urmat
.pdfМинистерство образования Российской Федерации Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса
В.И.Филиппенко, И.Д.Михайлова
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие для студентов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения
Шахты - 2002
2
УДК 517.2 Ф 53
СОСТАВИТЕЛИ:
В.И.Филиппенко к.ф.-м.н., доцент кафедры математики ЮРГУЭС
И.Д.Михайлова старший преподаватель кафедры математики ЮРГУЭС
Учебное пособие охватывает традиционные разделы теории линейных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического, гиперболического и параболического типа. Значительное место в пособии занимает описание методов, наиболее часто применяемых на практике при решении уравнений с частными производными, таких, например, как: метод разделения переменных, метод функции Грина и др. В пособии рассмотрено достаточное количество задач, иллюстрирующих теоретический материал.
Пособие предназначено для студентов-заочников второго курса механикорадиотехнического факультета ЮРГУЭС.
©Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, 2002
©Филиппенко В.И., 2002
©Михайлова И.Д., 2002
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение |
4 |
|
1. |
Понятие об общем решении уравнения в частных производных |
5 |
2. |
Классификация уравнений в частных производных второго порядка |
8 |
3. |
Свободные колебания струны с закрепленными концами |
11 |
4. |
Продольные колебания стержня |
13 |
5. |
Метод Даламбера |
14 |
6. |
Решение уравнения колебаний струны методом Фурье |
16 |
7. |
Колебания прямоугольной мембраны |
19 |
8. |
Метод разделения переменных (общий случай) |
21 |
9. |
Вывод уравнения теплопроводности для стержня |
24 |
10. |
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности |
26 |
11. |
Интегрирование уравнения распространения тепла в ограниченном |
|
|
стержне методам Фурье |
26 |
12. |
Охлаждение бесконечного стержня |
31 |
13. |
Задача о равновесии электрических зарядов на поверхности проводника |
35 |
14. |
Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье |
36 |
15. |
Метод функций Грина |
40 |
16. |
Нахождение функции Грина методом электростатических изображений |
41 |
17. |
Решение задачи Дирихле для шара |
43 |
Литература |
45 |
|
4
Введение
Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например:
1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению
∂2u |
|
2 |
|
∂2u ∂2u ∂2u |
|
|
|||||||
|
2 |
= c |
|
|
|
2 + |
|
2 + |
|
2 |
|
, |
(0.1) |
∂t |
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где c − скорость распространения волн в данной среде;
2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:
∂u |
|
2 |
|
∂2u ∂2u ∂2u |
|
|
||||||
|
= a |
|
|
|
2 + |
|
2 + |
|
2 |
|
, |
(0.2) |
∂t |
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
= − f (x, y, z). |
(0.3) |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||
|
|
|
|
При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (0.3) переходит в уравнение Лапласа
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 |
(0.4) |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||
|
|
|
|
Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и, соответственно, электрические заряды.
Уравнения (0.1)-(0.4) называют основными уравнениями математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.
Функция u = u(x, y, z) , удовлетворяющая какому-либо из уравнений (0.1)- (0.4), называется его решением.
1. Понятие об общем решении уравнения в частных производных.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:
f (x, y, y', y'',..., y(n) ) = 0. Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных
F(x, y,C1,C2 ,...,Cn ) = 0. Любое частное решение получается из него, если параметрам C1,C2 ,...,Cn придать определенные значения.
У дифференциального уравнения в частных производных общее решение содержит произвольные функции, количество которых равно порядку уравнения.
5
Пусть дано уравнение
|
∂2u |
= 0. |
(1.1) |
|
∂x∂y |
||
|
|
|
|
Найдем его общий интеграл, т.е. функцию u(x; y), |
удовлетворяющую (1.1). Для |
||
этого сначала запишем это уравнение в виде: ∂ ∂u = 0. Поскольку производная
∂x ∂y
по переменной x от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя явля-
ется некоторой произвольной функцией от y : |
∂u |
= f ( y). Поэтому |
|
∂y |
|
u(x, y) = ∫ f ( y)dy. Но интегрируя произвольную функцию |
f ( y), получим новую, |
|
также произвольную функцию, скажем F( y), плюс произвольная функция φ(x) (φ(x) играет роль произвольной постоянной интегрирования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений). Таким образом, общий интеграл уравнения второго порядка (1.1) u(x, y) =φ(x) + F( y) содержит две произвольные функции. Чтобы теперь из общего решения u(x; y) найти определенное частное решение, нужно найти конкретный вид функций φ(x) и F( y) . Однако − и в этом состоит причина существенного различия методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и в частных производных − из-за чрезвычайной общности общего решения уравнения в частных производных, как правило, очень трудно из него выделить нужное конкретное решение.
Примеры
1. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных
|
∂2u(x; y) |
= 0 , где u(x; y) − неизвестная функция двух независимых перемен- |
||||||||
|
∂x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных. |
|
|
∂ |
∂u |
|
|
∂u |
|
|
Решение. Перепишем уравнение в виде: |
|
= 0. Отсюда видно, что |
|
|||||||
|
|
|
|
∂x |
не за- |
|||||
|
|
|||||||||
висит от x , |
|
|
∂x |
∂x |
нее по x , равна |
|
|
|||
так как частная производная |
от |
нулю. |
Поэтому |
|||||||
∂u = C ( y) где C ( y) − произвольная функция от y . В уравнении |
∂u = C ( y) |
|||||||||
∂x |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
∂x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
частная производная ∂u берется по x , |
а y считается постоянной. Взяв интеграл от |
|||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
левой и правой частей, получим решение поставленной задачи:
u(x, y) = ∫C1( y)dx = xC1( y) +C2 ( y), где C1( y) и C2 ( y) − произвольные функции от y . Если найденную функцию u(x, y) два раза продифференцировать по x ,
6
то получим ∂2u = 0, и, следовательно, найденная функция является общим реше-
∂x2
нием данного уравнения.
2. Найти общее решение уравнения ∂2u = x2 − y.
∂x∂y
Решение. Переписав уравнение в виде: |
∂ |
|
∂u |
= x |
2 |
− y и интегрируя левую и |
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
правую части по y (считая в это время x постоянным), получим: |
||||||||
∂u = ∫(x2 − y)dy = x2 y − |
y2 |
+C1 (x). Интегрируя теперь по x полученное уравне- |
||||||
|
||||||||
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
||
ние (считая в это время y постоянным), получим: |
||||||||
u(x, y) = ∫(x2 y − |
y2 |
+C1(x))dx = |
x3 y |
− |
y2 x |
+C1 (x) +C2 ( y). Здесь |
||
|
|
|
||||||
2 |
3 |
2 |
|
|||||
C1 (x) = ∫C1(x)dx. Таким образом, общим решением рассматриваемого уравнения
будет функция: u(x, y) = |
x3 y |
− |
y2 x |
+C |
|
(x) +C |
2 |
( y), где |
C |
|
(x) и |
C |
2 |
( y) − про- |
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
извольные функции, причем C (x) дифференцируема. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решить дифференциальное уравнение в частных производных |
∂2u |
= 2 |
∂u |
. |
||||||
∂x∂y |
∂x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Переписав уравнение в виде |
|
|
∂y |
− 2u |
= 0 и интегрируя левую и пра- |
|||||
|
||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||
вую части по переменной x, получим: |
∂u −2u = C ( y). В этом уравнении ∂u |
|||||||||
|
|
∂y |
|
1 |
|
|
|
∂y |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
можно рассматривать как обычную производную по y , а x при этом считать пара-
метром. Тогда уравнение перепишется в виде: dudy −2u = C1( y). Мы получили не-
однородное линейное уравнение первого порядка. Решая его, получаем: u(x, y) = e∫2dy (C2 (x) + ∫C1 ( y)e−∫2dy dy)= C2 (x)e2 y +C1 ( y).
Таким образом, u(x, y) = C2 (x)e2 y +C1 ( y), где C2 (x) и C1 ( y) − произвольные функции.
Упражнения
4. u(x, y) =ϕ(x) +ψ( y) + (x − y)ψ'( y). Проверить, что (x − y) ∂2u = ∂u
∂x∂y ∂y
7
(ϕ и ψ − дважды дифференцируемые функции).
5. Исключить произвольные функции φ и ψ из семейства: u(x,t) =φ(x −at) +ψ(x + at).
Ответ. |
∂2u |
− a2 ∂2u |
= 0. |
|
∂t2 |
∂x2 |
|
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными производными:
6. ∂2u = 0.
∂x∂y
Ответ. u(x, y) = C1 (x) +C2 ( y).
7. ∂2u = x + y. ∂x∂y
Ответ. u(x, y) = |
x2 y |
+ |
xy |
2 |
+C (x) +C |
2 |
( y). |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
||
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
= x |
2 |
+ y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. u(x, y) = x4 + yx2 + xC1( y) +C2 y. 12 2
9.∂2u = ex+ y .
∂y2
Ответ. u(x, y) = ex+ y + yC1 (x) +C2 (x).
10. ∂2u + 1 ∂u = 0.
∂x∂y x ∂y
Ответ. u(x, y) = C1(x) + 1x C2 ( y).
11. |
∂2u |
= 2 y |
∂u |
. |
|
∂x∂y |
∂x |
||||
|
|
|
Ответ. u(x, y) = C1 (x)ey 2 +C2 ( y).
12. ∂2u = 5 ∂u .
∂x∂y ∂y
Ответ. u(x, y) = C1(x) +C2 ( y)e5x .
13.∂2u = 2.
∂x2
Ответ. u(x, y) = x2 +C1( y)x +C2 ( y).
8
14. ∂2u = 2x.
∂x∂y
Ответ. u(x, y) = x2
15.∂2u = ∂u . ∂y2 ∂y
Ответ. u(x, y) = C1
16.∂2u = x + y. ∂y2
y +C1( y) +C2 (x).
(x)ey +C2 (x).
Ответ. u(x, y)
17.∂2u = 6x.
∂x2
u(x, y)
=xy2 + y3 + yC1(x) +C2 (x). 2 6
=x3 + xC1( y) +C2 ( y).
2.Классификация уравнений в частных производных второго порядка.
Спомощью замены переменных уравнение второго порядка
a |
∂2u |
+ 2b |
∂2u |
+c |
∂2u |
= 0 |
(2.1) |
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y2 |
||||||
|
|
|
|
что коэффициент c ≠ 0, вве- |
||||
сведем к одному из простейших уравнений. Полагая, |
||||||||
дем новые независимые переменные ξ = x + λ1 y, η = x +λ2 y, где λ1 и λ2 пока произвольные, но различные (иначеξ и η не будут взаимно независимые функции) числа. Так как
∂u |
= |
∂u |
∂ξ |
+ |
|
∂u |
|
∂η |
= |
∂u |
+ |
∂u |
и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂ξ |
|
|
|
∂η |
|
|
|
∂ξ ∂η |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∂u = |
∂u |
|
∂ξ |
|
+ |
|
∂u |
|
|
|
∂η |
|
= λ |
∂u |
+ λ |
|
∂u |
, |
|
|
|
||||||||||||||
∂ξ |
∂y |
|
∂η |
|
∂y |
|
|
|
2 ∂η |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂ξ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
то имеет место соответствие |
|
∂ |
→ |
|
∂ |
+ |
|
|
∂ |
|
|
, |
|
|
∂ |
|
→ λ |
∂ |
+λ |
|
∂ |
. Поэтому |
|||||||||||||
|
|
|
∂ξ |
|
∂η |
|
|
∂y |
|
2 ∂η |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂ξ |
|
|
||||||||||||||||||
∂2u |
= |
∂ |
∂u |
|
∂ |
|
∂x2 |
|
|
|
= |
|
|
|
∂ξ |
|||||
|
∂x |
∂x |
|
|||
∂2u |
|
∂ |
|
∂ |
|
λ1 |
∂u |
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
∂x∂y |
∂ξ |
|
∂ξ |
||||
|
|
∂η |
|
||||
+ |
∂ |
∂u |
+ |
∂u |
= |
∂2u |
+ 2 |
∂2u |
+ |
∂2u |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂η |
∂ξ |
∂η |
∂ξ2 |
∂ξ∂η |
∂η2 |
||||||||
+λ |
|
∂u |
= λ |
∂2u |
+(λ +λ |
|
) |
∂2u |
+λ |
|
∂2u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂η2 |
|||||||
|
2 |
∂η |
1 ∂ξ2 |
1 |
2 |
|
∂ξ∂η |
|
2 |
|
|||
9
∂2u |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
∂u |
|
|
∂u |
2 ∂2u |
+ 2λ λ |
∂2u |
2 |
∂2u |
. |
|||
|
= |
λ |
|
+λ |
|
|
|
λ |
|
+ λ |
|
|
|
= λ |
|
|
+λ |
|
|
||
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂η2 |
|||||||||||
|
1 |
∂ξ |
|
2 |
∂η |
1 |
∂ξ |
|
2 |
∂η |
1 ∂ξ2 |
1 2 ∂ξ∂η |
|
2 |
|
||||||
Умножим эти вторые производные соответственно на a, 2b и c и затем их сложим.
Тогда левая часть уравнения ( 2.1 ) примет вид: |
A |
∂2u |
|
+ 2B |
∂2u |
+C |
|
∂2u |
, где |
|||||||
∂ξ2 |
∂ξ∂η |
∂η2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = a + 2bλ + cλ2 |
, B = a +b(λ + λ |
2 |
) + cλ λ |
2 |
, C = a + 2bλ |
2 |
+ cλ2 . |
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||||||
Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение cλ2 + 2bλ + a = 0. Его
корнями являются λ |
= |
−b ± |
b2 − ac |
. В зависимости от значений дискриминан- |
1,2 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
та D = b2 − ac возможны три случая: если в рассматриваемой области b2 − ac > 0, то уравнение принадлежит к гиперболическому типу; если b2 −ac = 0, то уравне-
ние ( 2.1) параболического типа; если b2 −ac < 0, то уравнение принадлежит эл-
липтическому типу.
Следовательно, каноническое уравнение гиперболического типа имеет вид
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂z |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= f (x, y, z, z'x , z'y |
), ( или |
|
|
|
− |
|
|
|
= Φ α, β, z, |
|
|
|
, |
|
|
, где |
|
||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|
∂α2 |
∂β2 |
∂α |
∂β |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
α = |
x − y |
, β = |
x + y |
); параболического типа − |
|
∂2 z |
= f (x, y, z, z' x , z' y ); |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
∂y |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
эллиптического типа − |
∂2 z |
+ |
∂2 z |
= f (x, y, z, z'x , z'y |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∂x2 |
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В общем случае вводятся новые переменные ξ =ξ(x, y), η =η(x, y). ξ(x, y) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ' |
|
ξ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
η(x, y) − дважды непрерывно дифференцируемые функции и |
|
x |
|
|
y |
|
|
≠ 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
η' |
|
η' |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение a dy2 − 2b dxdy +c dx2 = 0 называют уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
нием характеристик уравнения a |
∂2 z |
+ |
2b |
|
∂2 z |
|
+ c |
∂2 z |
= f |
(x, y, z, |
∂z |
, |
∂z |
). |
|||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
∂x∂y |
∂y2 |
∂x |
∂y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. Привести к каноническому виду уравнение x2 ∂2 z |
+ 2xy |
|
∂2 z |
|
+ y2 ∂2 z |
= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|||||||
10
Решение. Здесь a = x2 , b = xy, c = y2 , b2 − ac = x2 y2 − x2 y2 = 0; следовательно, уравнение принадлежит к параболическому типу. Составим уравнение характеристик x2dy2 − 2xydxdy + y2dx2 = 0. В этом случае оба семейства характеристик совпадают. Рассмотрим уравнение xdy = ydx. Разделим переменные и проинтегри-
руем это уравнение |
dy |
= |
dx |
|
или ln |
|
y |
|
−ln |
|
x |
|
= ln |
|
C |
|
, т.е. |
y |
= C. Введем новые пе- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ременные ξ = |
|
|
, η = y. |
η выбираем таким образом, |
чтобы выполнялось условие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ξ |
|
|
∂η |
|
∂ξ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
∂η |
≠ 0. Вводим новые переменные ξ и |
η. Тогда данное уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
примет вид |
|
|
|
|
∂2 z |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∂η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. |
Данное |
уравнение |
параболического |
вида, |
его |
каноническая форма |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂2 z |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
|
Рассмотрим |
уравнение |
∂2u |
−2sin x |
∂2u |
−cos2 x ∂2u −cos x |
∂u = 0. Это |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x2 |
∂x∂y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
∂y |
|||||
уравнение гиперболического типа, так как |
|
|
b2 −ac = sin2 x +cos2 x =1. Состав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляем уравнение характеристик dy2 + 2sin xdxdy −cos2 xdx2 = 0 или, дописав в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
левой части этого равенства |
dxdy − dxdy + sin xdx 2 − sin xdx 2 |
и сгруппиро- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вав, |
получаем |
|
|
|
|
(dy + (1 + sin x)dx)(dy − (1 − sin x)dx) = 0. Интегрируя уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ния |
|
|
dy + (1 + sin x)dx = 0 |
|
|
и |
|
|
dy −(1−sin x)dx = 0 |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x + y −cos x = C1, x − y +cos x = C2 . Вводим |
новые переменные по формулам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ξ = x + y − cos x, η = x − y + cos x. Тогда данное уравнение в новых пере-
менных приводится к виду |
∂2u |
|
= 0. Положив ξ =α + β, η =α − β, приведем |
|||||||
∂ξ∂η |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение к каноническому виду: |
|
∂2u |
− |
∂2u |
= 0. |
|||||
|
∂α2 |
∂β2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. |
Данное уравнение |
гиперболического вида, его каноническая форма |
||||||||
|
∂2u |
− |
∂2u |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
∂α2 |
∂β 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20. Привести к каноническому виду уравнения: