Truhan-NM-Kinematika
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт (государственный университет)
КИНЕМАТИКА
Методические указания по решению задач по курсу: Теоретическая механика
Москва 2000
Составитель Н.М.Трухан
УДК 531
Кинематика. Методические указания по решению задач по курсу: Теоретическая механика. /
МФТИ М., 1991. 32 с.
© Московский физико-технический институт (государственный университет), 2000
I. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
1. Координатный способ задания движения точки
Любые три независимые величины q1 ,q2 ,q3 ,
однозначно определяющие положение точки в трехмерном пространстве, могут рассматриваться как координаты этой точки. При этом радиус-вектор точки является функцией
этих координат, т.е. r = r (q1 ,q2 ,q3 ). При изменении
одной из координат и фиксированных остальных конец радиуса-вектора r вычерчивает линию, которую называют координатной линией. Координатные линии, вообще говоря, кривые, и поэтому координаты называют криволинейными.
Единичные орты ei , направленные по касательным к
координатным линиям в точке М пространства в сторону возрастания соответствующих координат, определяют в каждой точке пространства систему координат, причем
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
= |
|
1 |
|
|
|
|
∂ |
r |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂q |
i |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вектор скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑Hi qi ei , |
|
(1.1) |
||||||||||||||
|
|
V = dr = ∑ ∂r qi |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
∂qi |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
∂y |
|
2 |
|
|
∂z |
2 |
|
|||||||||
Hi |
= |
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
(1.2) |
|||||||||||||||
∂qi |
|
|
∂qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂qi |
|
|
∂qi |
|
||||||||||||||
Равенство (1.1) представляет собой разложение (а не ортогональное проецирование !) вектора скорости по осям
4
криволинейной системы координат. Ортогональные проекции Vqi вектора скорости на оси qi равны
|
|
|
|
1 |
|
∂ V 2 |
|
|
||
Vqi =Vei |
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
. |
(1.3) |
|||
Hi |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
∂qi |
|
|
||||
Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ламе и находятся из соотношения
dSi = Hi dqi ,
где dSi – дифференциал дуги i-й координатной линии при изменении i-й координаты и фиксированных остальных.
В самом деле, в прямоугольной системе координат
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS2 = dx2+ dy2+ dz2, |
(1.5) |
||||||||||||||
|
|
|
dqi ,dy = |
∑ ∂y dqi ,dz = ∑ ∂z |
dqi .. |
||||||||||||||||||||
dx = ∑ ∂x |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
i=1 |
∂qi |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
∂qi |
|
|
|
|
i=1 |
∂qi |
|
|
|||||||
Подставляя значения dx, dy, dz в (1.5), получим |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 dqi |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dS 2 = ∑Hi |
2 + ∑Hik dqi dqk , |
(1.6) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i,k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
∂z |
|
∂z |
|
|
|
|||||
H |
|
= |
|
|
+ |
|
+ |
|
. |
|
|||||||||||||||
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂qi ∂qk |
|
|
∂qi ∂qk |
∂qi ∂qk |
|
|||||||||||||||
Предполагая, что изменяется лишь одна координата, а две другие фиксированы, получим (1.4), т.е. коэффициенты Ламе получаются как множители дифференциалов координат в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Если система криволинейных
координат ортогональна, т.е. если при i ≠ k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
∂x |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
ei ek |
= |
|
|
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Hi |
|
|
∂qi |
|
∂qk |
∂qi |
|
∂qk |
|||
|
|
Hk |
|
|
|
||||||
3
то Hik = 0 и dS 2 = ∑Hi 2 dqi 2 .
i=1
+ ∂z ∂z = 0 , (1.7) ∂qi ∂qk
Поэтому в случае ортогональной системы координат для модуля вектора скорости получаем
3 |
|
|
|
V = ∑Hi |
2 qi |
2 . |
(1.8) |
i=1 |
|
|
|
Ортогональные проекции вектора ускорения W точки на оси произвольной криволинейной системы координат имеют вид
|
|
|
|
|
1 |
d ∂ |
V 2 |
|
|
∂ V 2 |
|
||||||
Wqi |
=Wei |
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
2 |
. (1.9) |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Hi dt ∂qi |
|
|
∂qi |
|
||||||||
Как видно из формулы (1.9), проекции ускорения на координатные оси qi получаются дифференцированием выражения для квадрата скорости. При этом следует иметь в
виду, что qi и qi независимы, что отражает факт
независимости событий: находиться в какой-либо точке пространства и иметь в этой точке какую-либо скорость. Кроме того, изучается не движение по некоторой заданной траектории, а способ описания любых движений. Иначе говоря, рассматривается вся совокупность допустимых движений и выбор точки пространства задает только ее положение, никак не ограничивая направление и величину вектора скорости.
Задача 1.1. Найти скорость движущейся точки и проекции ее ускорения на касательные к координатным линиям цилиндрической системы координат r,ϕ, z (рис. 1).
Решение. Так как система координат ортогональна, то
6
3
V 2 = ∑Hi 2 qi .
i=1
Найдем коэффициенты Ламе, рассматривая элементы дуг вдоль соответствующих координатных линий.
dSr = dr , откуда Hr |
=1, |
|
dSϕ = rdϕ , откуда Hϕ = r , |
|
|
dSz = dz , откуда H z |
=1. |
|
Следовательно, |
|
|
V 2 = r 2 + r 2ϕ2 + z2 . |
ϕ |
|
Выполняя операции дифференцирования в |
|
|
соответствии с формулой (1.9), получаем |
Рис. 1 |
|
Wr = r − rϕ2 , |
Wϕ = 2rϕ + rϕ, |
|
Wz = z.
При движении точки в плоскости z = const первые компоненты ускорения задают радиальную Wr
z
r
две
и
трансверсальную Wϕ компоненты ускорения в полярной системе координат.
2. Описание движения точки с помощью осей естественного трехгранника
В каждой точке траектории можно построить три взаимно перпендикулярные оси, непосредственно связанные с траекторией. Если начало их помещено в движущуюся точку и направлено по касательной, нормали и бинормали
траектории (τ,n,b - единичные орты этой системы), то эти оси называются естественными осями. Вектор скорости V направлен по касательной к траектории V =Vτ . Вектор W всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории,
7
и поэтому проекция его на бинормаль равна нулю Wb = 0.
Проекции вектора ускорения W на касательную и главную нормаль к траектории равны соответственно
W = dV , W |
n |
= V 2 , |
(1.10) |
|
τ |
dt |
ρ |
|
|
где ρ - радиус кривизны траектории в данной точке. |
||||
|
Задача 1.2. Найти касательное Wτ |
и нормальное Wn |
||
ускорения точки, а также радиус кривизны ρ ее траектории, если движение точки выражается уравнениями
x =αt, y = βt − gt |
2 |
α = const |
||||||||
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
β = const |
|
|
|
|
Решение. Для определения касательного и |
|||||||
нормального |
ускорения |
найдем |
сначала скорость |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= xi |
+ yj. |
y = β − gt , то V 2 =α2 + (β − gt)2 . |
|||||||
Так как x =α, |
||||||||||
Откуда Wτ = − |
g(β − gt) . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α2 + (β − gt)2 |
|
||
Так как радиус кривизны траектории неизвестен, найдем
нормальное ускорение W из равенства W 2 =W 2 |
+W 2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
τ |
n |
||
Для |
этого нужно |
сначала найти |
|
W |
|
|
|
|
|
Так как |
||||
|
= xi |
+ yj. |
||||||||||||
x = 0 , y = −g , то W = −g. Поэтому |
|
|||||||||||||
W 2 |
=W 2 −W 2 |
= |
|
|
g 2α2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
α2 |
+ (β − gt)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь нетрудно определить
|
2 |
|
V 6 |
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
[α |
]2 . |
||||||||
ρ |
|
= |
|
, ρ = |
|
|
+ (β − gt) |
||||
|
α2 g 2 |
αg |
|
||||||||
II. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА |
||||||
При произвольном движении твердого тела скорости |
||||||
и ускорения его точек могут быть найдены по формулам: |
||||||
Vi |
=V0 +ω × ρi , |
|
|
|
(2.1) |
|
Wi =W0 |
+ε × ρi +ω ×ω × ρi , |
|
(2.2) |
|||
где V0 и W0 - скорость и ускорение выбранного полюса О, |
||||||
ω и ε - угловые скорость и ускорение тела, ρi |
- радиус- |
|||||
вектор, проведенный из полюса О в рассматриваемую точку |
||||||
(рис. 2). |
|
|
Компоненты |
|||
|
|
|
||||
Ω |
ускорения |
W |
вр |
=ε × ρi |
||
|
|
|||||
|
и |
W ос |
=ω ×ω × ρi |
|||
O |
|
соответственно |
||||
|
|
|
||||
|
называются вращательным |
|||||
|
и |
осестремительным |
||||
|
|
|
ускорениями |
|||
|
соответственно. |
|
|
|||
Рис. 2 |
|
Угловая |
|
скорость |
||
тела не зависит от выбора |
||||||
|
||||||
|
полюса. |
|
|
Проекции |
||
скоростей точек тела на прямую, их соединяющую, равны. |
||||||
(Последнее утверждение несправедливо для ускорений). |
||||||
Рассмотрим частные случаи движения тела. |
|
|||||
1. Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным движением тела называется такое движение, при котором всякое сечение тела плоскостью П, параллельной некоторой неподвижной плоскости П0, остается в плоскости П. Поэтому такое движение сводится к движению плоской фигуры в ее
9
плоскости. Из формулы (2.1) вытекает, что при ω ≠ 0 (движение тела не является мгновенно поступательным)
существует точка фигуры Р, скорость которой VP = 0. Эта
точка называется мгновенным центром скоростей. Если в качестве полюса взять точку Р, то из (2.1) получаем
VA =ω × ρΑ , т.е. вектор скорости перпендикулярен
прямой, соединяющей точку А с мгновенным центром скоростей Р. Для определения положения мгновенного центра скоростей фигуры достаточно знать направления скоростей каких-либо двух точек этой фигуры. Мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных их этих точек к направлениям их векторов скоростей. Если скорости выбранных точек параллельны, то перпендикуляры к их скоростям либо параллельны, либо совпадают. В первом случае движение фигуры мгновенно поступательное, во втором – мгновенный центр находится в точке пересечения общего перпендикуляра к скоростям с прямой, проходящей через концы векторов скоростей этих точек.
Так как при плоском движении ω ρ , то формула (2.2) для ускорения точек фигуры принимает вид
|
|
= |
|
+ε |
× ρ |
|
−ω2 |
ρ |
. |
|
|
W |
W |
i |
(2.3) |
||||||
|
i O |
|
i |
|
|
|||||
В этом случае вращательная и осестремительная компоненты ускорения ортогональны.
Задача 2.1. Кривошип ОА в изображенном на (рис. 3) механизме вращается вокруг оси О неподвижной шестерни 1
|
|
|
|
|
|
с |
угловым |
|
|
|
|
|
|
|
ускорением ε , |
||
O B |
C |
K |
A |
имея в данный |
||||
1 |
|
M |
момент |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
ω,ε |
2 2 |
|
4 |
|
угловую |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
скорость |
ω . |
|
|
|
Рис.3 |
|
N |
|
Кривошип |
||
|
|
|
|
|
|
несет на |
себе |
|