |
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= xyD(x)D(y). |
|
|
|
|
) • áᬮâਬ â®çªã, «¥¦ éãî - ª®®à¤¨- â-ëå ®áïå, â.¥. â®çªã (x0; y0) â ªãî, çâ® x0y0 = 0, â.¥. å®âï ¡ë ®¤-® ¨§ §- ç¥-
-¨© x0 ¨«¨ y0 ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì. •ãáâì, ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ--®áâ¨, x0 = 0. ’®£¤ , ¥á«¨ ¢§ïâì ®ªà¥áâ-®áâì â®çª¨ (0; y0) à ¤¨ãá 1, â® ¢ -¥© jyj < jy0j + 1, ¨ jyD(x)D(y)j < jy0j + 1. •®í⮬ã äã-ª- æ¨ï f(x; y) ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© äã-ªæ¨¨ x -
®£à -¨ç¥--ãî äã-ªæ¨î yD(x)D(y). ‡- ç¨â, lim f(x; y) = 0 =
x!0
y!y0
= f(0; y0). ”ã-ªæ¨ï f(x; y) -¥¯à¥àë¢- ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©
â®çª¥.
¡) • áᬮâਬ â®çªã, -¥ «¥¦ éãî - ª®®à¤¨- â-ëå ®áïå, â.¥. â®çªã (x0; y0) â ªãî, çâ® x0y0 6= 0. „®ª ¦¥¬, çâ® -¥ áã-
é¥áâ¢ã¥â lim f(x; y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢-
x!x0 y!y0
-ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠â®ç¥ª (xk; yk) â ª®©,
çâ® lim (xk; yk) = (x0; y0) ¨ (xk; yk) 6= (x0; y0), ¢ë¯®«-ï«®áì ¡ë
k!1
à ¢¥-á⢮ |
lim f(xk; yk) = b. •® ¤«ï «î¡ëå ¤¥©á⢨⥫ì-ëå |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
ᥫ xk0 |
, yk0 |
, ¨àà 樮- «ì-ëå ç¨á¥« xk00 |
, yk00 |
â ª¨¥, çâ® klim!1 xk0 |
= |
||||||||||||||||
= x0, |
lim x00 = x0, |
x0 |
|
= x0 |
, x00 |
= x0; |
lim y0 = y0, |
lim y00 |
= |
||||||||||||
|
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k |
|
|
k |
6 |
|
|
|
k |
6 |
|
k!1 k |
k!1 |
k |
|
|
||||
= y0, y0 |
= y0, y00 |
= y0. ’®£¤ |
|
|
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠â®ç¥ª (x0 |
; y0 ) |
|||||||||||||||
|
k |
6 |
|
k |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
¨ (xk00; yk00) 㤮¢«¥â¢®àïîâ -ã¦-ë¬ ãá«®¢¨ï¬; f(xk0 ; yk0 ) = xk0 yk0 |
; |
||||||||||||||||||||
lim f(xk0 ; yk0 ) = x0y0, f(xk00; yk00) = 0. •®í⮬ã b = x0y0 = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ ª ª ª x0y0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ |
|||||||||||||||||||||
¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f(x; y) à §àë¢- |
¢ â®çª¥ (x0; y0). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
“¯à ¦-¥-¨¥ 2.1. • ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ -¥¯à¥àë¢-®á⨠¤ -- |
|||||||||||||||||||||
-®© äã-ªæ¨¨: |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; x2 + y2 > 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
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¢)
£)
f(x; y) =
f(x; y) =
f(x; y) =
27
½ |
(x2 + y2) cos |
1 |
; x 6= 0, |
||||||
x2 |
|||||||||
0; |
|
|
|
|
|
|
x = 0; |
||
( |
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
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x y3¡ x 3y |
|
; x = y, |
|
||||||
x |
¡ |
y |
|
|
6 |
|
|||
0; |
|
x |
|
x = y; |
Q. |
||||
½ |
0; |
|
|
2 Q ¨«¨ y |
|||||
|
x2 + y2; x Q, y 2 Q, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
62 |
|
62 |
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III. „ˆ””…•…•–ˆ•“…ŒŽ‘’œ ”“•Š–ˆˆ •…‘ŠŽ‹œŠˆ• •…•…Œ…••›•
x 1. — áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.1. — áâ-®© ¯à®¨§¢®¤-®© ¯® x äã-ªæ¨¨
¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå f(x; y) ¢ â®çª¥ (x0; y0) - §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤- - ï äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© f(x; y0) ¢ â®çª¥ x0. — áâ-®© ¯à®¨§¢®¤-®© ¯® y äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå f(x; y) ¢ â®çª¥
(x0; y0) - §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤- ï äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© f(x0; y) ¢ â®çª¥ y0 (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® í⨠¯à®¨§¢®¤-ë¥ áã-
é¥áâ¢ãîâ ¨ ª®-¥ç-ë). |
|
|
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|
|
|
|
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|
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; y0) = |
d |
f(x; y0)¯x=x0 |
; |
|
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|
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|
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(3.1) |
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@x |
dx |
|||||||||
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@f |
|
|
|
d |
|
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|
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(x0 |
; y0) = |
|
f(x0 |
; y)¯ |
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|
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¢ â®çª¯ ¥ |
(x0; y0) |
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„«ï ç áâ-®© ¯à®¨§¢®¤- |
||||||||||
-®© ¯® y ¢ â®çª¥ (x0; y0) ¯à¨¬¥-ï¥âáï ᨬ¢®« @f@y (x0; y0) ´ ´ fy0 (x0; y0). •¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥-á⢠(3.1) ®§- ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢ë-
ç¨á«¥-¨ï @f@x (x0; y0) -ã¦-® § 䨪á¨à®¢ âì ¯¥à¥¬¥--ãî y = = y0, ¨ ¯®«ãç¥--ãî äã-ªæ¨î ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© f(x; y0) ¯à®- ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ âì ¯® í⮩ ¯¥à¥¬¥--®© x ¢ â®çª¥ x0. Ž¯¥-
à æ¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© x ®¡®- §- ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ d
dx. €- «®£¨ç-® ®¡êïá-ï¥âáï ¢â®à®¥ ¨§
à ¢¥-á⢠(3.1). |
|
|
|
||||
…᫨ ¢á¯®¬-¨âì ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯à®¨§¢®¤-®© äã-ªæ¨¨ ®¤-®© |
|||||||
¯¥à¥¬¥--®©, â® à ¢¥-á⢠(3.1) ¬®¦-® § ¯¨á âì â ª |
|
||||||
|
@f |
|
(x0; y0) = lim |
f(x0 + ¢x; y0) ¡ f(x0; y0) |
; |
||
|
@x |
|
¢x |
||||
|
¢x!0 |
|
|
||||
|
|
@f |
(x0; y0) = lim |
|
f(x0; y0 + ¢y) ¡ f(x0; y0) |
|
|
|
|
@y |
¢y |
|
|||
|
|
¢y!0 |
|
|
|||
29
(í⨬¨ à ¢¥-á⢠¬¨ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ |
|||||||||
§- ç¥-¨ï ¯à®¨§¢®¤-®© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥- |
|||||||||
¬¥--®© -¥«ì§ï ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¨§¢¥áâ-ë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤¨ää¥à¥-- |
|||||||||
æ¨à®¢ -¨ï). |
|
|
|
|
|
|
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|
‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ äã-ªæ¨¨ -¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ç áâ-ãî |
||||||||
¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ f(x1; : : : ; xn) ¯® ¯¥à¥¬¥--®© xi ¢ â®çª¥ |
|||||||||
(x0; : : : ; x0 ) ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª |
|
|
|
||||||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
: |
|
|
@f (x0; : : : ; x0 ) = d f(x0; : : : ; x0 ; xi; x0 ; : : : ; x0 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
‚ - áâ®ï饬 ¯®á®¡¨¨ ¬ë ¢ ®á-®¢-®¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ¯ |
||||||||
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1 |
n |
dxi |
1 |
i¡1 |
i+1 |
n ¯xi=xi0 |
|
äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå. |
|
(x0; y0), |
|
|
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|
ɇǬ |
¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ |
äã-ªæ¨ï |
||||||
f(x; y) |
ï¥âáï |
á㯥௮§¨æ¨¥© |
í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨©, |
â® |
|||||
ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¬®¦-® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ®¡ëç-ë¬ ä®à¬ã- « ¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï, áç¨â ï ®¤-ã ¨§ ¯¥à¥¬¥--ëå ¯ à ¬¥â- ஬. • ¯à¨¬¥à,
@ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
(3x2y3 + ex + ln(x ¡ sin y)) |
= 6xy3 + ex + |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
@x |
x ¡ sin y |
|
|
|
||||||||||||
@ |
(3x2y3 + ex + ln(x ¡ sin y)) |
= 9x2y2 ¡ |
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|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
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@y |
x ¡ sin y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
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x2 ¡ y2 |
|
= |
|
(x2 + y2) ¢ 2x ¡ (x2 |
|
|
y2) |
|
2x |
; |
|||
|
|
@x µx2 + y2 |
¶ |
|
¡ |
|
¢ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
(x2 + y2)2 |
|
|
|
||||||||
|
|
@ |
x2 ¡ y2 |
|
= |
|
¡2y(x2 + y2) ¡ (x2 ¡ y2) ¢ 2y |
: |
||||||||
|
|
@y µx2 + y2 |
¶ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 + y2)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
•®á«¥¤-¨¥ ¤¢ à ¢¥-á⢠|
¢л¯®«-повбп ¢® ¢б¥е в®зª е, ªа®¬¥ |
||
(0; 0). …᫨ ¦¥ ¤®®¯à¥¤¥«¨âì äã-ªæ¨î |
|||
( |
1; |
|
x = y = 0, |
|
2 |
2 |
|
f(x; y) = |
x2 |
¡ y2 |
; x2 + y2 > 0; |
x |
+ y |
|
|
â® ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¢ â®çª¥ (0; 0) ¬®¦-® ¢ëç¨á«¨âì ®¯ïâì- â ª¨ ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î. ˆ¬¥¥¬
@f |
d |
¯ |
|
|
(0; 0) = |
|
f(x; 0)¯x=0: |
@x |
dx |
||
|
|
|
¯ |
30 |
|
|
|
|
|
•® f(x; 0) = |
½ |
1; |
x 6= 0, |
â.¥. |
f(x; 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x. •à®- |
|
1; |
x = 0, |
|
¨§¢®¤- ï â ª®© äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© x à ¢- 0 ¢ «î-
¡®© â®çª¥, ¢ ç áâ-®áâ¨, ¯à¨ x = 0. ‡- ç¨â, |
@f |
(0; 0) = 0. ‘ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
d |
f(0; y)¯y=0. ’ ª ª ª f(0; y) = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y (0; 0) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
dy |
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
1; y = 0 |
, â® íâ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
-¥ ¨¬¥¥â |
|||||||
|
|
¡ |
6 |
|
äã-ªæ¨ï ®¤-®©¯ ¯¥à¥¬¥--®© y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
½1; |
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
¯à®¨§¢®¤-®© ¢ â®çª¥ y = 0. ‡- ç¨â, |
(0; 0) -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ˆ-®£¤ |
¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ¢ â®çª¥ ¯à¨- |
|||||||||||||||||||||||||||||
室¨âáï ¢ëç¨á«ïâì ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
•à¨¬¥à 3.1. ‚ëç¨á«¨âì @f |
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
¤«ï äã-ªæ¨¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x ¨ @y ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®á⨠|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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exp |
³ |
|
|
|
|
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1 |
|
|
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; |
x2 + y2 > 0; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
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0; |
|
¡ x2 + y2 |
|
|
|
x = y = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
‚áî¤ã, ªà®¬¥ â®çª¨ (0; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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@f |
= exp µ¡ |
|
|
|
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1 |
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¶ |
¢ |
|
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2x |
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; |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@x |
x2 + y2 |
|
(x2 + y2)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@f |
= exp µ¡ |
|
|
|
|
1 |
|
¶ |
¢ |
|
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2y |
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: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
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@y |
x2 + y2 |
|
(x2 + y2)2 |
|
|
|
|
|
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|
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„ «¥¥, @f@x (0; 0) = |
d |
f(x; 0)¯x=0. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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